МЕРЫ

Некоторые определяют вероятностную меру $P$ на $\sigma$-поле $\mathcal{A}$ подмножеств $\Omega$, постулируя, что (i) $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$ для всех $A \in \mathcal{A}$, (ii) $P(\Omega )=1$, и (iii) $P$ счётно аддитивна. Это частный случай нашего определения меры.

Если (M1) и (M3) выполняются для функции множества $\mu$, определённой на поле $\mathcal{A}$, с $\mu (A)<+\infty$ для некоторого $A \in \mathcal{A}$, то $\mu$ является мерой на $\mathcal{A}$.

$\mu$ не является корректно определённой, если $\Omega$ amc, но $\mu$ корректно определена, если $\Omega$ несчётно.

$\mu$ является $\sigma$-конечной мерой на $\sigma$-поле $A$, когда $\Omega$ несчётно.

$\mu$ не является корректно определённой, когда $\Omega$ конечно.

Если $\Omega$ бесконечно, то $\mu$ удовлетворяет (M1), (M2) и (M4).

Пусть $\operatorname {card}(\Omega )=\aleph_{0}$. Тогда $\mu$ конечно аддитивна, но не счётно субаддитивна.

Когда $\Omega$ несчётно, $\mu$ является мерой. Является ли $\mu$ $\sigma$-конечной?

$\mu (A)=\sum_{k=1}^{\infty } \mu \left(A \cap A_{k}\right)$, когда $A_{k}$ попарно не пересекаются и $\bigcup_{k=1}^{\infty } A_{k}=\Omega$.

$\mu \left(A_{1} \Delta A_{2}\right)=0$ тогда и только тогда, когда $\mu \left(A_{1}\right)=\mu \left(A_{2}\right)=\mu \left(A_{1} \cap A_{2}\right)$.

$\mu \left(A_{2}\right)=0$ влечёт как $\mu \left(A_{1} \cup A_{2}\right)=\mu \left(A_{1}\right)$, так и $\mu \left(A_{1} \Delta A_{2}\right)=0$.

$\mu \left(A_{2}\right)=0$ влечёт $\mu \left(A_{1} \backslash A_{2}\right)=\mu \left(A_{1}\right)$.

$\left(\Omega , \mathcal{A}, \mu_{B}\right)$ является измеримым пространством.

Предположим дополнительно, что $\Omega$ является дизъюнктным объединением amc-семейства множеств $B_{n} \in \mathcal{A}$ таких, что каждое $B_{n}$ имеет конечную меру, и предположим, что $\mu$ конечна. Тогда для всех $A \in \mathcal{A}$ мы имеем $\mu (A)=\sum_{n} \mu_{B_{n}}(A) \cdot \mu \left(B_{n}\right)$. Кроме того, для каждого $i \in \mathbb {N}$ мы имеем

Эта формула известна как правило Байеса.

$\mu$ корректно определена.

$\mu$ удовлетворяет (M1) и (M2) и конечно аддитивна.

Примите без доказательства, или вспомните, частный случай теоремы Тихонова: пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ обозначает последовательность цилиндров с $A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq \cdots$. Если $\bigcap_{n=1}^{\infty } A_{n}=\varnothing$, то $A_{N}=\varnothing$ для некоторого $N \in \mathbb {N}$. Любая функция $\nu$ на $\mathcal{F}$, удовлетворяющая (M1), (M2) и (M4), также удовлетворяет (M3). Следовательно, $\mu$ является мерой, часто называемой произведением мер.

$\limsup \left(A_{n} \cup B_{n}\right)=\limsup A_{n} \cup \limsup B_{n}$ и $\liminf \left(A_{n} \cap B_{n}\right)=\liminf A_{n} \cap \liminf B_{n}$.

$\limsup \left(A_{n} \cap B_{n}\right) \subseteq \limsup A_{n} \cap \limsup B_{n}$ и $\liminf \left(A_{n} \cup B_{n}\right) \supseteq \liminf A_{n} \cup \liminf B_{n}$. Оба отношения включения могут быть строгими.

$\; \mathbb {1}_{\limsup \left(A_{n} \cup B_{n}\right)}=\max \left\{ \; \mathbb {1}_{\limsup A_{n}}, \; \mathbb {1}_{\limsup B_{n}}\right\}$ и $\; \mathbb {1}_{\liminf \left(A_{n} \cap B_{n}\right)}=\min \left\{ \; \mathbb {1}_{\liminf A_{n}}, \; \mathbb {1}_{\liminf B_{n}}\right\}$.

$\limsup_{n} \liminf_{k}\left(A_{n} \cap A_{k}^{c}\right)=\varnothing$.

$A \backslash \lim \sup_{k} A_{k}=\liminf_{k}\left(A \backslash A_{k}\right)$.

$\limsup_{n}\left(\liminf_{k} A_{k} \backslash A_{n}\right)=\varnothing$.

