Обратимость и изоморфизмы

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$ обратимо. Покажите, что $T^{-1}$ обратимо и

Пусть $T \in \mathcal{L}(U, V)$ и $S \in \mathcal{L}(V, W)$ — оба обратимые линейные отображения. Докажите, что $S T \in \mathcal{L}(U, W)$ обратимо и $(S T)^{-1} = T^{-1} S^{-1}$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что следующие условия равносильны.

1. $T$ обратимо.

2. $T v_{1}, \ldots , T v_{n}$ является базисом $V$ для каждого базиса $v_{1}, \ldots , v_{n}$ пространства $V$.

3. $T v_{1}, \ldots , T v_{n}$ является базисом $V$ для некоторого базиса $v_{1}, \ldots , v_{n}$ пространства $V$.

Пусть $V$ конечномерно и $\operatorname {dim} V > 1$. Докажите, что множество необратимых линейных отображений из $V$ в себя не является подпространством $\mathcal{L}(V)$.

Пусть $V$ конечномерно, $U$ — подпространство $V$ и $S \in \mathcal{L}(U, V)$. Докажите, что существует обратимое линейное отображение $T$ из $V$ в себя, такое что $T u = S u$ для каждого $u \in U$, тогда и только тогда, когда $S$ инъективно.

Пусть $W$ конечномерно и $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что $\operatorname {null}S =\operatorname {null}T$ тогда и только тогда, когда существует обратимое $E \in \mathcal{L}(W)$, такое что $S = E T$.

Пусть $V$ конечномерно и $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что образ $S =$ образ $T$ тогда и только тогда, когда существует обратимое $E \in \mathcal{L}(V)$, такое что $S = T E$.

Пусть $V$ и $W$ конечномерны и $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что существуют обратимые $E_{1} \in \mathcal{L}(V)$ и $E_{2} \in \mathcal{L}(W)$, такие что $S = E_{2} T E_{1}$, тогда и только тогда, когда $\operatorname {dim}\operatorname {null}S = \operatorname {dim}\operatorname {null}T$.

Пусть $V$ конечномерно и $T: V \rightarrow W$ — сюръективное линейное отображение $V$ на $W$. Докажите, что существует подпространство $U$ пространства $V$, такое что $\left.T\right|_{U}$ является изоморфизмом $U$ на $W$.

Пусть $V$ и $W$ конечномерны и $U$ — подпространство $V$. Пусть

Пусть $V$ конечномерно и $S, T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что

Пусть $V$ конечномерно и $S, T, U \in \mathcal{L}(V)$ и $S T U = I$. Покажите, что $T$ обратимо и $T^{-1} = U S$.

Покажите, что результат задачи 12 может не выполняться без предположения о конечномерности $V$.

Докажите или приведите контрпример: если $V$ — конечномерное векторное пространство и $R, S, T \in \mathcal{L}(V)$ таковы, что $R S T$ сюръективно, то $S$ инъективно.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — набор в $V$, такой что $T v_{1}, \ldots , T v_{m}$ порождают $V$. Докажите, что $v_{1}, \ldots , v_{m}$ порождают $V$.

Докажите, что каждое линейное отображение из $\mathbf{F}^{n, 1}$ в $\mathbf{F}^{m, 1}$ задаётся умножением на матрицу. Другими словами, докажите, что если $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{n, 1}, \mathbf{F}^{m, 1}\right)$, то существует матрица $A$ размера $m$-на-$n$, такая что $T x = A x$ для каждого $x \in \mathbf{F}^{n, 1}$.

Пусть $V$ конечномерно и $S \in \mathcal{L}(V)$. Определим $\mathcal{A} \in \mathcal{L}(\mathcal{L}(V))$ формулой

для $T \in \mathcal{L}(V)$.

Покажите, что $V$ и $\mathcal{L}(\mathbf{F}, V)$ — изоморфные векторные пространства.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что $T$ имеет одну и ту же матрицу относительно каждого базиса $V$ тогда и только тогда, когда $T$ является скалярным кратным тождественного оператора.

Пусть $q \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$. Докажите, что существует многочлен $p \in \mathcal{P}(\mathbb {R})$, такой что

для всех $x \in \mathbb {R}$.

Пусть $n$ — натуральное число и $A_{j, k} \in \mathbf{F}$ для всех $j, k = 1, \ldots , n$. Докажите, что следующие условия равносильны (заметьте, что в обеих частях ниже число уравнений равно числу переменных).

1. Тривиальное решение $x_{1} = \cdots = x_{n} = 0$ является единственным решением однородной системы уравнений

   $$\begin{aligned} & \sum _{k = 1}^{n} A_{1, k} x_{k} = 0 \\ & \vdots \\ & \sum _{k = 1}^{n} A_{n, k} x_{k} = 0 \end{aligned}$$

2. Для каждых $c_{1}, \ldots , c_{n} \in \mathbf{F}$ существует решение системы уравнений

   $$\begin{gathered} \sum _{k = 1}^{n} A_{1, k} x_{k} = c_{1} \\ \vdots \\ \sum _{k = 1}^{n} A_{n, k} x_{k} = c_{n} \end{gathered}$$

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$. Докажите, что

Пусть $u_{1}, \ldots , u_{n}$ и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базисы $V$. Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таково, что $T v_{k} = u_{k}$ для каждого $k = 1, \ldots , n$. Докажите, что

Пусть $A$ и $B$ — квадратные матрицы одного размера и $A B = I$. Докажите, что $B A = I$.