Билинейные и квадратичные формы

Докажите, что если $\beta$ — билинейная форма на $\mathbf{F}$, то существует $c \in \mathbf{F}$, такой что

для всех $x, y \in \mathbf{F}$.

Пусть $n = \operatorname {dim} V$. Пусть $\beta$ — билинейная форма на $V$. Докажите, что существуют $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}, \tau_{1}, \ldots , \tau_{n} \in V^{\prime }$, такие что

для всех $u, v \in V$. Эта задача показывает, что если $n = \operatorname {dim} V$, то каждая билинейная форма на $V$ имеет вид, указанный в последнем пункте примера 9.2.

Пусть $\beta : V \times V \rightarrow \mathbf{F}$ — билинейная форма на $V$, являющаяся также линейным функционалом на $V \times V$. Докажите, что $\beta = 0$.

Пусть $V$ — вещественное пространство со скалярным произведением и $\beta$ — билинейная форма на $V$. Покажите, что существует единственный оператор $T \in \mathcal{L}(V)$, такой что

для всех $u, v \in V$. Эта задача утверждает, что если $V$ — вещественное пространство со скалярным произведением, то каждая билинейная форма на $V$ имеет вид, указанный в третьем пункте 9.2.

Пусть $\beta$ — билинейная форма на вещественном пространстве со скалярным произведением $V$, и $T$ — единственный оператор на $V$, такой что $\beta (u, v) = \left\langle u, T v \right\rangle$ для всех $u, v \in V$ (см. задачу 4). Покажите, что $\beta$ является скалярным произведением на $V$ тогда и только тогда, когда $T$ — обратимый положительный оператор на $V$.

Докажите или приведите контрпример: если $\rho$ — симметричная билинейная форма на $V$, то

является подпространством $V$.

Объясните, почему доказательство 9.13 (диагонализация симметричной билинейной формы ортонормированным базисом на вещественном пространстве со скалярным произведением) не проходит, если убрать предположение $\mathbf{F} = \mathbb {R}$.

Найдите формулы для $\operatorname {dim} V_{\mathrm{sym}}^{(2)}$ и $\operatorname {dim} V_{\mathrm{alt}}^{(2)}$ через $\operatorname {dim} V$.

Пусть $n$ — положительное целое число и $V = \left\{ p \in \mathcal{P}_{n}(\mathbb {R}): p(0) = p(1)\right\}$. Определим $\alpha : V \times V \rightarrow \mathbb {R}$ формулой

Покажите, что $\alpha$ — альтернирующая билинейная форма на $V$.

Пусть $n$ — положительное целое число и

Определим $\rho : V \times V \rightarrow \mathbb {R}$ формулой

Покажите, что $\rho$ — симметричная билинейная форма на $V$.