ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

Пусть $E \in \mathscr {F}$.

Пусть $t, s, s_{1}, s_{2}, \ldots \in \mathbb {S}$. Почему мы не можем сказать, что $\mathfrak {I}_{E}^{s}(a s+ b t)=a \mathfrak {I}_{E}^{s}(s)+b \mathfrak {I}_{E}^{s}(t)$ для каждого $a, b \in \mathbb {R}$, по сравнению с утверждением, что результат верен для каждого $0 \leqslant a, b<\infty$? Также, почему мы не можем в общем случае записать $\mathcal{I}_{E}^{s}\left(\sum_{i=1}^{\infty } c_{i} s_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty } c_{i} \mathcal{I}_{E}^{s}\left(s_{i}\right)$?

Пусть $E \in \mathscr {F}$ таково, что $\mu (E)>0$. Тогда $\mathcal{I}_{E}^{s}(s)=0$ тогда и только тогда, когда $s=0$ $\mu$-п. в. на E. В частности, $\mathcal{I}^{\mathcal{s}}(s)=0$ тогда и только тогда, когда $s=0$ $\mu$-п. в. [на $\Omega$].

Пусть $E \in \mathcal{F}$ и $s \in \mathbb {S}$.

Предположим, что $\left\{ E_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — невозрастающая последовательность $\mathcal{F}$-множеств. Также пусть $s \in \mathbb {S}$.

Пусть $s \in \mathbb {S}$, и вспомним (S7), где $v_{s}$ — мера на $\mathcal{F}$ с $\nu_{s}(B)=\mathcal{I}_{B}^{s}(s)$ для каждого $B \in \mathcal{F}$. Тогда для любых $E \in \mathcal{F}$ и $t \in \mathfrak {S}$ имеем $\mathcal{I}_{E}^{s}\left(t ; \nu_{s}\right)=\mathcal{I}_{E}^{s}(t s ; \mu )$.

Пусть $A \in \mathcal{F}$ непусто, и пусть $s \in \mathfrak {S}$. Пусть $\mathcal{F}_{A}=\left\{ E \subseteq A: E \in \mathcal{F}\right\}$, и пусть $\mu_{A}$ обозначает сужение $\mu$ с $\mathcal{F}$ на $\mathcal{F}_{A}$. Наконец, пусть $s_{A}$ обозначает сужение $s$ с $\Omega$ на $A$.

Пусть $A \in \mathcal{F} \backslash \left\{ \varnothing \right\}$, и предположим, что $s: A \rightarrow [0, \infty )$ проста и $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$-измерима. Пусть $E \in \mathcal{F}_{A}$, где $\mathcal{F}_{A}$ определена в предыдущей задаче. Рассмотрим две программы:

Программа 1. Продолжим $s$ с $A$ на $\Omega$ следующим образом: пусть $s^{*} \in \mathbb {S}$ таково, что $s^{*}=s$ на $A$ и $s^{*}=0$ на $A^{c}$.

Программа 2. Не будем продолжать $s$ с $A$ на $\Omega$, как в Программе 1, а вместо этого рассмотрим $s$ как функцию, определённую всюду относительно пространства с мерой ( $A, \mathscr {F}_{A}, \mu_{A}$ ), где обозначения такие же, как в предыдущей задаче.

Эти две программы эквивалентны в том смысле, что $\mathcal{I}_{E}^{s}\left(s^{*} ; \mu \right)=\mathscr {I}_{E}\left(s ; \mu_{A}\right)$, где $\mathfrak {I}_{E}^{s}$ — функционал этого раздела относительно пространства с мерой ( $\Omega , \mathcal{F}, \mu$ ), а $\mathscr {J}_{E}$ — функционал этого раздела относительно пространства с мерой ( $A, \mathscr {F}_{A}, \mu_{A}$ ).

Быстро докажите следующую модификацию «почти всюду» для (S3) и (S4). Как обычно, $s, t \in \mathbb {S}$, и все множества лежат в $\mathcal{F}$.

[(S3): если $s=t$ на $E$, то $\mathcal{I}_{F}^{s}(s)=\mathcal{I}_{F}^{s}(t)$ для каждого $F \subseteq E$. (S4): $s \leqslant t$ [на $\Omega$] влечёт $\mathcal{I}_{E}^{s}(s) \leqslant \mathcal{I}_{E}^{s}(t)$; более общо, если $s \leqslant t$ на $E$, то $\mathcal{I}_{F}^{s}(s) \leqslant \mathcal{I}_{F}^{s}(t)$ для каждого $F \subseteq E$.]

