Теоремы Силова

[2/0%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 10.4.1

Рассуждая аналогично доказательству теоремы Силова о том, что число силовских $p$ -подгрупп сравнимо с 1 по модулю $p$ , доказать, что в группе порядка $p^n$ всякая подгруппа $H$ порядка $p^k$ , $k<n$ , имеет неподвижные точки в $G/H$ , отличные от $eH$ . Вывести отсюда, что $N(H) \neq H$ и что $H$ содержится в некоторой подгруппе порядка $p^{k+1}$ .

Задача 10.4.2

Доказать, что все группы порядка ${}<60$ разрешимы.

Примечание.

Доказать, что если $|G|=n<60$ , то для некоторого простого $p$ , $p \mid n$ , число $N$ силовских $p$ -подгрупп группы $G$ не превосходит 4; если при этом $N>1$ , то, рассмотрев действие группы $G$ на множестве этих подгрупп, получить нетривиальный гомоморфизм $G$ в группу перестановок этого множества и вывести отсюда существование нетривиальной нормальной подгруппы.