Банк задач по математике

Задача 10.3.1

Описать классы сопряженных элементов в группе вращений куба.

?

Задача 10.3.2

Пусть задано действие конечной группы $G$ на конечном множестве $X$ . Множество орбит этого действия обозначим через $X/G$ , и для каждого элемента $g \in G$ множество его неподвижных точек в $X$ обозначим через $X^g$ . Доказать формулу Бернсайда:

|X/G| = \frac1{|G|}\sum _{g \in G} |X^g|.

?

Примечание.

?

Подсчитать двумя способами число элементов множества $F = \{ (g,x) \in G \times X: gx=x\}$ .

Задача 10.3.3

Пользуясь формулой Бернсайда и задачей 10.3.2, найти число существенно различных раскрасок граней куба в 3 цвета. (Две раскраски считаются существенно различными, если они не могут быть совмещены путем вращения куба.)

?

Действия