Этап третий: произвольные измеримые функции

Пусть $E \in \mathcal{F}$ таково, что $\mu (E)<\infty$, и пусть $f \in \mathfrak {M}$ таково, что $f=0$ на $E^{c}$ и $m \leqslant f \leqslant M$ на $E$, где $m, M \in \mathbb {R}$. Тогда $\mathcal{I}^{g}(f)$ существует и конечен. Более того, имеем $m \mu (E) \leqslant \mathcal{I}^{g}(f) \leqslant M \mu (E)$.

Пусть $E \in \mathscr {F}$, $\varepsilon >0$, и пусть $f \in \mathfrak {M}$ таково, что $\mathcal{I}_{E}^{g}(f)$ существует и конечен. Существует подмножество $F \subseteq E$ такое, что $\mu (F)<\infty$ и $\left|\mathcal{I}_{E}^{g}(f)-\mathcal{I}_{F}^{g}(f)\right|<\varepsilon$.

$f$ такова, что $\mathcal{I}_{E}^{g}(f)$ существует и конечен тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0$ существуют функции $g$ и $h$ из $\mathfrak {M}$ такие, что $h \leqslant f \leqslant g$ на $E$ и $\mathcal{I}_{E}^{g}(g-h)<\varepsilon$.

Пусть $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ обозначает последовательность неотрицательных функций из $\mathfrak {M}$. Для каждого $n \in \mathbb {N}$ и $E \in \mathcal{F}$ определим $v_{n}(E)=\mathcal{I}_{E}^{g}\left(f_{n} ; \mu \right)$ и $v(E)=\mathcal{I}_{E}^{g}(f ; \mu )$. Далее предположим, что $v(\Omega ), v_{1}(\Omega ), v_{2}(\Omega ), \ldots$ конечны и $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$-п.в. на $\Omega$. Тогда

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mu )=\left(\mathbb {R}^{k}, \mathscr {B}^{k}, \lambda_{k}\right)$ с $E \in \mathcal{F}$, и пусть $f \in \mathfrak {M}$ таково, что $\mathcal{I}^{g}(f)$ существует и конечен.

Предположим, что $\mu (\Omega )<\infty$, $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность функций из $\mathfrak {M}$ такая, что существует $M \in \mathbb {R}$ с $\left|f_{n}\right| \leq M$ для каждого $n \in \mathbb {N}$, и пусть $f \in \mathfrak {M}$ таково, что $f_{n} \rightarrow f$ равномерно на $E$. Тогда $\lim_{n} \mathcal{I}_{E}^{g}\left(f_{n}\right)=\mathcal{I}_{E}^{g}(f)$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает неубывающую последовательность функций из $\mathfrak {M}$ такую, что $\mathcal{I}_{E}^{g}\left(f_{n}\right)$ существует и конечен для каждого $n \in \mathbb {N}$, и $\sup_{n \in \mathbb {N}} \mathcal{I}_{E}^{g}\left(f_{n}\right)<\infty$. Тогда $\mathcal{I}_{E}^{g}\left(\lim_{n} f_{n}\right)$ существует, конечен и равен $\lim_{n} \mathcal{I}_{E}^{g}\left(f_{n}\right)$. Это одна из форм теоремы Беппо Леви.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} ,\left\{ g_{n}\right\}$ и $\left\{ h_{n}\right\}$ обозначают последовательности функций из $\mathfrak {M}$ такие, что $f_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} f, g_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} g$, и $h_{n} \xrightarrow {\text{ п.в. }} h$ для некоторых функций $f, g, h \in \mathfrak {M}$.

Предположим для любого $p \in \left\{ g, g_{1}, g_{2}, \ldots , h, h_{1}, h_{2}, \ldots \right\}$, что $\mathcal{I}_{E}^{g}(p)$ существует и конечен. Далее предположим, что $\lim_{n} \mathcal{I}_{E}^{g}\left(g_{n}\right)=\mathcal{I}_{E}^{g}(g)$ и $\lim_{n} \mathcal{I}_{E}^{g}\left(h_{n}\right)=\mathcal{I}_{E}^{g}(h)$. Также предположим, что $g_{n} \leqslant f_{n} \leqslant h_{n}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$.

