Поверхности второго порядка

Докажите, что линия пересечения поверхности второго порядка с плоскостью, которая целиком на ней не лежит, есть алгебраическая линия не выше второго порядка. Сколько общих точек могут иметь прямая и поверхность второго порядка?

Найдите уравнение и определите вид поверхности, получаемой вращением вокруг оси аппликат прямой линии:

Докажите, что прямолинейные образующие гиперболического параболоида, принадлежащие одному семейству, все параллельны некоторой плоскости.

На гиперболическом параболоиде с уравнением

лежат параболь: $y=0, x^{2}=2 a^{2} z$ и $x=0, y^{2}=-2 b^{2} z$. Пусть точки $A_{1}$ и $B_{1}$ на первой параболе и точки $A_{2}$ и $B_{2}$ на второй все находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $z=0$.

Докажите, что прямые $A_{1} B_{2}, A_{1} A_{2}, B_{1} A_{2}$ и $B_{1} B_{2}$ являются прямолинейными образующими.

Найдите проекцию линии пересечения двуполостного гиперболоида $-x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ и конуса $5 x^{2}-3 y^{2}+4 z^{2}=0$ на плоскость $z=0$.

Докажите, что никакая плоскость не пересекает эллиптический параболоид по гиперболе.