Мультилинейная алгебра и определители

Докажите, что если $\beta$ — билинейная форма на $\mathbf{F}$, то существует $c \in \mathbf{F}$, такой что

для всех $x, y \in \mathbf{F}$.

Пусть $n = \operatorname {dim} V$. Пусть $\beta$ — билинейная форма на $V$. Докажите, что существуют $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}, \tau_{1}, \ldots , \tau_{n} \in V^{\prime }$, такие что

для всех $u, v \in V$. Эта задача показывает, что если $n = \operatorname {dim} V$, то каждая билинейная форма на $V$ имеет вид, указанный в последнем пункте примера 9.2.

Пусть $\beta : V \times V \rightarrow \mathbf{F}$ — билинейная форма на $V$, являющаяся также линейным функционалом на $V \times V$. Докажите, что $\beta = 0$.

Пусть $V$ — вещественное пространство со скалярным произведением и $\beta$ — билинейная форма на $V$. Покажите, что существует единственный оператор $T \in \mathcal{L}(V)$, такой что

для всех $u, v \in V$. Эта задача утверждает, что если $V$ — вещественное пространство со скалярным произведением, то каждая билинейная форма на $V$ имеет вид, указанный в третьем пункте 9.2.

Пусть $\beta$ — билинейная форма на вещественном пространстве со скалярным произведением $V$, и $T$ — единственный оператор на $V$, такой что $\beta (u, v) = \left\langle u, T v \right\rangle$ для всех $u, v \in V$ (см. задачу 4). Покажите, что $\beta$ является скалярным произведением на $V$ тогда и только тогда, когда $T$ — обратимый положительный оператор на $V$.

Докажите или приведите контрпример: если $\rho$ — симметричная билинейная форма на $V$, то

является подпространством $V$.

Объясните, почему доказательство 9.13 (диагонализация симметричной билинейной формы ортонормированным базисом на вещественном пространстве со скалярным произведением) не проходит, если убрать предположение $\mathbf{F} = \mathbb {R}$.

Найдите формулы для $\operatorname {dim} V_{\mathrm{sym}}^{(2)}$ и $\operatorname {dim} V_{\mathrm{alt}}^{(2)}$ через $\operatorname {dim} V$.

Пусть $n$ — положительное целое число и $V = \left\{ p \in \mathcal{P}_{n}(\mathbb {R}): p(0) = p(1)\right\}$. Определим $\alpha : V \times V \rightarrow \mathbb {R}$ формулой

Покажите, что $\alpha$ — альтернирующая билинейная форма на $V$.

Пусть $n$ — положительное целое число и

Определим $\rho : V \times V \rightarrow \mathbb {R}$ формулой

Покажите, что $\rho$ — симметричная билинейная форма на $V$.

Пусть $m$ — положительное целое число. Покажите, что $\operatorname {dim} V^{(m)} = (\operatorname {dim} V)^{m}$.

Пусть $n \geq 3$ и $\alpha : \mathbf{F}^{n} \times \mathbf{F}^{n} \times \mathbf{F}^{n} \rightarrow \mathbf{F}$ определена как

Покажите, что $\alpha$ — альтернирующая $3$-линейная форма на $\mathbf{F}^{n}$.

Пусть $m$ — положительное целое число и $\alpha$ — $m$-линейная форма на $V$, такая что $\alpha \left(v_{1}, \ldots , v_{m}\right) = 0$, если $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — набор векторов в $V$ с $v_{j} = v_{j+1}$ для некоторого $j \in \left\{ 1, \ldots , m-1\right\}$. Докажите, что $\alpha$ — альтернирующая $m$-линейная форма на $V$.

Докажите или приведите контрпример: если $\alpha \in V_{\text{alt }}^{(4)}$, то

является подпространством $V^{4}$.

Пусть $m$ — положительное целое число и $\beta$ — $m$-линейная форма на $V$. Определим $m$-линейную форму $\alpha$ на $V$ формулой

для $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$. Объясните, почему $\alpha \in V_{\text{alt }}^{(m)}$.

Пусть $m$ — положительное целое число и $\beta$ — $m$-линейная форма на $V$. Определим $m$-линейную форму $\alpha$ на $V$ формулой

для $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$. Объясните, почему

для всех $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$ и всех $\left(k_{1}, \ldots , k_{m}\right) \in \operatorname {perm} m$.

Приведите пример ненулевой альтернирующей $2$-линейной формы $\alpha$ на $\mathbb {R}^{3}$ и линейно независимого набора $v_{1}, v_{2}$ в $\mathbb {R}^{3}$, таких что $\alpha \left(v_{1}, v_{2}\right) = 0$.