Докажите

В (N5) утверждалось, что $\mathcal{I}_{E}^{n}(c f)=c \mathcal{I}_{E}^{n}(f)$ для каждого $c \in [0, \infty )$. Этот результат на самом деле верен и при $c=\infty$: $\mathfrak {I}_{E}^{n}(\infty f)=\infty \mathfrak {I}_{E}^{n}(f)$. Следовательно, (N5) верно для всех $c \in [0, \infty ]$. Аналогично, мы можем допустить, чтобы числа $c_{1}, \ldots , c_{n}$ лежали в $\left[0, \infty \right]$ в формулировке (N8).

[(N8)(a): для функций $g, f, f_{1}, f_{2}, \ldots \in \mathfrak {N}$, $\mathcal{I}_{E}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n} c_{i} f_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} c_{i} \mathcal{I}_{E}^{n}\left(f_{i}\right)$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ и выбора $c_{1}, \ldots , c_{n} \in [0, +\infty )$, так что $\mathcal{I}_{E}^{n}$ линеен в этом смысле; данная задача распространяет это на $c_{1}, \ldots , c_{n} \in [0, +\infty ]$.]

Эта задача касается леммы Фату.

Пусть $\Omega$ обозначает произвольное непустое множество, и зафиксируем внимание на некотором конкретном $\omega_{0} \in \Omega$. Пусть $\mathcal{F}=2^{\Omega }$, и определим $\mu : \mathcal{F} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, полагая $\mu (A)=1$, если $\omega_{0} \in A$, и $\mu (A)=0$, если $\omega_{0} \notin A$.

Пусть $\Omega$ обозначает несчётное множество, и пусть \mathcal{F}=\left\{ A \subseteq \Omega : A не более чем счётно (amc) или $A^{c}$ не более чем счётно. Определим $\mu : \mathcal{F} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ для всех $A \in \mathcal{F}$, полагая $\mu (A)=0$, если $A$ не более чем счётно, и $\mu (A)=1$, если $A^{c}$ не более чем счётно.

Пусть $\Omega$ обозначает произвольное непустое множество, пусть $A \subseteq \Omega$, и пусть задана $f: \Omega \rightarrow [0, \infty ]$. Запишем

Пусть $\Omega$ обозначает непустое множество, пусть $\mathcal{F}=2^{\Omega }$, и пусть $\mu : \mathcal{F} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ таково, что $\mu (A)=$ число точек в $A$, когда $A$ конечно, и $\mu (A)=\infty$ в противном случае.

Предыдущая задача о считающей мере имеет несколько интересных приложений к утверждениям о бесконечных рядах.

Рассмотрим пространство с мерой $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$, и пусть $E \in \mathcal{F}$. Для каждой $f \in \mathfrak {N}$ определим

где верхняя грань берётся по всем конечным дизъюнктным совокупностям $\left\{ A_{1}, \cdots , A_{n}\right\}$ $\mathcal{F}$-множеств с $\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}=\Omega$. Тогда $\bar{\mathcal{J}}_{E}(f)=\bar{\mathcal{I}}_{E}(f)$, так что это эквивалентная формулировка того, что мы сделали в этом разделе.

[Вспомним арифметические соглашения $+\infty \times 0=0 \times +\infty =0$ и $\inf \varnothing =+\infty$ для случая, когда некоторое $A_{i}=\varnothing$.]

Рассмотрим пространство с мерой $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$, и пусть $E \in \mathcal{F}$ и $f \in \mathfrak {N}$. Определим $\bar{\mathcal{J}}_{E}(f)=\lim_{n} \mathcal{I}_{E}\left(s_{n}\right)$, где $\left\{ s_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — неубывающая последовательность функций из $\mathfrak {S}_{f}$ такая, что $s_{n} \rightarrow f$. Мы покажем, что $\bar{\mathcal{J}}_{E}(f)=\bar{\mathcal{I}}_{E}(f)$, не используя МСХ (теорему о монотонной сходимости), так что это определение могло бы вместо этого служить нашим определением.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ обозначает пространство с мерой с $E \in \mathcal{F}$ таким, что $\mu (E)<+\infty$, и пусть $f \in \mathfrak {N}$. Первоначальный вариант нашего оператора у Лебега таков:

Пусть $\Omega$ обозначает непустое множество, и пусть $\mathcal{F}$ обозначает $\sigma$-алгебру на $\Omega$. Для каждого $n \in \mathbb {N}$ пусть $\mu_{n}$ обозначает меру с областью определения $\mathcal{F}$. Для каждого $n \in \mathbb {N}$ пусть $\sum_{i=1}^{n} \mu_{i}$ обозначает меру, сопоставляющую значение $\sum_{i=1}^{n} \mu_{i}(A)$ каждому $A \in \mathcal{F}$.

