9B

Кососимметричные мультилинейные формы

[7/0%]
Показать
LaTeX
Задача 9B.1

Пусть mm — положительное целое число. Покажите, что dim⁡V(m)=(dim⁡V)m\operatorname {dim} V^{(m)} = (\operatorname {dim} V)^{m}.

?
Задача 9B.2

Пусть n≥3n \geq 3 и α:Fn×Fn×Fn→F\alpha : \mathbf{F}^{n} \times \mathbf{F}^{n} \times \mathbf{F}^{n} \rightarrow \mathbf{F} определена как

α((x1,…,xn),(y1,…,yn),(z1,…,zn))=x1y2z3−x2y1z3−x3y2z1−x1y3z2+x3y1z2+x2y3z1. \begin{aligned} & \alpha \left(\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right),\left(y_{1}, \ldots , y_{n}\right),\left(z_{1}, \ldots , z_{n}\right)\right) \\ & \quad = x_{1} y_{2} z_{3}-x_{2} y_{1} z_{3}-x_{3} y_{2} z_{1}-x_{1} y_{3} z_{2}+x_{3} y_{1} z_{2}+x_{2} y_{3} z_{1}. \end{aligned}

Покажите, что α\alpha — альтернирующая 33-линейная форма на Fn\mathbf{F}^{n}.

?
Задача 9B.3

Пусть mm — положительное целое число и α\alpha — mm-линейная форма на VV, такая что α(v1,…,vm)=0\alpha \left(v_{1}, \ldots , v_{m}\right) = 0, если v1,…,vmv_{1}, \ldots , v_{m} — набор векторов в VV с vj=vj+1v_{j} = v_{j+1} для некоторого j∈{1,…,m−1}j \in \left\{ 1, \ldots , m-1\right\}. Докажите, что α\alpha — альтернирующая mm-линейная форма на VV.

?
Задача 9B.4

Докажите или приведите контрпример: если α∈Valt (4)\alpha \in V_{\text{alt }}^{(4)}, то

{(v1,v2,v3,v4)∈V4:α(v1,v2,v3,v4)=0} \left\{ \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) \in V^{4}: \alpha \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) = 0\right\}

является подпространством V4V^{4}.

?
Задача 9B.5

Пусть mm — положительное целое число и β\beta — mm-линейная форма на VV. Определим mm-линейную форму α\alpha на VV формулой

α(v1,…,vm)=∑(j1,…,jm)∈perm⁡m(sign⁡(j1,…,jm))β(vj1,…,vjm) \alpha \left(v_{1}, \ldots , v_{m}\right) = \sum _{\left(j_{1}, \ldots , j_{m}\right) \in \operatorname {perm} m}\left(\operatorname {sign}\left(j_{1}, \ldots , j_{m}\right)\right) \beta \left(v_{j_{1}}, \ldots , v_{j_{m}}\right)

для v1,…,vm∈Vv_{1}, \ldots , v_{m} \in V. Объясните, почему α∈Valt (m)\alpha \in V_{\text{alt }}^{(m)}.

?
Задача 9B.6

Пусть mm — положительное целое число и β\beta — mm-линейная форма на VV. Определим mm-линейную форму α\alpha на VV формулой

α(v1,…,vm)=∑(j1,…,jm)∈perm⁡mβ(vj1,…,vjm) \alpha \left(v_{1}, \ldots , v_{m}\right) = \sum _{\left(j_{1}, \ldots , j_{m}\right) \in \operatorname {perm} m} \beta \left(v_{j_{1}}, \ldots , v_{j_{m}}\right)

для v1,…,vm∈Vv_{1}, \ldots , v_{m} \in V. Объясните, почему

α(vk1,…,vkm)=α(v1,…,vm) \alpha \left(v_{k_{1}}, \ldots , v_{k_{m}}\right) = \alpha \left(v_{1}, \ldots , v_{m}\right)

для всех v1,…,vm∈Vv_{1}, \ldots , v_{m} \in V и всех (k1,…,km)∈perm⁡m\left(k_{1}, \ldots , k_{m}\right) \in \operatorname {perm} m.

?
Задача 9B.7

Приведите пример ненулевой альтернирующей 22-линейной формы α\alpha на R3\mathbb {R}^{3} и линейно независимого набора v1,v2v_{1}, v_{2} в R3\mathbb {R}^{3}, таких что α(v1,v2)=0\alpha \left(v_{1}, v_{2}\right) = 0.

?
Примечание.
?

Эта задача показывает, что 9.39 может не выполняться, если убрать предположение n=dim⁡Vn = \operatorname {dim} V.