Банк задач по математике

Задача 2.3.1

Пусть $p_{1}, \ldots , p_{n}>0$ . Зафиксируем $n$ вещественных чисел $x_{1}<x_{2}<\cdots < x_{n}$ , и определим

F(x)= \begin{cases} 0 & \text{ если } x<x_{1} \\ p_{1}+\cdots +p_{j} & \text{ если существует } 1 \leqslant j \leqslant n \text{ такое, что } x_{j} \leqslant x<x_{j+1} \\ 1 & \text{ если } x \geqslant x_{n}\end{cases}

$\Delta_{F}$ является мерой на $\mathcal{A}_{1}$ , и

\Delta _{F}((a, b])= \begin{cases} \sum \left\{ p_{j}: j \text{ таково, что } a<x_{j} \leqslant b\right\} & \text{ если }(a, b] \cap \left\{ x_{1}, \ldots , x_{n}\right\} \neq \varnothing \\ 0 & \text{ в противном случае}\end{cases}

Это важная схема в дискретной теории вероятностей.

?

Задача 2.3.2

Эта задача обобщает пример 4. Пусть $f: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}$ таково, что $f$ непрерывна и неотрицательна. Далее предположим, что $\int_{-\infty }^{+\infty } \cdots \int_{-\infty }^{+\infty } f(\boldsymbol {t}) \mathrm{d} \boldsymbol {t}< +\infty$ . Определим функцию $F: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}$ по формуле

F(\boldsymbol {x})=\int _{-\infty }^{x_{1}} \cdots \int _{-\infty }^{x_{k}} f(\boldsymbol {t}) \mathrm{d} \boldsymbol {t}, \quad \boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}

Тогда $\Delta_{F}$ является мерой на полукольце $\mathcal{A}_{k}$ , и для всех $(\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}] \in \mathcal{A}_{k}$ мы имеем

\Delta _{F}((\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}])=\int _{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \int _{a_{k}}^{b_{k}} f\left(t_{1}, \ldots , t_{k}\right) \mathrm{d} t_{k} \cdots \mathrm{~ d} t_{1}

?

Задача 2.3.3

(a)(b)

Пусть $F_{1}, \ldots , F_{k} \in \mathfrak {S}$ . Для каждого $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$ запишем $F(\boldsymbol {x})= \prod_{i=1}^{k} F_{i}\left(x_{i}\right)$ .

?

(a)

$F \in \mathfrak {S}_{k}$ , следовательно, $\Delta_{F}$ является мерой на $\mathcal{A}_{k}$ .

(b)

$\Delta_{F}((\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}])=\prod_{i=1}^{k}\left[F_{i}\left(b_{i}\right)-F_{i}\left(a_{i}\right)\right]$ для всех $(\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}] \in \mathscr {A}_{k}$ .

Задача 2.3.4

Пусть $F_{i} \in \mathfrak {S}_{k_{i}}$ для $i=1, \ldots , n$ . Пусть $F: \mathbb {R}^{\sum_{i=1}^{n} k_{i}} \rightarrow \mathbb {R}$ таково, что

F\left(\boldsymbol {x}^{(1)}, \ldots , \boldsymbol {x}^{(n)}\right)=\prod _{i=1}^{n} F_{i}\left(\boldsymbol {x}^{(i)}\right)

для всех $\boldsymbol {x}^{(1)} \in \mathbb {R}^{k_{1}}, \ldots$ , и $\boldsymbol {x}^{(n)} \in \mathbb {R}^{k_{n}}$ . Тогда $\Delta_{F}$ является мерой на $\mathcal{A}_{\sum_{i=1}^{n} k_{i}}$ . Кроме того, $\Delta_{F}\left(A_{1} \times \cdots \times A_{n}\right)=\prod_{i=1}^{n} \Delta_{F_{i}}\left(A_{i}\right)$ для всех $A_{1} \in \mathcal{A}_{1}, \ldots$ , и $A_{n} \in \mathcal{A}_{k_{n}}$ .

?

Задача 2.3.5

Для каждого $k \in \mathbb {N}$ имеет место следующее: $\Delta_{F}(A)=0$ для всех $A \in \mathcal{A}_{k}$ тогда и только тогда, когда $F$ является конечной суммой функций, каждая из которых зависит не более чем от $k-1$ координат.

?

Примечание.

?

Если $k=1$ , то функция, зависящая не более чем от $k-1$ координат, является постоянной функцией.

Класс мер