Глава 3

Линейные отображения

[143/0%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

3A · Векторное пространство линейных отображений[17/0%]

Задача 3A.1

Пусть $b, c \in \mathbb {R}$ . Определим $T: \mathbb {R}^{3} \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ формулой

T(x, y, z) = (2 x-4 y+3 z+b, 6 x+c x y z).

Покажите, что $T$ линейно тогда и только тогда, когда $b = c = 0$ .

Задача 3A.2

Пусть $b, c \in \mathbb {R}$ . Определим $T: \mathcal{P}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ формулой

T p = \left(3 p(4)+5 p^{\prime }(6)+b p(1) p(2), \int _{-1}^{2} x^{3} p(x) d x+c \sin p(0)\right).

Покажите, что $T$ линейно тогда и только тогда, когда $b = c = 0$ .

Задача 3A.3

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n}, \mathbf{F}^{m}\right)$ . Покажите, что существуют скаляры $A_{j, k} \in \mathbf{F}$ при $j = 1, \ldots , m$ и $k = 1, \ldots , n$ , такие что

T\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) = \left(A_{1,1} x_{1}+\cdots +A_{1, n} x_{n}, \ldots , A_{m, 1} x_{1}+\cdots +A_{m, n} x_{n}\right)

для каждого $\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \in \mathbf{F}^{n}$ . Эта задача показывает, что линейное отображение $T$ имеет вид, обещанный в предпоследнем пункте примера 3.3.

Задача 3A.4

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ и $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — набор векторов в $V$ , такой что $T v_{1}, \ldots , T v_{m}$ — линейно независимый набор в $W$ . Докажите, что $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независим.

Задача 3A.5

Докажите, что $\mathcal{L}(V, W)$ является векторным пространством, как утверждалось в 3.6.

Задача 3A.6

Докажите, что умножение линейных отображений обладает свойствами ассоциативности, существования единицы и дистрибутивности, утверждаемыми в 3.8.

Задача 3A.7

Покажите, что каждое линейное отображение одномерного векторного пространства в себя является умножением на некоторый скаляр. Точнее, докажите, что если $\operatorname {dim} V = 1$ и $T \in \mathcal{L}(V)$ , то существует $\lambda \in \mathbf{F}$ , такое что $T v = \lambda v$ для всех $v \in V$ .

Задача 3A.8

Приведите пример функции $\varphi : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ , такой что

\varphi (a v) = a \varphi (v)

для всех $a \in \mathbb {R}$ и всех $v \in \mathbb {R}^{2}$ , но $\varphi$ не является линейной. Эта задача и следующая показывают, что ни однородности, ни аддитивности по отдельности не достаточно, чтобы гарантировать линейность функции.

Задача 3A.9

Приведите пример функции $\varphi : \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ , такой что

\varphi (w+z) = \varphi (w)+\varphi (z)

для всех $w, z \in \mathbb {C}$ , но $\varphi$ не является линейной. (Здесь $\mathbb {C}$ рассматривается как комплексное векторное пространство.)

Существует также функция $\varphi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ , удовлетворяющая указанному выше условию аддитивности, но не являющаяся линейной. Однако доказательство существования такой функции требует существенно более продвинутых средств.

Задача 3A.10

Докажите или приведите контрпример: если $q \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$ и $T: \mathcal{P}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb {R})$ определено как $T p = q \circ p$ , то $T$ — линейное отображение.

Примечание.

Функция $T$ , определённая здесь, отличается от функции $T$ , определённой в последнем пункте 3.3, порядком функций в композиции.

Задача 3A.11

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$ . Докажите, что $T$ является скалярным кратным тождественного отображения тогда и только тогда, когда $S T = T S$ для каждого $S \in \mathcal{L}(V)$ .

Задача 3A.12

Пусть $U$ — подпространство $V$ с $U \neq V$ . Пусть $S \in \mathcal{L}(U, W)$ и $S \neq 0$ (то есть $S u \neq 0$ для некоторого $u \in U$ ). Определим $T: V \rightarrow W$ формулой

T v = \begin{cases} S v & \text{ если } v \in U, \\ 0 & \text{ если } v \in V \text{ и } v \notin U.\end{cases}

Докажите, что $T$ не является линейным отображением на $V$ .

Задача 3A.13

Пусть $V$ конечномерно. Докажите, что каждое линейное отображение, заданное на подпространстве $V$ , можно продолжить до линейного отображения на $V$ . Другими словами, покажите, что если $U$ — подпространство $V$ и $S \in \mathcal{L}(U, W)$ , то существует $T \in \mathcal{L}(V, W)$ , такое что $T u = S u$ для всех $u \in U$ .

Примечание.

Результат этой задачи используется в доказательстве 3.125.

Задача 3A.14

Пусть $V$ конечномерно, причём $\operatorname {dim} V > 0$ , и пусть $W$ бесконечномерно. Докажите, что $\mathcal{L}(V, W)$ бесконечномерно.

