Тензорная алгебра

Доказать, что представление ненулевого разложимого элемента $z \in V \otimes W$ в виде $z = x \otimes y$ ($x \in V$, $y \in W$) единственно с точностью до замены $x \mapsto \lambda x$, $y \mapsto \lambda^{-1}y$ ($\lambda \in K^*$).

Доказать, что всякий элемент $z \in V \otimes W$ представляется в виде

где векторы $v_1, \ldots , v_r \in V$, а также векторы $w_1, \ldots , w_r \in W$ линейно независимы. Такое представление единственно с точностью до замены

где $A = (a_{kl})$ и $B = (b_{kl})$ --- невырожденные квадратные матрицы порядка $r$, связанные соотношением $A^\top B = E$. Число $r$ равно рангу матрицы координат элемента $z$.

Доказать, что

где $\mathscr {A}$ --- линейный оператор в $n$-мерном пространстве $V$, а $\mathscr {B}$ --- линейный оператор в $m$-мерном пространстве $W$.

Предположим, что характеристический многочлен оператора $\mathscr {A}$ имеет (с учетом кратностей) $n$ корней $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$, а характеристический многочлен оператора $\mathscr {B}$ имеет $m$ корней $\mu_1, \ldots , \mu_m$. Доказать, что тогда характеристический многочлен оператора $\mathscr {A} \otimes \mathscr {B}$ имеет $nm$ корней $\lambda_i\mu_j$ ($i=1,\ldots ,n$; $j=1,\ldots ,m$). Вывести отсюда (при сделанных предположениях) формулы

Доказать, что (для конечномерных пространств $V$ и $W$) пространство $L(V \otimes W)$ является тензорным произведением пространств $L(V)$ и $L(W)$ относительно определенного (в тексте параграфа) тензорного умножения линейных операторов.

Предположим, что характеристический многочлен оператора $\mathscr {A}$ имеет (с учетом кратностей) $n$ корней $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$. Доказать, что тогда характеристический многочлен оператора $S^2\mathscr {A}$ имеет $n(n+1)/2$ корней $\lambda_i\lambda_j$ ($1 \leq i \leq j \leq n$). Вывести отсюда формулу

Доказать, что

но, если только $\dim V > 1$, $T^p(V) \neq ST^p(V) + \Lambda T^p(V)$ при $p > 2$.

Доказать, что

Доказать, что при $p \leq q$ существует билинейное отображение

задаваемое на разложимых элементах формулой

где суммирование происходит по всем различным $i_1,\ldots ,i_p$, а $\{ j_1,\ldots ,j_{q-p}\}$ есть дополнение к $\{ i_1,\ldots ,i_p\}$ в $\{ 1,\ldots ,q\}$, упорядоченное произвольным образом.

Доказать, что если $\delta$ --- ненулевой элемент из $\Lambda^n(V^*)$, то отображение

где $\varphi$ --- билинейное отображение из задачи 8.4.3, является изоморфизмом, переводящим разложимые элементы в разложимые. Вывести отсюда другим способом (по сравнению с примером 4.2 §8.4), что всякий $(n-1)$-вектор разложим.