В свойствах (G6) и (G9) мы дали доказательство для случая «всюду». Докажите случай «почти всюду» для этих двух свойств. [Не должно возникнуть никаких затруднений.]

(G6): если $f \leqslant g$ $\mu$-п.в. на $E$ и $f, g \in \mathfrak {M}(E)$, то $\overline{\overline{\mathcal{I}}}_{E}(f) \leqslant \overline{\overline{\mathcal{I}}}_{E}(g)$.

(G9): если $\overline{\overline{\mathcal{I}}}_{E}(f)$ существует и конечен, и $g$ такова, что $\left|g\right| \leqslant f$ $\mu$-п.в. на $E$, то $\overline{\overline{\mathcal{I}}}_{E}(g)$ существует и конечен. Как следствие, любая $f \in \mathfrak {M}$, ограниченная $\mu$-п.в. на множестве $E$ конечной меры и равная нулю $\mu$-п.в. на $E^{c}$, такова, что $\overline{\overline{\mathcal{I}}}_{F}(f)$ существует и конечен для каждого $F \in \mathcal{F}$.

Предположим, что для каждого $t \in \mathbb {R}$ имеем $f_{t} \in \mathfrak {M}$, и предположим, что $\lim_{t \rightarrow +\infty } f_{t}(\omega )$ существует для каждого $\omega \in \Omega$. Далее, предположим, что существует неотрицательная $g \in \mathfrak {M}$ такая, что $\bar{\mathcal{I}}_{E}(g)$ существует и конечен; далее предположим, что $\left|f_{t}\right| \leqslant g$ для каждого $t \in \mathbb {R}$.

Предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность функций из $\mathfrak {M}$ такая, что $\lim_{n} f_{n}$ существует на $\Omega$. Далее предположим, что $\left\{ g_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность неотрицательных функций из $\mathfrak {M}$ такая, что для всех $n \in \mathbb {N}$ имеем (i) $\bar{\mathcal{I}}_{E}\left(g_{n}\right)$ существует и конечен и (ii) $\left|f_{n}\right| \leqslant g_{n}$. Наконец, предположим, что (iii) $\lim_{n} g_{n}$ существует на $\Omega$, (iv) $\bar{\mathcal{I}}_{E}\left(\lim_{n} g_{n}\right)$ существует и конечен, и (v) $\bar{\mathcal{I}}_{E}\left(\lim_{n} g_{n}\right)=\lim_{n} \bar{\mathcal{I}}_{E}\left(g_{n}\right)$. Тогда $\bar{\mathcal{I}}_{E}\left(\lim_{n} f_{n}\right)=\lim_{n} \bar{\mathcal{I}}_{E}\left(f_{n}\right)$.

Предположим, что $\mathcal{I}_{\cup_{n=1}^{\infty } E_{n}}^{g}(f)$ существует и конечен, где $\left\{ E_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — дизъюнктная последовательность $\mathcal{F}$-множеств. Тогда $\mathcal{I}_{\cup_{n=1}^{g} E_{n}}^{\infty }(f)=\sum_{n=1}^{\infty } \mathcal{I}_{E_{n}}^{g}(f)$, причём ряд сходится абсолютно.

Предположим для каждого $n \in \mathbb {N}$, что (i) $\bar{\mathcal{I}}\left(f_{n}\right)$ существует и конечен и (ii) $f_{n}$ конечна. Предположим также, что $\sum_{n=1}^{\infty } \bar{\mathcal{I}}\left(f_{n}\right)<+\infty$.

Предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность элементов $\mathfrak {N}$, сходящаяся к некоторой $f \in \mathfrak {N}$. Более того, предположим, что существует $0 \leqslant M<\infty$ такое, что $\mathcal{I}^{g}\left(f_{n}\right) \leqslant M$ для каждого $n \in \mathbb {N}$. Тогда $\mathcal{I}^{g}(f)$ существует, конечен и не превосходит $M$.