Матрицы

Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Покажите, что при любом выборе базисов $V$ и $W$ матрица $T$ имеет не менее dim образ $T$ ненулевых элементов.

Пусть $V$ и $W$ конечномерны и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что dim образ $T = 1$ тогда и только тогда, когда существуют базис $V$ и базис $W$, относительно которых все элементы $\mathcal{M}(T)$ равны 1.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$, а $w_{1}, \ldots , w_{m}$ — базис $W$.

Пусть $D \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{3}(\mathbb {R}), \mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})\right)$ — отображение дифференцирования, определённое как $D p = p^{\prime }$. Найдите базис $\mathcal{P}_{3}(\mathbb {R})$ и базис $\mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$, относительно которых матрица $D$ равна

Сравните с примером 3.33. Следующая задача обобщает эту задачу.

Пусть $V$ и $W$ конечномерны и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что существуют базис $V$ и базис $W$, относительно которых все элементы $\mathcal{M}(T)$ равны 0, за исключением элементов в строке $k$, столбце $k$, которые равны 1 при $1 \leq k \leq \operatorname {dim}$ образ $T$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — базис $V$ и $W$ конечномерно. Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что существует базис $w_{1}, \ldots , w_{n}$ пространства $W$, такой что все элементы первого столбца $\mathcal{M}(T)$ [относительно базисов $v_{1}, \ldots , v_{m}$ и $w_{1}, \ldots , w_{n}$] равны 0, за исключением, возможно, 1 в первой строке первого столбца.

Пусть $w_{1}, \ldots , w_{n}$ — базис $W$ и $V$ конечномерно. Пусть $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что существует базис $v_{1}, \ldots , v_{m}$ пространства $V$, такой что все элементы первой строки $\mathcal{M}(T)$ [относительно базисов $v_{1}, \ldots , v_{m}$ и $w_{1}, \ldots , w_{n}$] равны 0, за исключением, возможно, 1 в первой строке первого столбца.

Пусть $A$ — матрица размера $m$-на-$n$, а $B$ — матрица размера $n$-на-$p$. Докажите, что

для каждого $1 \leq j \leq m$. Другими словами, покажите, что строка $j$ матрицы $A B$ равна (строке $j$ матрицы $A$), умноженной на $B$.

Пусть $a = \left(\begin{array}{lll}a_{1} & \cdots & a_{n}\end{array}\right)$ — матрица размера 1-на-$n$, а $B$ — матрица размера $n$-на-$p$. Докажите, что

Другими словами, покажите, что $a B$ является линейной комбинацией строк $B$, где скаляры, на которые умножаются строки, берутся из $a$.

Приведите пример матриц $A$ и $B$ размера 2-на-2, таких что $A B \neq B A$.

Докажите, что дистрибутивное свойство выполняется для сложения и умножения матриц. Другими словами, пусть $A, B, C, D, E$ и $F$ — матрицы, размеры которых таковы, что $A(B+C)$ и $(D+E) F$ имеют смысл. Объясните, почему $A B+A C$ и $D F+E F$ также имеют смысл, и докажите, что

Докажите, что умножение матриц ассоциативно. Другими словами, пусть $A, B$ и $C$ — матрицы, размеры которых таковы, что $(A B) C$ имеет смысл. Объясните, почему $A(B C)$ имеет смысл, и докажите, что

Постарайтесь найти изящное доказательство, иллюстрирующее следующую цитату Эмиля Артина: «По моему опыту, доказательства, использующие матрицы, можно сократить на 50, если избавиться от матриц».

Пусть $A$ — матрица размера $n$-на-$n$ и $1 \leq j, k \leq n$. Покажите, что элемент в строке $j$, столбце $k$ матрицы $A^{3}$ (которая по определению означает $A A A$) равен

Пусть $m$ и $n$ — натуральные числа. Докажите, что функция $A \mapsto A^{\mathrm{t}}$ является линейным отображением из $\mathbf{F}^{m, n}$ в $\mathbf{F}^{n, m}$.

Докажите, что если $A$ — матрица размера $m$-на-$n$, а $C$ — матрица размера $n$-на-$p$, то

Эта задача показывает, что транспонирование произведения двух матриц равно произведению транспонированных матриц в обратном порядке.

Пусть $A$ — матрица размера $m$-на-$n$ с $A \neq 0$. Докажите, что ранг $A$ равен 1 тогда и только тогда, когда существуют $\left(c_{1}, \ldots , c_{m}\right) \in \mathbf{F}^{m}$ и $\left(d_{1}, \ldots , d_{n}\right) \in \mathbf{F}^{n}$, такие что $A_{j, k} = c_{j} d_{k}$ для каждого $j = 1, \ldots , m$ и каждого $k = 1, \ldots , n$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$, а $u_{1}, \ldots , u_{n}$ и $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базисы $V$. Докажите, что следующие условия равносильны.

1. $T$ инъективно.

2. Столбцы $\mathcal{M}(T)$ линейно независимы в $\mathbf{F}^{n, 1}$.

3. Столбцы $\mathcal{M}(T)$ порождают $\mathbf{F}^{n, 1}$.

4. Строки $\mathcal{M}(T)$ порождают $\mathbf{F}^{1, n}$.

5. Строки $\mathcal{M}(T)$ линейно независимы в $\mathbf{F}^{1, n}$.

   Здесь $\mathcal{M}(T)$ означает $\mathcal{M}\left(T,\left(u_{1}, \ldots , u_{n}\right),\left(v_{1}, \ldots , v_{n}\right)\right)$.