Задача 3A.15

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — линейно зависимый набор векторов в $V$ . Пусть также $W \neq \left\{ 0\right\}$ . Докажите, что существуют $w_{1}, \ldots , w_{m} \in W$ , такие что ни одно $T \in \mathcal{L}(V, W)$ не удовлетворяет условию $T v_{k} = w_{k}$ для каждого $k = 1, \ldots , m$ .

Задача 3A.16

Пусть $V$ конечномерно, причём $\operatorname {dim} V > 1$ . Докажите, что существуют $S, T \in \mathcal{L}(V)$ , такие что $S T \neq T S$ .

Задача 3A.17

Пусть $V$ конечномерно. Покажите, что единственными двусторонними идеалами $\mathcal{L}(V)$ являются $\left\{ 0\right\}$ и $\mathcal{L}(V)$ .

Примечание.

Подпространство $\mathcal{E}$ пространства $\mathcal{L}(V)$ называется двусторонним идеалом $\mathcal{L}(V)$ , если $T E \in \mathcal{E}$ и $E T \in \mathcal{E}$ для всех $E \in \mathcal{E}$ и всех $T \in \mathcal{L}(V)$ .

3B · Ядра и образы[33/0%]

Задача 3B.1

Приведите пример линейного отображения $T$ с $\operatorname {dim}\operatorname {null}T = 3$ и $\operatorname {dim}$ образ $T = 2$ .

Задача 3B.2

Пусть $S, T \in \mathcal{L}(V)$ таковы, что образ $S \subseteq \operatorname {null}T$ . Докажите, что $(S T)^{2} = 0$ .

Задача 3B.3

(a)(b)

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — набор векторов в $V$ . Определим $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{m}, V\right)$ формулой

T\left(z_{1}, \ldots , z_{m}\right) = z_{1} v_{1}+\cdots +z_{m} v_{m}.

(a)

Какому свойству $T$ соответствует то, что $v_{1}, \ldots , v_{m}$ порождают $V$ ?

(b)

Какому свойству $T$ соответствует то, что набор $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независим?

Задача 3B.4

Покажите, что $\left\{ T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{5}, \mathbb {R}^{4}\right) \text{ : dim } \operatorname {null} T > 2\right\}$ не является подпространством $\mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{5}, \mathbb {R}^{4}\right)$ .

Задача 3B.5

Приведите пример $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{4}\right)$ , такого что образ $T =\operatorname {null}T$ .

Задача 3B.6

Докажите, что не существует $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{5}\right)$ , такого что образ $T =\operatorname {null}T$ .

Задача 3B.7

Пусть $V$ и $W$ конечномерны, причём $2 \leq \operatorname {dim} V \leq \operatorname {dim} W$ . Покажите, что $\left\{ T \in \mathcal{L}(V, W): T\text{ не инъективно }\right\}$ не является подпространством $\mathcal{L}(V, W)$ .

Задача 3B.8

Пусть $V$ и $W$ конечномерны, причём $\operatorname {dim} V \geq \operatorname {dim} W \geq 2$ . Покажите, что $\left\{ T \in \mathcal{L}(V, W): T\text{ не сюръективно }\right\}$ не является подпространством $\mathcal{L}(V, W)$ .

Задача 3B.9

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ инъективно и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ линейно независим в $V$ . Докажите, что $T v_{1}, \ldots , T v_{n}$ линейно независим в $W$ .

Задача 3B.10

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{n}$ порождают $V$ и $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Покажите, что $T v_{1}, \ldots , T v_{n}$ порождают образ $T$ .

Задача 3B.11

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Докажите, что существует подпространство $U$ пространства $V$ , такое что

U \cap \operatorname {null} T = \left\{ 0\right\} \quad \text{ и } \quad \text{ образ } T = \left\{ T u: u \in U\right\} .

Задача 3B.12

Пусть $T$ — линейное отображение из $\mathbf{F}^{4}$ в $\mathbf{F}^{2}$ , такое что

\operatorname {null} T = \left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbf{F}^{4}: x_{1} = 5 x_{2} \text{ и } x_{3} = 7 x_{4}\right\} .

Докажите, что $T$ сюръективно.

Задача 3B.13

Пусть $U$ — трёхмерное подпространство $\mathbb {R}^{8}$ и $T$ — линейное отображение из $\mathbb {R}^{8}$ в $\mathbb {R}^{5}$ , такое что $\operatorname {null}T = U$ . Докажите, что $T$ сюръективно.

Задача 3B.14

Докажите, что не существует линейного отображения из $\mathbf{F}^{5}$ в $\mathbf{F}^{2}$ , ядро которого равно $\left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \in \mathbf{F}^{5}: x_{1} = 3 x_{2} \text{ и } x_{3} = x_{4} = x_{5}\right\}$ .

Задача 3B.15

Пусть на $V$ существует линейное отображение, ядро и образ которого оба конечномерны. Докажите, что $V$ конечномерно.