Пусть $A \in \mathcal{F}$ непусто, и предположим, что $f: A \rightarrow [0,+\infty ]$ является $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$-измеримой. Пусть $E \in \mathcal{F}_{A}$, где $\mathcal{F}_{A}$ — множество $\mathcal{F}$-подмножеств $A$. Рассмотрим две программы:

Программа 1: Продолжим $f$ с $A$ на $\Omega$ следующим образом: пусть $f^{*} \in \mathfrak {N}$ таково, что $f^{*}=f$ на $A$ и $f^{*}=0$ на $A^{c}$.

Программа 2: Не будем продолжать $f$ с $A$ на $\Omega$, как в Программе 1, а вместо этого рассмотрим $f$ как функцию, определённую всюду относительно пространства с мерой $\left(A, \mathcal{F}_{A}, \mu_{A}\right)$, где $\mu_{A}$ — сужение $\mu$ с $\mathcal{F}$ на $\mathcal{F}_{A}$.

Эти две программы эквивалентны в том смысле, что $\bar{\mathcal{I}}_{E}\left(f^{*} ; \mu \right)=\bar{\mathcal{J}}_{E}\left(f ; \mu_{A}\right)$, где $\bar{\mathcal{I}}_{E}$ — функционал этого раздела относительно пространства с мерой $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$, а $\bar{\mathcal{J}}_{E}$ — функционал этого раздела относительно пространства с мерой $\left(A, \mathcal{F}_{A}, \mu_{A}\right)$.

Пусть ( $\Omega , \mathcal{F}, \mu$ ) произвольно. Предположим, что $\mathcal{F}_{0} \subseteq \mathcal{F}$ является $\sigma$-алгеброй на $\Omega$, и пусть $\mu_{0}$ обозначает сужение $\mu$ на $\mu_{0}$. Если неотрицательная $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$-измеримая функция $f$, определённая на $\Omega$, оказывается вдобавок $\mathcal{F}_{0} / \mathcal{B}^{*}$-измеримой, то $\mathcal{I}_{E}^{n}(f ; \mu )=\mathcal{I}_{E}^{n}\left(f ; \mu_{0}\right)$ для каждого $E \in \mathcal{F}_{0}$.

(N16): Предположим, что $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, и далее предположим, что $\bar{\mathcal{I}}_{E}(f)=\bar{\mathcal{I}}_{E}(g)$ для каждого $E \in \mathcal{F}$. Тогда $f=g$ $\mu$-п.в. на $\Omega$.

Имеем следующие утверждения, связанные с (N16):

Пусть $f$ обозначает неотрицательную $\mathcal{F}^{\prime } / \mathcal{B}^{*}$-измеримую функцию. Имеем два равенства

и

Пусть $E \in \mathcal{F}$ таково, что $\mu (E)<\infty$, и пусть $f \in \mathfrak {M}$ таково, что $f=0$ на $E^{c}$ и $m \leqslant f \leqslant M$ на $E$, где $m, M \in \mathbb {R}$. Тогда $\mathcal{I}^{g}(f)$ существует и конечен. Более того, имеем $m \mu (E) \leqslant \mathcal{I}^{g}(f) \leqslant M \mu (E)$.

Пусть $E \in \mathscr {F}$, $\varepsilon >0$, и пусть $f \in \mathfrak {M}$ таково, что $\mathcal{I}_{E}^{g}(f)$ существует и конечен. Существует подмножество $F \subseteq E$ такое, что $\mu (F)<\infty$ и $\left|\mathcal{I}_{E}^{g}(f)-\mathcal{I}_{F}^{g}(f)\right|<\varepsilon$.

$f$ такова, что $\mathcal{I}_{E}^{g}(f)$ существует и конечен тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0$ существуют функции $g$ и $h$ из $\mathfrak {M}$ такие, что $h \leqslant f \leqslant g$ на $E$ и $\mathcal{I}_{E}^{g}(g-h)<\varepsilon$.