$\limsup_{n}\left(A \backslash A_{n}\right)=A \backslash \liminf_{n} A_{n}$ и $\limsup_{n}\left(A_{n} \backslash A\right)=\limsup_{n} A_{n} \backslash A$.

$\limsup_{n}\left(A \Delta A_{n}\right)=\left(A \backslash \liminf_{n} A_{n}\right) \cup \limsup_{n}\left(A_{n} \backslash A\right)$.

$A_{n} \rightarrow A$ влечёт, что $\limsup_{n}\left(A \Delta A_{n}\right)=\lim \sup_{n}\left(A_{n} \backslash A\right)$.

Для произвольных множеств $E, F, G$ и $H$ мы имеем $(E \Delta F) \Delta (G \Delta H)=(E \Delta G) \Delta (F \Delta H)$. Мы также имеем для любого множества $A$, что

$\mu$ является мерой на $\mathcal{A}$. Эта мера называется считающей мерой.

Существует невозрастающая последовательность $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ $\mathcal{A}$-множеств с $\mu \left(A_{n}\right)=+\infty$ для всех $n \in \mathbb {N}$, но $\mu \left(\lim_{n} A_{n}\right)=0$, поэтому (M9) соответственно не выполняется, следовательно, предположение о том, что некоторое $A_{k}$ должно иметь конечную меру, не может быть отброшено.

Предположим, что $0<x<y$ влечёт $A_{x} \subseteq A_{y}$. Тогда (i) $\bigcup_{x>0} A_{x} \in \mathcal{A}$, (ii) $x_{1}<x_{2}$ влечёт $\mu \left(A_{x_{1}}\right) \leqslant \mu \left(A_{x_{2}}\right)$, и (iii) $\mu \left(A_{x}\right) \rightarrow \mu \left(\bigcup_{y>0} A_{y}\right)$ при $x \rightarrow +\infty$.

Предположим, что $0<x<y$ влечёт $A_{x} \supseteq A_{y}$. Также дополнительно предположим, что $\mu \left(A_{z}\right)< \infty$ для некоторого $z>0$. Тогда (i) $\bigcap_{x>0} A_{x} \in \mathcal{A}$, (ii) $x_{1}<x_{2}$ влечёт $\mu \left(A_{x_{1}}\right) \geqslant \mu \left(A_{x_{2}}\right)$, и (iii) $\mu \left(A_{x}\right) \rightarrow \mu \left(\bigcap_{y>0} A_{y}\right)$ при $x \rightarrow +\infty$. Предположение $\mu \left(A_{z}\right)<+\infty$ для некоторого $z>0$ не может быть отброшено. Это, вместе с (a), обобщает (M8) и (M9) от монотонных последовательностей множеств до монотонных [несчётных] семейств множеств.

$\mu$ является $\sigma$-конечной тогда и только тогда, когда существует неубывающая последовательность $A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \cdots$ $\mathcal{A}$-множеств с $\mu \left(A_{n}\right)<+\infty$ для всех $n \in \mathbb {N}$ и $\bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}=\Omega$.

$\mu$ является $\sigma$-конечной тогда и только тогда, когда существует попарно непересекающаяся последовательность $A_{1}, A_{2}, \ldots$ $\mathcal{A}$-множеств с $\mu \left(A_{n}\right)< +\infty$ для всех $n \in \mathbb {N}$ и $\bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}=\Omega$.

Пусть $\mu_{1}, \ldots , \mu_{n}$ обозначают $\sigma$-конечные меры на $\mathcal{A}$. Тогда существует последовательность $\left\{ A_{m}\right\}_{m=1}^{\infty }$ $\mathcal{A}$-множеств такая, что (i) $\mu_{i}\left(A_{j}\right)<+\infty$ для всех $i=1, \ldots , n$ и $j \in \mathbb {N}$, и (ii) $\Omega =\bigcup_{m=1}^{\infty } A_{m}$. Эти множества можно выбрать неубывающими или попарно непересекающимися.

Верно ли (c), если у нас счётное число $\sigma$-конечных мер на $\mathcal{A}$, по сравнению со случаем конечного числа $\sigma$-конечных мер на $\mathcal{A}$.

$\lim_{n} \mu \left(\liminf_{k}\left(A_{n} \cap A_{k}^{c}\right)\right)$ существует и равен нулю.

$\lim_{n} \mu \left(A_{n} \backslash \limsup_{k} A_{k}\right)$ существует и равен нулю.

$\lim_{n} \mu \left(\left(\liminf_{k} A_{k}\right) \backslash A_{n}\right)$ существует и равен нулю.

Для любого $A \in \mathcal{A}$ с $\mu (A)<+\infty$ и для любого $\varepsilon >0$ имеет место, что $\left\{ \eta \in H: \mu (A \cap C_{\eta }) \geqslant \varepsilon \right\}$ конечно.

$\left\{ \eta \in H: \mu (A \cap C_{\eta })>0\right\}$ amc для любого $A \in \mathcal{A}$ с $\mu (A)<+\infty$.

