Меры

Эта задача рассматривает некоторые другие варианты свойств (M1)-(M3).

Пусть $\Omega =\left\{ \omega_{1}, \ldots , \omega_{n}\right\}$, и пусть $p_{1}, \ldots , p_{n} \in [0,+\infty ]$. Определим $\mu$ на $2^{\Omega }$, как в примере 2. Тогда ( $\Omega , 2^{\Omega }, \mu$ ) является измеримым пространством, и $\mu$ является $\sigma$-конечной тогда и только тогда, когда $p_{n}<+\infty$ для каждого $n \in \mathbb {N}$.

Пусть $\mathcal{A}=\left\{ \varnothing , \Omega \right\} , \mu (\varnothing )=0$, и $\mu (\Omega )=+\infty$. Тогда $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ является измеримым пространством, но $\mu$ не является $\sigma$-конечной.

Пусть $\Omega$ несчётно. Пусть $\mathcal{A}=\left\{ A \subseteq \Omega : A \text{ amc, либо } A^{c} \text{ amc}\right\}$. Запишем $\mu (A)=0$, если $A$ amc, и $\mu (A)=+\infty$, если $A^{c}$ amc. Тогда ( $\Omega , \mathcal{A}, \mu$ ) является измеримым пространством, и $\mu$ не является $\sigma$-конечной.

Пусть $\Omega$ произвольно, и пусть $\mathcal{A}=\left\{ A \subseteq \Omega : A \text{ amc, либо } A^{c} \text{ amc}\right\}$. Определим $\mu$ на $\mathcal{A}$, полагая $\mu (A)=0$, если $A$ amc, и $\mu (A)=1$, если $A^{c}$ amc.

Предположим, что $\mathcal{A}$ является конечным $\sigma$-полем на $\Omega$. Предположим, что $\mu$ определена на $\mathcal{A}$ так, что выполняются (M1), (M2) и (M4). Тогда ( $\Omega , \mathcal{A}, \mu$ ) является измеримым пространством.

Пусть $\mathcal{A}=\left\{ A \subseteq \Omega : A \text{ конечно, либо } A^{c} \text{ конечно}\right\}$. Определим $\mu$ на $\mathcal{A}$ по формуле

Пусть $\operatorname {card}(\Omega )=\aleph_{0}$ и $\mathcal{A}=2^{\Omega }$. Пусть

Тогда $\mu$ корректно определена, $\mu$ удовлетворяет (M1), (M2) и (M4), а (M3) не выполняется. Кроме того, $\mu$ является $\sigma$-конечной.

(M5) неверно, если гипотеза $\mu (A)<+\infty$ опущена.

Пусть $\mu$ обозначает меру на $\sigma$-поле $\mathcal{A}$, и пусть $A, A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{A}$.

Пусть $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ является измеримым пространством такого рода, что существует $B \in \mathcal{A}$ с $0<\mu (B)<+\infty$. Зафиксируем такое $B$ и определим $\mu_{B}: \mathcal{A} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ по формуле $\mu_{B}(A)=\mu (A \cap B) / \mu (B)$.

Пусть $S=\left\{ s_{1}, \ldots , s_{m}\right\}$, и пусть $\left\{ p_{u}: u \in S\right\}$ обозначает семейство неотрицательных чисел с $\sum_{u \in S} p_{u}=1$. Пусть $\Omega$ обозначает множество последовательностей элементов $S$. Для каждого $\omega \in \Omega$ запишем $\omega =\left(z_{1}(\omega ), z_{2}(\omega ), \ldots \right)$. Для заданных $n \in \mathbb {N}$ и $H \subseteq S^{n}$, пусть

Такое множество называется цилиндром ранга $n$. Пусть $\mathcal{F}=\left\{ C_{n}(H): n \in \mathbb {N}, H \subseteq S^{n}\right\}$, так что $\mathcal{F}$ состоит из всех цилиндров всех рангов. Определим $\mu : \mathcal{F} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ следующим образом: если для некоторого $n \in \mathbb {N}$ и $H \subseteq S^{n}$ мы имеем $A=\left\{ \omega \in \Omega :\left(z_{1}(\omega ), \ldots , z_{n}(\omega )\right) \in H\right\}$, запишем $\mu (A)=\sum \left\{ p_{i_{1}} \cdots p_{i_{n}}:\left(i_{1}, \ldots , i_{n}\right) \in H\right\}$.