Тензорное произведение векторных пространств

Доказать, что представление ненулевого разложимого элемента $z \in V \otimes W$ в виде $z = x \otimes y$ ($x \in V$, $y \in W$) единственно с точностью до замены $x \mapsto \lambda x$, $y \mapsto \lambda^{-1}y$ ($\lambda \in K^*$).

Доказать, что всякий элемент $z \in V \otimes W$ представляется в виде

где векторы $v_1, \ldots , v_r \in V$, а также векторы $w_1, \ldots , w_r \in W$ линейно независимы. Такое представление единственно с точностью до замены

где $A = (a_{kl})$ и $B = (b_{kl})$ --- невырожденные квадратные матрицы порядка $r$, связанные соотношением $A^\top B = E$. Число $r$ равно рангу матрицы координат элемента $z$.

Доказать, что

где $\mathscr {A}$ --- линейный оператор в $n$-мерном пространстве $V$, а $\mathscr {B}$ --- линейный оператор в $m$-мерном пространстве $W$.

Предположим, что характеристический многочлен оператора $\mathscr {A}$ имеет (с учетом кратностей) $n$ корней $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$, а характеристический многочлен оператора $\mathscr {B}$ имеет $m$ корней $\mu_1, \ldots , \mu_m$. Доказать, что тогда характеристический многочлен оператора $\mathscr {A} \otimes \mathscr {B}$ имеет $nm$ корней $\lambda_i\mu_j$ ($i=1,\ldots ,n$; $j=1,\ldots ,m$). Вывести отсюда (при сделанных предположениях) формулы

Доказать, что (для конечномерных пространств $V$ и $W$) пространство $L(V \otimes W)$ является тензорным произведением пространств $L(V)$ и $L(W)$ относительно определенного (в тексте параграфа) тензорного умножения линейных операторов.