Задача 3B.16

Пусть $V$ и $W$ оба конечномерны. Докажите, что существует инъективное линейное отображение из $V$ в $W$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim} V \leq \operatorname {dim} W$ .

Задача 3B.17

Пусть $V$ и $W$ оба конечномерны. Докажите, что существует сюръективное линейное отображение из $V$ на $W$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim} V \geq \operatorname {dim} W$ .

Задача 3B.18

Пусть $V$ и $W$ конечномерны и $U$ — подпространство $V$ . Докажите, что существует $T \in \mathcal{L}(V, W)$ , такое что $\operatorname {null}T = U$ , тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim} U \geq \operatorname {dim} V-\operatorname {dim} W$ .

Задача 3B.19

Пусть $W$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Докажите, что $T$ инъективно тогда и только тогда, когда существует $S \in \mathcal{L}(W, V)$ , такое что $S T$ — тождественный оператор на $V$ .

Задача 3B.20

Пусть $W$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Докажите, что $T$ сюръективно тогда и только тогда, когда существует $S \in \mathcal{L}(W, V)$ , такое что $T S$ — тождественный оператор на $W$ .

Задача 3B.21

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V, W)$ и $U$ — подпространство $W$ . Докажите, что $\left\{ v \in V: T v \in U\right\}$ является подпространством $V$ и

\operatorname {dim}\left\{ v \in V: T v \in U\right\} = \operatorname {dim}\operatorname {null}T+\operatorname {dim}(U \cap \operatorname {range} T).

Задача 3B.22

Пусть $U$ и $V$ — конечномерные векторные пространства, $S \in \mathcal{L}(V, W)$ и $T \in \mathcal{L}(U, V)$ . Докажите, что

\operatorname {dim}\operatorname {null}S T \leq \operatorname {dim}\operatorname {null}S+\operatorname {dim}\operatorname {null}T

Задача 3B.23

Пусть $U$ и $V$ — конечномерные векторные пространства, $S \in \mathcal{L}(V, W)$ и $T \in \mathcal{L}(U, V)$ . Докажите, что dim образ $S T \leq \min \left\{ \operatorname {dim}\text{ образ }S\text{, dim образ }T\right\}$ .

Задача 3B.24

(a)(b)

(a)

Пусть $\operatorname {dim} V = 5$ и $S, T \in \mathcal{L}(V)$ таковы, что $S T = 0$ . Докажите, что dim образ $T S \leq 2$ .

(b)

Приведите пример $S, T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{5}\right)$ с $S T = 0$ и dim образ $T S = 2$ .

Задача 3B.25

Пусть $W$ конечномерно и $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Докажите, что $\operatorname {null}S \subseteq \operatorname {null}T$ тогда и только тогда, когда существует $E \in \mathcal{L}(W)$ , такое что $T = E S$ .

Задача 3B.26

Пусть $V$ конечномерно и $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Докажите, что образ $S \subseteq$ образ $T$ тогда и только тогда, когда существует $E \in \mathcal{L}(V)$ , такое что $S = T E$ .

Задача 3B.27

Пусть $P \in \mathcal{L}(V)$ и $P^{2} = P$ . Докажите, что $V =\operatorname {null}P \oplus$ образ $P$ .

Задача 3B.28

Пусть $D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb {R}))$ таково, что $\operatorname {deg} D p = (\operatorname {deg} p)-1$ для каждого непостоянного многочлена $p \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$ . Докажите, что $D$ сюръективно.

Примечание.

Обозначение $D$ используется здесь, чтобы напомнить об отображении дифференцирования, переводящем многочлен p в $p^{\prime }$ .

Задача 3B.29

Пусть $p \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$ . Докажите, что существует многочлен $q \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$ , такой что $5 q^{\prime \prime }+3 q^{\prime } = p$ .

Примечание.

Эту задачу можно решить без линейной алгебры, но решать её с помощью линейной алгебры интереснее.

Задача 3B.30

Пусть $\varphi \in \mathcal{L}(V, \mathbf{F})$ и $\varphi \neq 0$ . Пусть $u \in V$ не лежит в $\operatorname {null}\varphi$ . Докажите, что

V = \operatorname {null} \varphi \oplus \left\{ a u: a \in \mathbf{F}\right\} .

Задача 3B.31

Пусть $V$ конечномерно, $X$ — подпространство $V$ , а $Y$ — конечномерное подпространство $W$ . Докажите, что существует $T \in \mathcal{L}(V, W)$ , такое что $\operatorname {null}T = X$ и образ $T = Y$ , тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim} X+\operatorname {dim} Y = \operatorname {dim} V$ .

Задача 3B.32

Пусть $V$ конечномерно, причём $\operatorname {dim} V > 1$ . Покажите, что если $\varphi : \mathcal{L}(V) \rightarrow \mathbf{F}$ — линейное отображение, такое что $\varphi (S T) = \varphi (S) \varphi (T)$ для всех $S, T \in \mathcal{L}(V)$ , то $\varphi = 0$ .

