Глава 10

Группы

[12/42%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

10.1 · Прямые и полупрямые произведения[1/100%]

Задача 10.1.1

Выяснить, при каких $n$

\mathrm{GL}_n(\mathbb {R}) = \{ \lambda E: \lambda \in \mathbb {R}^*\} \times \mathrm{SL}_n(\mathbb {R}).

10.2 · Коммутант[1/100%]

Задача 10.2.1

Найти коммутант группы $\langle a\rangle_n \rtimes_k \langle b\rangle_m$ (см. пример 1.16).

10.3 · Действия[3/67%]

Задача 10.3.1

Описать классы сопряженных элементов в группе вращений куба.

Задача 10.3.2

Пусть задано действие конечной группы $G$ на конечном множестве $X$ . Множество орбит этого действия обозначим через $X/G$ , и для каждого элемента $g \in G$ множество его неподвижных точек в $X$ обозначим через $X^g$ . Доказать формулу Бернсайда:

|X/G| = \frac1{|G|}\sum _{g \in G} |X^g|.

Примечание.

Подсчитать двумя способами число элементов множества $F = \{ (g,x) \in G \times X: gx=x\}$ .

Задача 10.3.3

Пользуясь формулой Бернсайда и задачей 10.3.2, найти число существенно различных раскрасок граней куба в 3 цвета. (Две раскраски считаются существенно различными, если они не могут быть совмещены путем вращения куба.)

10.4 · Теоремы Силова[2/0%]

Задача 10.4.1

Рассуждая аналогично доказательству теоремы Силова о том, что число силовских $p$ -подгрупп сравнимо с 1 по модулю $p$ , доказать, что в группе порядка $p^n$ всякая подгруппа $H$ порядка $p^k$ , $k<n$ , имеет неподвижные точки в $G/H$ , отличные от $eH$ . Вывести отсюда, что $N(H) \neq H$ и что $H$ содержится в некоторой подгруппе порядка $p^{k+1}$ .

Задача 10.4.2

Доказать, что все группы порядка ${}<60$ разрешимы.

Примечание.

Доказать, что если $|G|=n<60$ , то для некоторого простого $p$ , $p \mid n$ , число $N$ силовских $p$ -подгрупп группы $G$ не превосходит 4; если при этом $N>1$ , то, рассмотрев действие группы $G$ на множестве этих подгрупп, получить нетривиальный гомоморфизм $G$ в группу перестановок этого множества и вывести отсюда существование нетривиальной нормальной подгруппы.

10.5 · Простые группы[5/20%]

Задача 10.5.1

Доказать, что конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда все факторы ее композиционного ряда абелевы.

Задача 10.5.2

Доказать, что единственной нетривиальной нормальной подгруппой группы $A_4$ является четверная группа Клейна $V_4$ .

Задача 10.5.3

Доказать, что всякая простая группа $G$ порядка 60 изоморфна $A_5$ .

Примечание.

Рассмотреть действие группы $G$ на множестве силовских 5-подгрупп, получить вложение $G \subset A_6$ ; далее рассмотреть действие группы $G$ на $A_6/G$ .

Задача 10.5.4

Найти порядок группы $\mathrm{PSL}_2(\mathbb {F}_q)$ , где $\mathbb {F}_q$ --- конечное поле из $q$ элементов. Доказать, что

\mathrm{PSL}_2(\mathbb {F}_2) \simeq S_3, \quad \mathrm{PSL}_2(\mathbb {F}_3) \simeq A_4, \quad \mathrm{PSL}_2(\mathbb {F}_4) \simeq \mathrm{PSL}_2(\mathbb {F}_5) \simeq A_5.

Примечание.

Рассмотреть естественное действие группы $G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb {F}_q)$ на проективной прямой $P(\mathbb {F}_q^2)$ над полем $\mathbb {F}_q$ ; при $q=5$ рассуждать, как в задаче 10.5.3.

Задача 10.5.5

Доказать, что группа $\mathrm{PSL}_2(\mathbb {C})$ проста.