Пусть $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ обозначает последовательность неотрицательных функций из $\mathfrak {M}$. Для каждого $n \in \mathbb {N}$ и $E \in \mathcal{F}$ определим $v_{n}(E)=\mathcal{I}_{E}^{g}\left(f_{n} ; \mu \right)$ и $v(E)=\mathcal{I}_{E}^{g}(f ; \mu )$. Далее предположим, что $v(\Omega ), v_{1}(\Omega ), v_{2}(\Omega ), \ldots$ конечны и $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$-п.в. на $\Omega$. Тогда

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )=\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {B}^{k}, \lambda_{k}\right)$ с $E \in \mathcal{F}$, и пусть $f \in \mathfrak {M}$ таково, что $\mathcal{I}^{g}(f)$ существует и конечен.

Предположим, что $\mu (\Omega )<\infty$, $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность функций из $\mathfrak {M}$ такая, что существует $M \in \mathbb {R}$ с $\left|f_{n}\right| \leq M$ для каждого $n \in \mathbb {N}$, и пусть $f \in \mathfrak {M}$ таково, что $f_{n} \rightarrow f$ равномерно на $E$. Тогда $\lim_{n} \mathcal{I}_{E}^{g}\left(f_{n}\right)=\mathcal{I}_{E}^{g}(f)$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает неубывающую последовательность функций из $\mathfrak {M}$ такую, что $\mathcal{I}_{E}^{g}\left(f_{n}\right)$ существует и конечен для каждого $n \in \mathbb {N}$, и $\sup_{n \in \mathbb {N}} \mathcal{I}_{E}^{g}\left(f_{n}\right)<\infty$. Тогда $\mathcal{I}_{E}^{g}\left(\lim_{n} f_{n}\right)$ существует, конечен и равен $\lim_{n} \mathcal{I}_{E}^{g}\left(f_{n}\right)$. Это одна из форм теоремы Беппо Леви.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} ,\left\{ g_{n}\right\}$ и $\left\{ h_{n}\right\}$ обозначают последовательности функций из $\mathfrak {M}$ такие, что $f_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} f, g_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} g$, и $h_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} h$ для некоторых функций $f, g, h \in \mathfrak {M}$.

Предположим для любого $p \in \left\{ g, g_{1}, g_{2}, \ldots , h, h_{1}, h_{2}, \ldots \right\}$, что $\mathcal{I}_{E}^{g}(p)$ существует и конечен. Далее предположим, что $\lim_{n} \mathcal{I}_{E}^{g}\left(g_{n}\right)=\mathcal{I}_{E}^{g}(g)$ и $\lim_{n} \mathcal{I}_{E}^{g}\left(h_{n}\right)=\mathcal{I}_{E}^{g}(h)$. Также предположим, что $g_{n} \leqslant f_{n} \leqslant h_{n}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$.

В свойствах (G6) и (G9) мы дали доказательство для случая «всюду». Докажите случай «почти всюду» для этих двух свойств. [Не должно возникнуть никаких затруднений.]

(G6): если $f \leqslant g$ $\mu$-п.в. на $E$ и $f, g \in \mathfrak {M}(E)$, то $\overline{\overline{\mathcal{I}}}_{E}(f) \leqslant \overline{\overline{\mathcal{I}}}_{E}(g)$.

(G9): если $\overline{\overline{\mathcal{I}}}_{E}(f)$ существует и конечен, и $g$ такова, что $\left|g\right| \leqslant f$ $\mu$-п.в. на $E$, то $\overline{\overline{\mathcal{I}}}_{E}(g)$ существует и конечен. Как следствие, любая $f \in \mathfrak {M}$, ограниченная $\mu$-п.в. на множестве $E$ конечной меры и равная нулю $\mu$-п.в. на $E^{c}$, такова, что $\overline{\overline{\mathcal{I}}}_{F}(f)$ существует и конечен для каждого $F \in \mathcal{F}$.

Предположим, что для каждого $t \in \mathbb {R}$ имеем $f_{t} \in \mathfrak {M}$, и предположим, что $\lim_{t \rightarrow +\infty } f_{t}(\omega )$ существует для каждого $\omega \in \Omega$. Далее, предположим, что существует неотрицательная $g \in \mathfrak {M}$ такая, что $\bar{\mathcal{I}}_{E}(g)$ существует и конечен; далее предположим, что $\left|f_{t}\right| \leqslant g$ для каждого $t \in \mathbb {R}$.