Задача 3B.33

(a)(b)(c)

Пусть $V$ и $W$ — вещественные векторные пространства и $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Определим $T_{\mathrm{C}}: V_{\mathrm{C}} \rightarrow W_{\mathrm{C}}$ формулой

T_{\mathbb {C}}(u+i v) = T u+i T v

для всех $u, v \in V$ . Линейное отображение $T_{\mathrm{C}}$ называется комплексификацией линейного отображения $T$ .

(a)

Покажите, что $T_{\mathrm{C}}$ является (комплексным) линейным отображением из $V_{\mathrm{C}}$ в $W_{\mathrm{C}}$ .

(b)

Покажите, что $T_{\mathrm{C}}$ инъективно тогда и только тогда, когда $T$ инъективно.

(c)

Покажите, что образ $T_{\mathrm{C}} = W_{\mathrm{C}}$ тогда и только тогда, когда образ $T = W$ .

Примечание.

Комплексификация $V_{\mathrm{C}}$ была определена в упражнении 8 раздела 1B: пусть $V$ — вещественное векторное пространство; комплексификация $V$ , обозначаемая $V_{\mathrm{C}}$ , равна $V \times V$ , при этом элемент $(u,v)$ , $u, v \in V$ , записывается как $u+iv$ ; сложение на $V_{\mathrm{C}}$ определяется как $(u_1+iv_1)+(u_2+iv_2) = (u_1+u_2)+i(v_1+v_2)$ ; комплексное умножение на скаляр на $V_{\mathrm{C}}$ определяется как $(a+bi)(u+iv) = (au-bv)+i(av+bu)$ для всех $a, b \in \mathbb {R}$ и всех $u, v \in V$ .

3C · Матрицы[17/0%]

Задача 3C.1

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Покажите, что при любом выборе базисов $V$ и $W$ матрица $T$ имеет не менее dim образ $T$ ненулевых элементов.

Задача 3C.2

Пусть $V$ и $W$ конечномерны и $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Докажите, что dim образ $T = 1$ тогда и только тогда, когда существуют базис $V$ и базис $W$ , относительно которых все элементы $\mathcal{M}(T)$ равны 1.

Задача 3C.3

(a)(b)

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$ , а $w_{1}, \ldots , w_{m}$ — базис $W$ .

(a)

Покажите, что если $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$ , то $\mathcal{M}(S+T) = \mathcal{M}(S)+\mathcal{M}(T)$ .

(b)

Покажите, что если $\lambda \in \mathbf{F}$ и $T \in \mathcal{L}(V, W)$ , то $\mathcal{M}(\lambda T) = \lambda \mathcal{M}(T)$ .

Эта задача просит вас проверить 3.35 и 3.38.

Задача 3C.4

Пусть $D \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{3}(\mathbb {R}), \mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})\right)$ — отображение дифференцирования, определённое как $D p = p^{\prime }$ . Найдите базис $\mathcal{P}_{3}(\mathbb {R})$ и базис $\mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$ , относительно которых матрица $D$ равна

\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]

Сравните с примером 3.33. Следующая задача обобщает эту задачу.

Задача 3C.5

Пусть $V$ и $W$ конечномерны и $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Докажите, что существуют базис $V$ и базис $W$ , относительно которых все элементы $\mathcal{M}(T)$ равны 0, за исключением элементов в строке $k$ , столбце $k$ , которые равны 1 при $1 \leq k \leq \operatorname {dim}$ образ $T$ .

Задача 3C.6

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — базис $V$ и $W$ конечномерно. Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Докажите, что существует базис $w_{1}, \ldots , w_{n}$ пространства $W$ , такой что все элементы первого столбца $\mathcal{M}(T)$ [относительно базисов $v_{1}, \ldots , v_{m}$ и $w_{1}, \ldots , w_{n}$ ] равны 0, за исключением, возможно, 1 в первой строке первого столбца.

Примечание.

В этой задаче, в отличие от задачи 5, базис $V$ дан вам заранее, а не выбирается вами.

Задача 3C.7

Пусть $w_{1}, \ldots , w_{n}$ — базис $W$ и $V$ конечномерно. Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Докажите, что существует базис $v_{1}, \ldots , v_{m}$ пространства $V$ , такой что все элементы первой строки $\mathcal{M}(T)$ [относительно базисов $v_{1}, \ldots , v_{m}$ и $w_{1}, \ldots , w_{n}$ ] равны 0, за исключением, возможно, 1 в первой строке первого столбца.

Примечание.

В этой задаче, в отличие от задачи 5, базис W дан вам заранее, а не выбирается вами.

Задача 3C.8

Пусть $A$ — матрица размера $m$ -на- $n$ , а $B$ — матрица размера $n$ -на- $p$ . Докажите, что

(A B)_{j, .} = A_{j, .} B

для каждого $1 \leq j \leq m$ . Другими словами, покажите, что строка $j$ матрицы $A B$ равна (строке $j$ матрицы $A$ ), умноженной на $B$ .

