Этап первый: простые функции

Пусть $E \in \mathscr {F}$.

Пусть $t, s, s_{1}, s_{2}, \ldots \in \mathbb {S}$. Почему мы не можем сказать, что $\mathfrak {I}_{E}^{s}(a s+ b t)=a \mathfrak {I}_{E}^{s}(s)+b \mathfrak {I}_{E}^{s}(t)$ для каждого $a, b \in \mathbb {R}$, по сравнению с утверждением, что результат верен для каждого $0 \leqslant a, b<\infty$? Также, почему мы не можем в общем случае записать $\mathcal{I}_{E}^{s}\left(\sum_{i=1}^{\infty } c_{i} s_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty } c_{i} \mathcal{I}_{E}^{s}\left(s_{i}\right)$?

Пусть $E \in \mathscr {F}$ таково, что $\mu (E)>0$. Тогда $\mathcal{I}_{E}^{s}(s)=0$ тогда и только тогда, когда $s=0$ $\mu$-п. в. на E. В частности, $\mathcal{I}^{\mathcal{s}}(s)=0$ тогда и только тогда, когда $s=0$ $\mu$-п. в. [на $\Omega$].

Пусть $E \in \mathcal{F}$ и $s \in \mathbb {S}$.

Предположим, что $\left\{ E_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — невозрастающая последовательность $\mathcal{F}$-множеств. Также пусть $s \in \mathbb {S}$.

Пусть $s \in \mathbb {S}$, и вспомним (S7), где $v_{s}$ — мера на $\mathcal{F}$ с $\nu_{s}(B)=\mathcal{I}_{B}^{s}(s)$ для каждого $B \in \mathcal{F}$. Тогда для любых $E \in \mathcal{F}$ и $t \in \mathfrak {S}$ имеем $\mathcal{I}_{E}^{s}\left(t ; \nu_{s}\right)=\mathcal{I}_{E}^{s}(t s ; \mu )$.

Пусть $A \in \mathcal{F}$ непусто, и пусть $s \in \mathfrak {S}$. Пусть $\mathcal{F}_{A}=\left\{ E \subseteq A: E \in \mathcal{F}\right\}$, и пусть $\mu_{A}$ обозначает сужение $\mu$ с $\mathcal{F}$ на $\mathcal{F}_{A}$. Наконец, пусть $s_{A}$ обозначает сужение $s$ с $\Omega$ на $A$.

Пусть $A \in \mathcal{F} \backslash \left\{ \varnothing \right\}$, и предположим, что $s: A \rightarrow [0, \infty )$ проста и $\mathcal{F} / \mathcal{B}^{*}$-измерима. Пусть $E \in \mathcal{F}_{A}$, где $\mathcal{F}_{A}$ определена в предыдущей задаче. Рассмотрим две программы:

Программа 1. Продолжим $s$ с $A$ на $\Omega$ следующим образом: пусть $s^{*} \in \mathbb {S}$ таково, что $s^{*}=s$ на $A$ и $s^{*}=0$ на $A^{c}$.

Программа 2. Не будем продолжать $s$ с $A$ на $\Omega$, как в Программе 1, а вместо этого рассмотрим $s$ как функцию, определённую всюду относительно пространства с мерой ( $A, \mathscr {F}_{A}, \mu_{A}$ ), где обозначения такие же, как в предыдущей задаче.

Эти две программы эквивалентны в том смысле, что $\mathcal{I}_{E}^{s}\left(s^{*} ; \mu \right)=\mathscr {I}_{E}\left(s ; \mu_{A}\right)$, где $\mathfrak {I}_{E}^{s}$ — функционал этого раздела относительно пространства с мерой ( $\Omega , \mathcal{F}, \mu$ ), а $\mathscr {J}_{E}$ — функционал этого раздела относительно пространства с мерой ( $A, \mathscr {F}_{A}, \mu_{A}$ ).

Быстро докажите следующую модификацию «почти всюду» для (S3) и (S4). Как обычно, $s, t \in \mathbb {S}$, и все множества лежат в $\mathcal{F}$.

[(S3): если $s=t$ на $E$, то $\mathcal{I}_{F}^{s}(s)=\mathcal{I}_{F}^{s}(t)$ для каждого $F \subseteq E$. (S4): $s \leqslant t$ [на $\Omega$] влечёт $\mathcal{I}_{E}^{s}(s) \leqslant \mathcal{I}_{E}^{s}(t)$; более общо, если $s \leqslant t$ на $E$, то $\mathcal{I}_{F}^{s}(s) \leqslant \mathcal{I}_{F}^{s}(t)$ для каждого $F \subseteq E$.]