Запишем $\Omega$ как amc-объединение $\bigcup_{k} A_{k}$, где $\mu (A_{k})<+\infty$ для всех $k \in \mathbb {N}$. Определим $H_{k}=\left\{ \eta \in H: \mu (A_{k} \cap C_{\eta })>0\right\}$ для всех $k \in \mathbb {N}$. Тогда $H_{k}$ amc для всех $k \in \mathbb {N}$.

$\bigcup_{k} H_{k}=H$, следовательно, $H$ amc.

Мера $\mu$ из примера 2 раздела 2.1 атомична.

Предположим, что $A \in \mathcal{A}$ таково, что $\mu (A)>0$, и пусть дано $\varepsilon >0$. Тогда существует $B \in \mathcal{A}$ с $B \subseteq A$ и $0<\mu (B)<\varepsilon$.

Пусть $A \in \mathcal{A}$ таково, что $\mu (A)>0$. Для любого $0 \leqslant \alpha \leqslant \mu (A)$ существует множество $B \in \mathcal{A}$ с $B \subseteq A$ и $\mu (B)=\alpha$.

$F \in \mathfrak {S}_{k}$, следовательно, $\Delta_{F}$ является мерой на $\mathcal{A}_{k}$.

$\Delta_{F}((\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}])=\prod_{i=1}^{k}\left[F_{i}\left(b_{i}\right)-F_{i}\left(a_{i}\right)\right]$ для всех $(\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}] \in \mathscr {A}_{k}$.

$\boldsymbol {x}$ является вершиной $B_{j+1,j_{2}, \ldots , j_{k}}$;

$s_{B_{j,j_{2}, \ldots , j_{k}}}(\boldsymbol {x})=-s_{B_{j+1,j_{2}, \ldots , j_{k}}}(\boldsymbol {x})$;

обозначив через $m(\boldsymbol {x})$ число индексов $i=1, \ldots , k$, таких что $x_{i} \notin \left\{ a_{i},b_{i}\right\}$, получаем, что $\boldsymbol {x}$ является вершиной $2^{m(\boldsymbol {x})}$ псо-подпрямоугольников в $R(A)$;

$2^{m(\boldsymbol {x})-1}$ из псо-подпрямоугольников, для которых $\boldsymbol {x}$ является вершиной, имеют сигнатуру $+1$, а остальные $2^{m(\boldsymbol {x})-1}$ псо-прямоугольников имеют сигнатуру $-1$;

для этой точки $\boldsymbol {x}$, являющейся вершиной $2^{m(\boldsymbol {x})}$ псо-прямоугольников, упомянутых в (c),

пусть дано $A=(\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}] \in \mathcal{A}_{k}$ с $A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}$, где $A_{n}=(\boldsymbol {a}_{n}, \boldsymbol {b}_{n}] \in \mathcal{A}_{k}$ для каждого $n$, и произвольное $\varepsilon >0$; используя то, что $F$ непрерывна сверху (cfa), найдите $\delta >0$, такое что $\Delta_{F}((\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}))-\frac{\varepsilon }{2}<\Delta_{F}((\boldsymbol {a}+\delta \mathbf{1}, \boldsymbol {b}])$, где $\mathbf{1}$ — это $k$-вектор из единиц; обозначив $B=(\boldsymbol {a}+\delta \mathbf{1}, \boldsymbol {b}]$, получаем, что $\Delta_{F}(A)-\frac{\varepsilon }{2}<\Delta_{F}(B)$;

в тех же условиях, что и в (f), для каждого $n \in \mathbb {N}$ существует $\delta_{n}>0$, такое что $\Delta_{F}(B_{n})-\Delta_{F}(A_{n})<\frac{\varepsilon }{2^{n+1}}$, где $B_{n}=(\boldsymbol {a}_{n}, \boldsymbol {b}_{n}+\delta_{n} \mathbf{1}]$.

$\Delta_{F}^{*}$ корректно определена.

$\Delta_{F}^{*}$ является мерой на $\mathcal{A}_{k}^{*}$.

$\Delta_{F}^{*}$ совпадает с $\Delta_{F}$ на $\mathcal{A}_{k}$.

Не использовалось ничего специфичного для $\mathcal{A}_{k}$ или $\mathcal{A}_{k}^{*}$, и, следовательно, мы доказали следующий общий результат: пусть $\mu$ обозначает меру, определённую на полукольце $\mathcal{A}$. Пусть $\mathcal{A}^{*}$ состоит из конечных дизъюнктных объединений $\mathcal{A}$-множеств. Определим $\mu^{*}: \mathcal{A}^{*} \rightarrow \mathbb {R}$, полагая $\mu^{*}(A)=\sum_{i=1}^{n} \mu (A_{i})$, когда $A$ является дизъюнктным объединением $A_{1}, \ldots , A_{n} \in \mathcal{A}$. Тогда $\mu^{*}$ корректно определена и является мерой на $\mathcal{A}^{*}$. Более того, $\mu^{*}(A)=\mu (A)$ для всех $A \in \mathcal{A}$.