Примечание.

Эта задача даёт версию 3.48 для строк.

Задача 3C.9

Пусть $a = \left(\begin{array}{lll}a_{1} & \cdots & a_{n}\end{array}\right)$ — матрица размера 1-на- $n$ , а $B$ — матрица размера $n$ -на- $p$ . Докажите, что

a B = a_{1} B_{1, \cdot }+\cdots +a_{n} B_{n, \cdot }

Другими словами, покажите, что $a B$ является линейной комбинацией строк $B$ , где скаляры, на которые умножаются строки, берутся из $a$ .

Примечание.

Эта задача даёт версию 3.50 для строк.

Задача 3C.10

Приведите пример матриц $A$ и $B$ размера 2-на-2, таких что $A B \neq B A$ .

Задача 3C.11

Докажите, что дистрибутивное свойство выполняется для сложения и умножения матриц. Другими словами, пусть $A, B, C, D, E$ и $F$ — матрицы, размеры которых таковы, что $A(B+C)$ и $(D+E) F$ имеют смысл. Объясните, почему $A B+A C$ и $D F+E F$ также имеют смысл, и докажите, что

A(B+C) = A B+A C \quad \text{ и } \quad (D+E) F = D F+E F

Задача 3C.12

Докажите, что умножение матриц ассоциативно. Другими словами, пусть $A, B$ и $C$ — матрицы, размеры которых таковы, что $(A B) C$ имеет смысл. Объясните, почему $A(B C)$ имеет смысл, и докажите, что

(A B) C = A(B C).

Постарайтесь найти изящное доказательство, иллюстрирующее следующую цитату Эмиля Артина: «По моему опыту, доказательства, использующие матрицы, можно сократить на 50, если избавиться от матриц».

Задача 3C.13

Пусть $A$ — матрица размера $n$ -на- $n$ и $1 \leq j, k \leq n$ . Покажите, что элемент в строке $j$ , столбце $k$ матрицы $A^{3}$ (которая по определению означает $A A A$ ) равен

\sum _{p = 1}^{n} \sum _{r = 1}^{n} A_{j, p} A_{p, r} A_{r, k}

Задача 3C.14

Пусть $m$ и $n$ — натуральные числа. Докажите, что функция $A \mapsto A^{\mathrm{t}}$ является линейным отображением из $\mathbf{F}^{m, n}$ в $\mathbf{F}^{n, m}$ .

Задача 3C.15

Докажите, что если $A$ — матрица размера $m$ -на- $n$ , а $C$ — матрица размера $n$ -на- $p$ , то

(A C)^{\mathrm{t}} = C^{\mathrm{t}} A^{\mathrm{t}}.

Эта задача показывает, что транспонирование произведения двух матриц равно произведению транспонированных матриц в обратном порядке.

Задача 3C.16

Пусть $A$ — матрица размера $m$ -на- $n$ с $A \neq 0$ . Докажите, что ранг $A$ равен 1 тогда и только тогда, когда существуют $\left(c_{1}, \ldots , c_{m}\right) \in \mathbf{F}^{m}$ и $\left(d_{1}, \ldots , d_{n}\right) \in \mathbf{F}^{n}$ , такие что $A_{j, k} = c_{j} d_{k}$ для каждого $j = 1, \ldots , m$ и каждого $k = 1, \ldots , n$ .

Задача 3C.17

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ , а $u_{1}, \ldots , u_{n}$ и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базисы $V$ . Докажите, что следующие условия равносильны.

$T$ инъективно.
Столбцы $\mathcal{M}(T)$ линейно независимы в $\mathbf{F}^{n, 1}$ .
Столбцы $\mathcal{M}(T)$ порождают $\mathbf{F}^{n, 1}$ .
Строки $\mathcal{M}(T)$ порождают $\mathbf{F}^{1, n}$ .
Строки $\mathcal{M}(T)$ линейно независимы в $\mathbf{F}^{1, n}$ .

Здесь $\mathcal{M}(T)$ означает $\mathcal{M}\left(T,\left(u_{1}, \ldots , u_{n}\right),\left(v_{1}, \ldots , v_{n}\right)\right)$ .

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

3D · Обратимость и изоморфизмы[24/0%]

Задача 3D.1

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ обратимо. Покажите, что $T^{-1}$ обратимо и

\left(T^{-1}\right)^{-1} = T.

Задача 3D.2

Пусть $T \in \mathcal{L}(U, V)$ и $S \in \mathcal{L}(V, W)$ — оба обратимые линейные отображения. Докажите, что $S T \in \mathcal{L}(U, W)$ обратимо и $(S T)^{-1} = T^{-1} S^{-1}$ .

Задача 3D.3

(a)(b)(c)

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$ . Докажите, что следующие условия равносильны.

