Эллипс, гипербола и парабола

Докажите, что вершины гиперболы и точки пересечения ее асимптот с директрисами лежат на одной окружности.

Фокус эллипса (гиперболы или параболы) делит проходящую через него хорду на отрезки длины $u$ и $v$. Докажите, что сумма $1 / u+1 / v$ постоянна.

Выведите уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат, приняв за полюс фокус, а за полярную ось — луч, лежащий на оси симметрии и не пересекающий директрису, соответствующую данному фокусу.

На плоскости нарисованы эллипс и парабола вместе с их осями симметрии. Как с помощью циркуля и линейки построить их фокусы и директрисы? Тот же вопрос относительно гиперболы, у которой нарисованы асимптоты. (Задача построения осей симметрии и асимптот решается на основании материала § 3.)

Пусть $u$ и $v$ — длины двух взаимно перпендикулярных радиусов эллипса. Найдите сумму $1 / u^{2}+1 / v^{2}$.

Найдите кратчайшее расстояние от параболы $y^{2}=12 x$ до прямой $x-y+7=0$.

Докажите, что отрезок касательной, заключенный между асимптотами гиперболы, делится пополам точкой касания.

В уравнение касательной к эллипсу в канонической системе координат вместо координат точки касания $x_{0}$ и $y_{0}$ подставлены координаты точки, лежащей не на эллипсе, а вне эллипса. Как расположена получившаяся прямая?

Из точки на директрисе проведены две касательные $\kappa$ параболе. Докажите, что они взаимно перпендикулярны и отрезок, соединяющий точки касания, проходит через фокус.