Этап четвёртый: функции, определённые почти всюду

Если $\varphi \geqslant 0$, то $\int_{f^{-1}\left(A^{\prime }\right)} \varphi \circ f \mathrm{~ d} \mu =\int_{A^{\prime }} \varphi \mathrm{d}\left(\mu \circ f^{-1}\right)$.

Для общей $\varphi , \int_{f^{-1}\left(A^{\prime }\right)} \varphi \circ f \mathrm{~ d} \mu$ существует и конечен тогда и только тогда, когда $\int_{A^{\prime }} \varphi \mathrm{d}\left(\mu \circ f^{-1}\right)$ существует и конечен, и в этом случае они равны.

Для каждого $n \in \mathbb {N}$ имеем $f_{n} \in L^{1}(\Omega )$, а также $\sum_{n=1}^{\infty } f_{n} \in L^{1}(\Omega )$.

Имеет место равенство $\int \sum_{n=1}^{\infty } f_{n}=\sum_{n=1}^{\infty } \int f_{n}$.

Докажите следующее следствие: если $\sum_{n=1}^{\infty } \int \left|f_{n}\right|$ сходится, то $\sum_{n=1}^{\infty } f_{n}$ сходится абсолютно $\mu$-п.в. на $\Omega$, и вновь выполняется равенство $\int \sum_{n=1}^{\infty } f_{n}=\sum_{n=1}^{\infty } \int f_{n}$.

Пусть $A_{n}=\left\{ \omega \in \Omega : \left|f(\omega )\right| \geqslant n\right\}$. Тогда $\lim_{n}\left|f_{n}(\omega )\right| \; \mathbb {1}_{A_{n}}(\omega )=0$ для $\mu$-п.в. $\omega \in \Omega$.

Используя ТМС (теорему о мажорируемой сходимости), покажите, что $\lim_{n} \int_{A_{n}}\left|f\right|=0$.

Предположим, что $\mu (\Omega )<+\infty$ и $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ равномерно интегрируема. Тогда каждая $f_{n}$ принадлежит $L^{1}(\Omega )$.

Если $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ и $\left\{ g_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ равномерно интегрируемы, то и $\left\{ f_{n}+g_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ равномерно интегрируема.

Предположим, что $\mu (\Omega )<+\infty$, $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$-п.в. на $\Omega$, и $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ равномерно интегрируема. Тогда $f \in L^{1}(\Omega )$ и $\lim \int f_{n}=\int f$.

Предположим, что $\mu (\Omega )<+\infty$ и что $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$-п.в. на $\Omega$, где каждая из $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ неотрицательна и принадлежит $L^{1}(\Omega )$. Если $\lim \int f_{n}=\int f$, то $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ равномерно интегрируема.

Предположим, что $\mu (\Omega )<+\infty$, $f, f_{1}, f_{2}, \ldots \in L^{1}(\Omega )$, и $f_{n} \rightarrow f$ $\mu$-п.в. на $\Omega$. Тогда следующие утверждения логически эквивалентны:

1. $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ равномерно интегрируема.

2. $\lim \int \left|f_{n}-f\right|=0$.

3. $\lim \int \left|f_{n}\right| \rightarrow \int \left|f\right|$.

Предположим, что $\mu (\Omega )<+\infty$. Тогда $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда (i) $\int \left|f_{n}\right|$ ограничен и (ii) для любого $\varepsilon >0$ найдётся $\delta >0$ такое, что $\mu (E)<\delta$ влечёт $\int_{E}\left|f_{n}\right|<\varepsilon$ для каждого $n \in \mathbb {N}$.

Сделаем следующие дополнительные предположения:

1. Существует $g \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ с областью определения $\Omega$ такая, что $\left|f_{\theta }(\omega )\right| \leqslant g(\omega )$ для каждого $\omega \in \Omega$ и $\theta \in \Theta$.

2. Элемент $\theta_{0} \in \Theta$ таков, что $\lim_{\theta \rightarrow \theta_{0}} f_{\theta }(\omega )=f_{\theta_{0}}(\omega )$ для $\mu$-п.в. $\omega \in \Omega$. Покажите, что $\lim_{\theta \rightarrow \theta_{0}} F(\theta )=F\left(\theta_{0}\right)$, так что $F$ непрерывна в точке $\theta_{0}$.

Забудьте о предположениях из (a) и вместо них сделайте следующий новый набор предположений:

1. Для $\mu$-п.в. $\omega \in \Omega$ функция $f_{\theta }(\omega )$ дифференцируема по каждому $\theta \in \Theta$.

2. Существует $g \in L^{1}(\Omega , \mathcal{F}, \mu )$ с областью определения $\Omega$ такая, что $\left|\frac{\partial }{\partial \theta } f_{\theta }(\omega )\right| \leqslant g(\omega )$ для $\mu$-п.в. $\omega \in \Omega$ и всех $\theta \in \Theta$. Покажите, что (i) $F$ дифференцируема на $\Theta$, и (ii) $\frac{\partial }{\partial \theta } F(\theta )=\int_{\Omega } \frac{\partial }{\partial \theta } f_{\theta }(\omega ) \, d\mu (\omega )$.

Существует $f$ на $\Omega$, являющаяся $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$-измеримой, с $f=\bar{f}$ $\bar{\mu }$-п.в. [Здесь обратитесь к плану решения задачи 2 раздела 5.5, где там $\mathcal{F}$ состояла из борелевских множеств, а $\bar{\mathcal{F}}$ состояла из лебеговых множеств. Заметьте, что в этом плане не использовалось ничего специфичного для евклидова пространства — только общие результаты о пополнении, — следовательно, тот же план сработает и здесь.]

Если существует один из интегралов $\int \bar{f} \, d\bar{\mu }$ и $\int f \, d\mu$, то существует и другой, и оба интеграла совпадают. Следовательно, интегралы $\bar{\mathcal{F}}/\mathcal{B}^{*}$-измеримых функций по $\bar{\mu }$ полностью определяются интегралами $\mathcal{F}/\mathcal{B}^{*}$-измеримых функций по $\mu$. [Возможно, лучше всего использовать обычный подход при доказательстве результатов об интегралах: показать, что утверждение верно сначала для простых, затем для неотрицательных, затем для измеримых функций.]