$T$ обратимо.
$T v_{1}, \ldots , T v_{n}$ является базисом $V$ для каждого базиса $v_{1}, \ldots , v_{n}$ пространства $V$ .
$T v_{1}, \ldots , T v_{n}$ является базисом $V$ для некоторого базиса $v_{1}, \ldots , v_{n}$ пространства $V$ .

(a)

(b)

(c)

Задача 3D.4

Пусть $V$ конечномерно и $\operatorname {dim} V > 1$ . Докажите, что множество необратимых линейных отображений из $V$ в себя не является подпространством $\mathcal{L}(V)$ .

Задача 3D.5

Пусть $V$ конечномерно, $U$ — подпространство $V$ и $S \in \mathcal{L}(U, V)$ . Докажите, что существует обратимое линейное отображение $T$ из $V$ в себя, такое что $T u = S u$ для каждого $u \in U$ , тогда и только тогда, когда $S$ инъективно.

Задача 3D.6

Пусть $W$ конечномерно и $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Докажите, что $\operatorname {null}S =\operatorname {null}T$ тогда и только тогда, когда существует обратимое $E \in \mathcal{L}(W)$ , такое что $S = E T$ .

Задача 3D.7

Пусть $V$ конечномерно и $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Докажите, что образ $S =$ образ $T$ тогда и только тогда, когда существует обратимое $E \in \mathcal{L}(V)$ , такое что $S = T E$ .

Задача 3D.8

Пусть $V$ и $W$ конечномерны и $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$ . Докажите, что существуют обратимые $E_{1} \in \mathcal{L}(V)$ и $E_{2} \in \mathcal{L}(W)$ , такие что $S = E_{2} T E_{1}$ , тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim}\operatorname {null}S = \operatorname {dim}\operatorname {null}T$ .

Задача 3D.9

Пусть $V$ конечномерно и $T: V \rightarrow W$ — сюръективное линейное отображение $V$ на $W$ . Докажите, что существует подпространство $U$ пространства $V$ , такое что $\left.T\right|_{U}$ является изоморфизмом $U$ на $W$ .

Примечание.

Здесь $\left.T\right|_{U}$ означает функцию $T$ , ограниченную на $U$ . Таким образом, $\left.T\right|_{U}$ — это функция с областью определения $U$ , где $\left.T\right|_{U}$ определяется как $\left.T\right|_{U}(u) = T u$ для каждого $u \in U$ .

Задача 3D.10

(a)(b)

Пусть $V$ и $W$ конечномерны и $U$ — подпространство $V$ . Пусть

\mathcal{E} = \left\{ T \in \mathcal{L}(V, W): U \subseteq \operatorname {null} T\right\}

(a)

Покажите, что $\mathcal{E}$ является подпространством $\mathcal{L}(V, W)$ .

(b)

Найдите формулу для $\operatorname {dim} \mathcal{E}$ через $\operatorname {dim} V, \operatorname {dim} W$ и $\operatorname {dim} U$ .

Задача 3D.11

Пусть $V$ конечномерно и $S, T \in \mathcal{L}(V)$ . Докажите, что

S T \text{ обратимо } \Longleftrightarrow S \text{ и } T \text{ обратимы. }

Задача 3D.12

Пусть $V$ конечномерно и $S, T, U \in \mathcal{L}(V)$ и $S T U = I$ . Покажите, что $T$ обратимо и $T^{-1} = U S$ .

Задача 3D.13

Покажите, что результат задачи 12 может не выполняться без предположения о конечномерности $V$ .

Примечание.

Задача 12: пусть $V$ конечномерно, $S, T, U \in \mathcal{L}(V)$ и $STU = I$ . Тогда $T$ обратим и $T^{-1} = US$ .

Задача 3D.14

Докажите или приведите контрпример: если $V$ — конечномерное векторное пространство и $R, S, T \in \mathcal{L}(V)$ таковы, что $R S T$ сюръективно, то $S$ инъективно.

Задача 3D.15

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — набор в $V$ , такой что $T v_{1}, \ldots , T v_{m}$ порождают $V$ . Докажите, что $v_{1}, \ldots , v_{m}$ порождают $V$ .

Задача 3D.16

Докажите, что каждое линейное отображение из $\mathbf{F}^{n, 1}$ в $\mathbf{F}^{m, 1}$ задаётся умножением на матрицу. Другими словами, докажите, что если $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n, 1}, \mathbf{F}^{m, 1}\right)$ , то существует матрица $A$ размера $m$ -на- $n$ , такая что $T x = A x$ для каждого $x \in \mathbf{F}^{n, 1}$ .

Задача 3D.17

(a)(b)

Пусть $V$ конечномерно и $S \in \mathcal{L}(V)$ . Определим $\mathcal{A} \in \mathcal{L}(\mathcal{L}(V))$ формулой

\mathcal{A}(T) = S T

для $T \in \mathcal{L}(V)$ .

