Двойственность

Объясните, почему каждый линейный функционал либо сюръективен, либо является нулевым отображением.

Приведите три различных примера линейных функционалов на $\mathbb {R}^{[0,1]}$.

Пусть $V$ конечномерно и $v \in V$, причём $v \neq 0$. Докажите, что существует $\varphi \in V^{\prime }$, такой что $\varphi (v) = 1$.

Пусть $V$ конечномерно и $U$ — подпространство $V$, такое что $U \neq V$. Докажите, что существует $\varphi \in V^{\prime }$, такой что $\varphi (u) = 0$ для каждого $u \in U$, но $\varphi \neq 0$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ и $w_{1}, \ldots , w_{m}$ — базис range $T$. Тогда для каждого $v \in V$ существуют единственные числа $\varphi_{1}(v), \ldots , \varphi_{m}(v)$, такие что

тем самым определяя функции $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m}$ из $V$ в $\mathbf{F}$. Покажите, что каждая из функций $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m}$ является линейным функционалом на $V$.

Пусть $\varphi , \beta \in V^{\prime }$. Докажите, что $\operatorname {null}\varphi \subseteq \operatorname {null}\beta$ тогда и только тогда, когда существует $c \in \mathbf{F}$, такое что $\beta = c \varphi$.

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — векторные пространства. Докажите, что $\left(V_{1} \times \cdots \times V_{m}\right)^{\prime }$ и $V_{1}{ }^{\prime } \times \cdots \times V_{m}{ }^{\prime }$ — изоморфные векторные пространства.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$, а $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}$ — двойственный базис $V^{\prime }$. Определим $\Gamma : V \rightarrow \mathbf{F}^{n}$ и $\Lambda : \mathbf{F}^{n} \rightarrow V$ равенствами

Объясните, почему $\Gamma$ и $\Lambda$ являются обратными друг к другу.

Пусть $m$ — натуральное число. Покажите, что двойственным базисом к базису $1, x, \ldots , x^{m}$ пространства $\mathcal{P}_{m}(\mathbb {R})$ является $\varphi_{0}, \varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m}$, где

Здесь $p^{(k)}$ обозначает $k$-ю производную $p$, при этом $0$-я производная $p$ считается равной $p$.

Пусть $m$ — натуральное число.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$, а $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}$ — соответствующий двойственный базис $V^{\prime }$. Пусть $\psi \in V^{\prime }$. Докажите, что

Пусть $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$.

Покажите, что двойственное отображение тождественного оператора на $V$ является тождественным оператором на $V^{\prime }$.

Определим $T: \mathbb {R}^{3} \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ равенством

Пусть $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ обозначает двойственный базис к стандартному базису $\mathbb {R}^{2}$, а $\psi_{1}, \psi_{2}, \psi_{3}$ обозначает двойственный базис к стандартному базису $\mathbb {R}^{3}$.

Определим $T: \mathcal{P}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb {R})$ равенством

для каждого $x \in \mathbb {R}$.

Пусть $W$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что

Пусть $V$ и $W$ конечномерны и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что $T$ обратим тогда и только тогда, когда $T^{\prime } \in \mathcal{L}\left(W^{\prime }, V^{\prime }\right)$ обратим.

Пусть $V$ и $W$ конечномерны. Докажите, что отображение, переводящее $T \in \mathcal{L}(V, W)$ в $T^{\prime } \in \mathcal{L}\left(W^{\prime }, V^{\prime }\right)$, является изоморфизмом $\mathcal{L}(V, W)$ на $\mathcal{L}\left(W^{\prime }, V^{\prime }\right)$.

Пусть $U \subseteq V$. Объясните, почему

Пусть $V$ конечномерно и $U$ — подпространство $V$. Покажите, что

Пусть $V$ конечномерно, а $U$ и $W$ — подпространства $V$.

Пусть $V$ конечномерно, а $U$ и $W$ — подпространства $V$.

Пусть $V$ конечномерно и $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m} \in V^{\prime }$. Докажите, что следующие три множества равны друг другу.

1. $\operatorname {span}\left(\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m}\right)$

2. $\left(\left(\operatorname {null}\varphi_{1}\right) \cap \cdots \cap \left(\operatorname {null}\varphi_{m}\right)\right)^{0}$

3. $\left\{ \varphi \in V^{\prime }: \left(\operatorname {null}\varphi_{1}\right) \cap \cdots \cap \left(\operatorname {null}\varphi_{m}\right) \subseteq \operatorname {null}\varphi \right\}$

Пусть $V$ конечномерно и $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$. Определим линейное отображение $\Gamma : V^{\prime } \rightarrow \mathbf{F}^{m}$ равенством $\Gamma (\varphi ) = \left(\varphi \left(v_{1}\right), \ldots , \varphi \left(v_{m}\right)\right)$.

Пусть $V$ конечномерно и $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m} \in V^{\prime }$. Определим линейное отображение $\Gamma : V \rightarrow \mathbf{F}^{m}$ равенством $\Gamma (v) = \left(\varphi_{1}(v), \ldots , \varphi_{m}(v)\right)$.

Пусть $V$ конечномерно и $\Omega$ — подпространство $V^{\prime }$. Докажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{5}(\mathbb {R})\right)$ и $\operatorname {null}T^{\prime } = \operatorname {span}(\varphi )$, где $\varphi$ — линейный функционал на $\mathcal{P}_{5}(\mathbb {R})$, определённый равенством $\varphi (p) = p(8)$. Докажите, что

Пусть $V$ конечномерно и $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m}$ — линейно независимый список в $V^{\prime }$. Докажите, что

Пусть $V$ и $W$ конечномерны и $T \in \mathcal{L}(V, W)$.

Пусть $V$ конечномерно и $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}$ — базис $V^{\prime }$. Покажите, что существует базис $V$, двойственным базисом к которому является $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}$.

Пусть $U$ — подпространство $V$. Пусть $i: U \rightarrow V$ — отображение включения, определённое равенством $i(u) = u$. Таким образом, $i^{\prime } \in \mathcal{L}\left(V^{\prime }, U^{\prime }\right)$.

Двойственное пространство к двойственному пространству $V$, обозначаемое $V^{\prime \prime }$, определяется как двойственное пространство к $V^{\prime }$. Иными словами, $V^{\prime \prime } = \left(V^{\prime }\right)^{\prime }$. Определим $\Lambda : V \rightarrow V^{\prime \prime }$ равенством

для каждого $v \in V$ и каждого $\varphi \in V^{\prime }$.

Пусть $U$ — подпространство $V$. Пусть $\pi : V \rightarrow V / U$ — обычное фактор-отображение. Таким образом, $\pi^{\prime } \in \mathcal{L}\left((V / U)^{\prime }, V^{\prime }\right)$.