Банк задач по математике

Задача 10.5.1

Доказать, что конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда все факторы ее композиционного ряда абелевы.

?

Задача 10.5.2

Доказать, что единственной нетривиальной нормальной подгруппой группы $A_4$ является четверная группа Клейна $V_4$ .

?

Задача 10.5.3

Доказать, что всякая простая группа $G$ порядка 60 изоморфна $A_5$ .

?

Примечание.

?

Рассмотреть действие группы $G$ на множестве силовских 5-подгрупп, получить вложение $G \subset A_6$ ; далее рассмотреть действие группы $G$ на $A_6/G$ .

Задача 10.5.4

Найти порядок группы $\mathrm{PSL}_2(\mathbb {F}_q)$ , где $\mathbb {F}_q$ --- конечное поле из $q$ элементов. Доказать, что

\mathrm{PSL}_2(\mathbb {F}_2) \simeq S_3, \quad \mathrm{PSL}_2(\mathbb {F}_3) \simeq A_4, \quad \mathrm{PSL}_2(\mathbb {F}_4) \simeq \mathrm{PSL}_2(\mathbb {F}_5) \simeq A_5.

?

Примечание.

?

Рассмотреть естественное действие группы $G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb {F}_q)$ на проективной прямой $P(\mathbb {F}_q^2)$ над полем $\mathbb {F}_q$ ; при $q=5$ рассуждать, как в задаче 10.5.3.

Задача 10.5.5

Доказать, что группа $\mathrm{PSL}_2(\mathbb {C})$ проста.

?

Простые группы