Докажите или приведите контрпример: $S, T \in \mathcal{L}(V) \Longrightarrow \operatorname {det}\left(S+T\right) = \operatorname {det}\left(S\right)+\operatorname {det}\left(T\right)$.

Пусть первый столбец квадратной матрицы $A$ состоит из одних нулей, за исключением, возможно, первого элемента $A_{1,1}$. Пусть $B$ — матрица, получаемая из $A$ вычёркиванием первой строки и первого столбца $A$. Покажите, что $\operatorname {det}\left(A\right) = A_{1,1} \operatorname {det}\left(B\right)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ нильпотентен. Докажите, что $\operatorname {det}\left(I+T\right) = 1$.

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $S$ унитарен тогда и только тогда, когда $\left|\operatorname {det}\left(S\right)\right| = \left\| S\right\| = 1$.

Пусть $A$ — блочная верхнетреугольная матрица

где каждая $A_{k}$ на диагонали — квадратная матрица. Докажите, что

Пусть $A = \left(\begin{array}{lll}v_{1} & \cdots & v_{n}\end{array}\right)$ — матрица размера $n$-на-$n$, где $v_{k}$ обозначает $k^{\text{th }}$ столбец $A$. Покажите, что если $\left(m_{1}, \ldots , m_{n}\right) \in$ perm $n$, то

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ обратим. Пусть $p$ обозначает характеристический многочлен $T$, а $q$ обозначает характеристический многочлен $T^{-1}$. Докажите, что

для всех ненулевых $z \in \mathbf{F}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ — оператор без собственных значений (что означает, что $\mathbf{F} = \mathbb {R}$). Докажите, что $\operatorname {det}\left(T\right) > 0$.

Пусть $V$ — вещественное векторное пространство чётной размерности, $T \in \mathcal{L}(V)$, и $\operatorname {det}\left(T\right) < 0$. Докажите, что $T$ имеет по меньшей мере два различных собственных значения.

Пусть $V$ — вещественное векторное пространство нечётной размерности и $T \in \mathcal{L}(V)$. Не используя минимальный многочлен, докажите, что $T$ имеет собственное значение.

Докажите или приведите контрпример: если $\mathbf{F} = \mathbb {R}$, $T \in \mathcal{L}(V)$, и $\operatorname {det}\left(T\right) > 0$, то $T$ имеет квадратный корень.

Пусть $S, T \in \mathcal{L}(V)$ и $S$ обратим. Определим $p: \mathbf{F} \rightarrow \mathbf{F}$ формулой

Докажите, что $p$ — многочлен степени $\operatorname {dim} V$ и что коэффициент при $z^{\operatorname {dim} V}$ в этом многочлене равен $\operatorname {det}\left(S\right)$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$, $T \in \mathcal{L}(V)$, и $n = \operatorname {dim} V > 2$. Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ обозначают собственные значения $T$, каждое из которых включено столько раз, какова его кратность.

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением и $T$ — положительный оператор на $V$. Докажите, что

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением и $T \in \mathcal{L}(V)$. Используя полярное разложение, дайте доказательство того, что

отличное от доказательства, приведённого ранее (см. 9.60).

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$. Определим $g: \mathbf{F} \rightarrow \mathbf{F}$ формулой $g(x) = \operatorname {det}\left(I+x T\right)$. Покажите, что $g^{\prime }(0) = \operatorname {tr} T$.

Пусть $a, b, c$ — положительные числа. Найдите объём эллипсоида

найдя множество $\Omega \subseteq \mathbb {R}^{3}$, объём которого вам известен, и оператор $T$ на $\mathbb {R}^{3}$, такой что $T(\Omega )$ равно указанному выше эллипсоиду.

Пусть $A$ — обратимая квадратная матрица. Докажите, что неравенство Адамара (9.66) обращается в равенство тогда и только тогда, когда каждый столбец $A$ ортогонален остальным столбцам.

Пусть $V$ — пространство со скалярным произведением, $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$, и $T \in \mathcal{L}(V)$ — положительный оператор.

Пусть $A$ — матрица размера $n$-на-$n$, и пусть $c$ таково, что $\left|A_{j, k}\right| \leq c$ для всех $j, k \in \left\{ 1, \ldots , n\right\}$. Докажите, что

Формула для определителя матрицы (9.46) показывает, что $\left|\operatorname {det}\left(A\right)\right| \leq c^{n} n$!. Однако оценка, даваемая этой задачей, гораздо лучше. Например, если $c = 1$ и $n = 100$, то $c^{n} n!\approx 10^{158}$, но оценка, даваемая этой задачей, — гораздо меньшее число $10^{100}$. Если $n$ является целой степенью $2$, то неравенство выше точное и не может быть улучшено.

