Тензорные произведения

Пусть $v \in V$ и $w \in W$. Докажите, что $v \otimes w = 0$ тогда и только тогда, когда $v = 0$ или $w = 0$.

Приведите пример шести различных векторов $v_{1}, v_{2}, v_{3}, w_{1}, w_{2}, w_{3}$ в $\mathbb {R}^{3}$, таких что

но ни один из элементов $v_{1} \otimes w_{1}, v_{2} \otimes w_{2}, v_{3} \otimes w_{3}$ не является скалярным кратным другого элемента этого списка.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — линейно независимый набор в $V$. Пусть также $w_{1}, \ldots , w_{m}$ — набор в $W$, такой что

Докажите, что $w_{1} = \cdots = w_{m} = 0$.

Пусть $\operatorname {dim} V > 1$ и $\operatorname {dim} W > 1$. Докажите, что

не является подпространством $V \otimes W$. Эта задача показывает, что если $\operatorname {dim} V > 1$ и $\operatorname {dim} W > 1$, то

Пусть $m$ и $n$ — положительные целые числа. Для $v \in \mathbf{F}^{m}$ и $w \in \mathbf{F}^{n}$ отождествим $v \otimes w$ с матрицей размера $m$-на-$n$, как в примере 9.76. При таком отождествлении покажите, что множество

есть множество матриц размера $m$-на-$n$ (с элементами из $\mathbf{F}$), имеющих ранг не более $1$.

Пусть $m$ и $n$ — положительные целые числа. Дайте описание, аналогичное задаче 5, множества матриц размера $m$-на-$n$ (с элементами из $\mathbf{F}$), имеющих ранг не более $2$.

Пусть $\operatorname {dim} V > 2$ и $\operatorname {dim} W > 2$. Докажите, что

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$ и $w_{1}, \ldots , w_{m} \in W$ таковы, что

Пусть $U$ — векторное пространство и $\Gamma : V \times W \rightarrow U$ — билинейное отображение. Покажите, что

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$ и $T \in \mathcal{L}(W)$. Докажите, что существует единственный оператор на $V \otimes W$, переводящий $v \otimes w$ в $S v \otimes T w$ для всех $v \in V$ и $w \in W$.

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$ и $T \in \mathcal{L}(W)$. Докажите, что $S \otimes T$ является обратимым оператором на $V \otimes W$ тогда и только тогда, когда оба оператора $S$ и $T$ обратимы. Также докажите, что если оба оператора $S$ и $T$ обратимы, то $(S \otimes T)^{-1} = S^{-1} \otimes T^{-1}$, где мы используем обозначение из замечания после задачи 9.

Пусть $V$ и $W$ — пространства со скалярным произведением. Докажите, что если $S \in \mathcal{L}(V)$ и $T \in \mathcal{L}(W)$, то $(S \otimes T)^{*} = S^{*} \otimes T^{*}$, где мы используем обозначение из замечания после задачи 9.

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — конечномерные пространства со скалярным произведением. Докажите, что существует единственное скалярное произведение на $V_{1} \otimes \cdots \otimes V_{m}$, такое что

для всех $\left(v_{1}, \ldots , v_{m}\right)$ и $\left(u_{1}, \ldots , u_{m}\right)$ из $V_{1} \times \cdots \times V_{m}$. Заметим, что равенство выше влечёт

для всех $\left(v_{1}, \ldots , v_{m}\right) \in V_{1} \times \cdots \times V_{m}$.

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — конечномерные пространства со скалярным произведением, и $V_{1} \otimes \cdots \otimes V_{m}$ превращено в пространство со скалярным произведением с помощью скалярного произведения из задачи 12. Пусть $e_{1}^{k}, \ldots , e_{n_{k}}^{k}$ — ортонормированный базис $V_{k}$ для каждого $k = 1, \ldots , m$. Покажите, что набор

является ортонормированным базисом $V_{1} \otimes \cdots \otimes V_{m}$.