Банк задач по математике

Задача 8.4.1

Доказать, что

T^2(V) = ST^2(V) \oplus \Lambda T^2(V),

но, если только $\dim V > 1$ , $T^p(V) \neq ST^p(V) + \Lambda T^p(V)$ при $p > 2$ .

?

Задача 8.4.2

Доказать, что

\operatorname {tr} \Lambda ^2\mathscr {A} = \frac12((\operatorname {tr}\mathscr {A})^2-\operatorname {tr}\mathscr {A}^2).

?

Задача 8.4.3

Доказать, что при $p \leq q$ существует билинейное отображение

\varphi : \Lambda ^p(V) \times \Lambda ^q(V^*) \to \Lambda ^{q-p}(V^*),

задаваемое на разложимых элементах формулой

\varphi (x_1 \wedge \ldots \wedge x_p, \alpha _1 \wedge \ldots \wedge \alpha _q) = \sum _{i_1,\ldots ,i_p} \operatorname {sgn}(i_1,\ldots ,i_p,j_1,\ldots ,j_{q-p}) \alpha _{i_1}(x_1)\ldots \alpha _{i_p}(x_p)\alpha _{j_1} \wedge \ldots \wedge \alpha _{j_{q-p}},

где суммирование происходит по всем различным $i_1,\ldots ,i_p$ , а $\{ j_1,\ldots ,j_{q-p}\}$ есть дополнение к $\{ i_1,\ldots ,i_p\}$ в $\{ 1,\ldots ,q\}$ , упорядоченное произвольным образом.

?

Задача 8.4.4

Доказать, что если $\delta$ --- ненулевой элемент из $\Lambda^n(V^*)$ , то отображение

\Lambda ^p(V) \to \Lambda ^{n-p}(V^*), \qquad u \mapsto \varphi (u,\delta ),

где $\varphi$ --- билинейное отображение из задачи 8.4.3, является изоморфизмом, переводящим разложимые элементы в разложимые. Вывести отсюда другим способом (по сравнению с примером 4.2 §8.4), что всякий $(n-1)$ -вектор разложим.

?

Алгебра Грассмана