Пусть $n$ — положительное целое число и $\delta : \mathbb {C}^{n, n} \rightarrow \mathbb {C}$ — функция, такая что

для всех $A, B \in \mathbb {C}^{n, n}$, и $\delta (A)$ равно произведению диагональных элементов $A$ для каждой диагональной матрицы $A \in \mathbb {C}^{n, n}$. Докажите, что

для всех $A \in \mathbb {C}^{n, n}$. Напомним, что $\mathbb {C}^{n, n}$ обозначает множество матриц размера $n$-на-$n$ с элементами из $\mathbb {C}$. Эта задача показывает, что определитель — единственная функция, определённая на квадратных матрицах, которая мультипликативна и обладает требуемым поведением на диагональных матрицах. Этот результат аналогичен задаче 10 раздела 8D, которая показывает, что след однозначно определяется своими алгебраическими свойствами.

Пусть $v \in V$ и $w \in W$. Докажите, что $v \otimes w = 0$ тогда и только тогда, когда $v = 0$ или $w = 0$.

Приведите пример шести различных векторов $v_{1}, v_{2}, v_{3}, w_{1}, w_{2}, w_{3}$ в $\mathbb {R}^{3}$, таких что

но ни один из элементов $v_{1} \otimes w_{1}, v_{2} \otimes w_{2}, v_{3} \otimes w_{3}$ не является скалярным кратным другого элемента этого списка.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — линейно независимый набор в $V$. Пусть также $w_{1}, \ldots , w_{m}$ — набор в $W$, такой что

Докажите, что $w_{1} = \cdots = w_{m} = 0$.

Пусть $\operatorname {dim} V > 1$ и $\operatorname {dim} W > 1$. Докажите, что

не является подпространством $V \otimes W$. Эта задача показывает, что если $\operatorname {dim} V > 1$ и $\operatorname {dim} W > 1$, то

Пусть $m$ и $n$ — положительные целые числа. Для $v \in \mathbf{F}^{m}$ и $w \in \mathbf{F}^{n}$ отождествим $v \otimes w$ с матрицей размера $m$-на-$n$, как в примере 9.76. При таком отождествлении покажите, что множество

есть множество матриц размера $m$-на-$n$ (с элементами из $\mathbf{F}$), имеющих ранг не более $1$.

Пусть $m$ и $n$ — положительные целые числа. Дайте описание, аналогичное задаче 5, множества матриц размера $m$-на-$n$ (с элементами из $\mathbf{F}$), имеющих ранг не более $2$.

Пусть $\operatorname {dim} V > 2$ и $\operatorname {dim} W > 2$. Докажите, что

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$ и $w_{1}, \ldots , w_{m} \in W$ таковы, что

Пусть $U$ — векторное пространство и $\Gamma : V \times W \rightarrow U$ — билинейное отображение. Покажите, что

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$ и $T \in \mathcal{L}(W)$. Докажите, что существует единственный оператор на $V \otimes W$, переводящий $v \otimes w$ в $S v \otimes T w$ для всех $v \in V$ и $w \in W$.

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$ и $T \in \mathcal{L}(W)$. Докажите, что $S \otimes T$ является обратимым оператором на $V \otimes W$ тогда и только тогда, когда оба оператора $S$ и $T$ обратимы. Также докажите, что если оба оператора $S$ и $T$ обратимы, то $(S \otimes T)^{-1} = S^{-1} \otimes T^{-1}$, где мы используем обозначение из замечания после задачи 9.

Пусть $V$ и $W$ — пространства со скалярным произведением. Докажите, что если $S \in \mathcal{L}(V)$ и $T \in \mathcal{L}(W)$, то $(S \otimes T)^{*} = S^{*} \otimes T^{*}$, где мы используем обозначение из замечания после задачи 9.

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — конечномерные пространства со скалярным произведением. Докажите, что существует единственное скалярное произведение на $V_{1} \otimes \cdots \otimes V_{m}$, такое что

для всех $\left(v_{1}, \ldots , v_{m}\right)$ и $\left(u_{1}, \ldots , u_{m}\right)$ из $V_{1} \times \cdots \times V_{m}$. Заметим, что равенство выше влечёт

для всех $\left(v_{1}, \ldots , v_{m}\right) \in V_{1} \times \cdots \times V_{m}$.

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — конечномерные пространства со скалярным произведением, и $V_{1} \otimes \cdots \otimes V_{m}$ превращено в пространство со скалярным произведением с помощью скалярного произведения из задачи 12. Пусть $e_{1}^{k}, \ldots , e_{n_{k}}^{k}$ — ортонормированный базис $V_{k}$ для каждого $k = 1, \ldots , m$. Покажите, что набор

является ортонормированным базисом $V_{1} \otimes \cdots \otimes V_{m}$.