(a)

Покажите, что $\operatorname {dim}\operatorname {null}\mathcal{A} = (\operatorname {dim} V)(\operatorname {dim}\operatorname {null}S)$ .

(b)

Покажите, что $\operatorname {dim}$ образ $\mathcal{A} = (\operatorname {dim} V)(\operatorname {dim}$ образ $S)$ .

Задача 3D.18

Покажите, что $V$ и $\mathcal{L}(\mathbf{F}, V)$ — изоморфные векторные пространства.

Задача 3D.19

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$ . Докажите, что $T$ имеет одну и ту же матрицу относительно каждого базиса $V$ тогда и только тогда, когда $T$ является скалярным кратным тождественного оператора.

Задача 3D.20

Пусть $q \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$ . Докажите, что существует многочлен $p \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$ , такой что

q(x) = \left(x^{2}+x\right) p^{\prime \prime }(x)+2 x p^{\prime }(x)+p(3)

для всех $x \in \mathbb {R}$ .

Задача 3D.21

(a)(b)

Пусть $n$ — натуральное число и $A_{j, k} \in \mathbf{F}$ для всех $j, k = 1, \ldots , n$ . Докажите, что следующие условия равносильны (заметьте, что в обеих частях ниже число уравнений равно числу переменных).

Тривиальное решение $x_{1} = \cdots = x_{n} = 0$ является единственным решением однородной системы уравнений
$\begin{aligned} & \sum _{k = 1}^{n} A_{1, k} x_{k} = 0 \\ & \vdots \\ & \sum _{k = 1}^{n} A_{n, k} x_{k} = 0 \end{aligned}$
Для каждых $c_{1}, \ldots , c_{n} \in \mathbf{F}$ существует решение системы уравнений
$\begin{gathered} \sum _{k = 1}^{n} A_{1, k} x_{k} = c_{1} \\ \vdots \\ \sum _{k = 1}^{n} A_{n, k} x_{k} = c_{n} \end{gathered}$

(a)

(b)

Задача 3D.22

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$ . Докажите, что

\mathcal{M}\left(T,\left(v_{1}, \ldots , v_{n}\right)\right) \text{ обратима } \Longleftrightarrow T \text{ обратимо. }

Задача 3D.23

Пусть $u_{1}, \ldots , u_{n}$ и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базисы $V$ . Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таково, что $T v_{k} = u_{k}$ для каждого $k = 1, \ldots , n$ . Докажите, что

\mathcal{M}\left(T,\left(v_{1}, \ldots , v_{n}\right)\right) = \mathcal{M}\left(I,\left(u_{1}, \ldots , u_{n}\right),\left(v_{1}, \ldots , v_{n}\right)\right).

Задача 3D.24

Пусть $A$ и $B$ — квадратные матрицы одного размера и $A B = I$ . Докажите, что $B A = I$ .

3E · Произведения и фактор-пространства[19/0%]

Задача 3E.1

Пусть $T$ — функция из $V$ в $W$ . Графиком $T$ называется подмножество $V \times W$ , определённое как

\text{ график } T = \left\{ (v, T v) \in V \times W: v \in V\right\} .

Докажите, что $T$ является линейным отображением тогда и только тогда, когда график $T$ является подпространством $V \times W$ . > Формально, функция $T$ из $V$ в $W$ — это подмножество $T$ пространства $V \times W$ , такое что для каждого $v \in V$ существует ровно один элемент $(v, w) \in T$ . Другими словами, формально функция — это то, что выше называется её графиком. Обычно мы не мыслим о функциях таким формальным образом. Однако, если формализовать это, данную задачу можно переформулировать так: докажите, что функция $T$ из $V$ в $W$ является линейным отображением тогда и только тогда, когда $T$ является подпространством $V \times W$ .

Задача 3E.2

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — векторные пространства, такие что $V_{1} \times \cdots \times V_{m}$ конечномерно. Докажите, что $V_{k}$ конечномерно для каждого $k = 1, \ldots , m$ .

Задача 3E.3

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — векторные пространства. Докажите, что $\mathcal{L}\left(V_{1} \times \cdots \times V_{m}, W\right)$ и $\mathcal{L}\left(V_{1}, W\right) \times \cdots \times \mathcal{L}\left(V_{m}, W\right)$ — изоморфные векторные пространства.

Задача 3E.4

Пусть $W_{1}, \ldots , W_{m}$ — векторные пространства. Докажите, что $\mathcal{L}\left(V, W_{1} \times \cdots \times W_{m}\right)$ и $\mathcal{L}\left(V, W_{1}\right) \times \cdots \times \mathcal{L}\left(V, W_{m}\right)$ — изоморфные векторные пространства.

Задача 3E.5

Для натурального числа $m$ определим $V^{m}$ формулой

V^{m} = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{m \text{ раз }}.

Докажите, что $V^{m}$ и $\mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{m}, V\right)$ — изоморфные векторные пространства.

Задача 3E.6

Пусть $v, x$ — векторы в $V$ и $U, W$ — подпространства $V$ , такие что $v+U = x+W$ . Докажите, что $U = W$ .

Задача 3E.7

Пусть $U = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb {R}^{3}: 2 x+3 y+5 z = 0\right\}$ . Пусть $A \subseteq \mathbb {R}^{3}$ . Докажите, что $A$ является сдвигом $U$ тогда и только тогда, когда существует $c \in \mathbb {R}$ , такое что

A = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb {R}^{3}: 2 x+3 y+5 z = c\right\} .

Задача 3E.8

(a)(b)

(a)

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ и $c \in W$ . Докажите, что $\left\{ x \in V: T x = c\right\}$ является либо пустым множеством, либо сдвигом $\operatorname {null}T$ .

(b)

Объясните, почему множество решений системы линейных уравнений, подобной 3.27, является либо пустым множеством, либо сдвигом некоторого подпространства $\mathbf{F}^{n}$ .

Задача 3E.9

Докажите, что непустое подмножество $A$ пространства $V$ является сдвигом некоторого подпространства $V$ тогда и только тогда, когда $\lambda v+(1-\lambda ) w \in A$ для всех $v, w \in A$ и всех $\lambda \in \mathbf{F}$ .

Задача 3E.10

Пусть $A_{1} = v+U_{1}$ и $A_{2} = w+U_{2}$ для некоторых $v, w \in V$ и некоторых подпространств $U_{1}, U_{2}$ пространства $V$ . Докажите, что пересечение $A_{1} \cap A_{2}$ является либо сдвигом некоторого подпространства $V$ , либо пустым множеством.

Задача 3E.11

(a)(b)

Пусть $U = \left\{ \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in \mathbf{F}^{\infty }: x_{k} \neq 0 \text{ лишь для конечного числа } k\right\}$ .

(a)

Покажите, что $U$ является подпространством $\mathbf{F}^{\infty }$ .

(b)

Докажите, что $\mathbf{F}^{\infty } / U$ бесконечномерно.

Задача 3E.12

(a)(b)(c)

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$ . Пусть

A = \left\{ \lambda _{1} v_{1}+\cdots +\lambda _{m} v_{m}: \lambda _{1}, \ldots , \lambda _{m} \in \mathbf{F} \text{ и } \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{m} = 1\right\} .

(a)

Докажите, что $A$ является сдвигом некоторого подпространства $V$ .

(b)

Докажите, что если $B$ — сдвиг некоторого подпространства $V$ и $\left\{ v_{1}, \ldots , v_{m}\right\} \subseteq B$ , то $A \subseteq B$ .

(c)

Докажите, что $A$ является сдвигом некоторого подпространства $V$ размерности меньше $m$ .

Задача 3E.13

Пусть $U$ — подпространство $V$ , такое что $V / U$ конечномерно. Докажите, что $V$ изоморфно $U \times (V / U)$ .

Задача 3E.14

Пусть $U$ и $W$ — подпространства $V$ и $V = U \oplus W$ . Пусть $w_{1}, \ldots , w_{m}$ — базис $W$ . Докажите, что $w_{1}+U, \ldots , w_{m}+U$ — базис $V / U$ .

Задача 3E.15

Пусть $U$ — подпространство $V$ , $v_{1}+U, \ldots , v_{m}+U$ — базис $V / U$ и $u_{1}, \ldots , u_{n}$ — базис $U$ . Докажите, что $v_{1}, \ldots , v_{m}, u_{1}, \ldots , u_{n}$ — базис $V$ .

Задача 3E.16

Пусть $\varphi \in \mathcal{L}(V, \mathbf{F})$ и $\varphi \neq 0$ . Докажите, что $\operatorname {dim} V /(\operatorname {null} \varphi ) = 1$ .

Задача 3E.17

Пусть $U$ — подпространство $V$ , такое что $\operatorname {dim} V / U = 1$ . Докажите, что существует $\varphi \in \mathcal{L}(V, \mathbf{F})$ , такое что $\operatorname {null}\varphi = U$ .

Задача 3E.18

(a)(b)

Пусть $U$ — подпространство $V$ , такое что $V / U$ конечномерно.

(a)

Покажите, что если $W$ — конечномерное подпространство $V$ и $V = U+W$ , то $\operatorname {dim} W \geq \operatorname {dim} V / U$ .

(b)

Докажите, что существует конечномерное подпространство $W$ пространства $V$ , такое что $\operatorname {dim} W = \operatorname {dim} V / U$ и $V = U \oplus W$ .

Задача 3E.19

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ и $U$ — подпространство $V$ . Обозначим через $\pi$ фактор-отображение из $V$ на $V / U$ . Докажите, что существует $S \in \mathcal{L}(V / U, W)$ , такое что $T = S \circ \pi$ , тогда и только тогда, когда $U \subseteq \operatorname {null}T$ .