Приложение: доказательство теоремы Стилтьеса

[3/0%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 2.4.1

Проверьте простые утверждения (a)-(g), встречающиеся в доказательстве теоремы Стилтьеса, в обозначениях, приведённых в сопутствующем замечании:

(a)

$\boldsymbol {x}$ является вершиной $B_{j+1,j_{2}, \ldots , j_{k}}$ ;

(b)

$s_{B_{j,j_{2}, \ldots , j_{k}}}(\boldsymbol {x})=-s_{B_{j+1,j_{2}, \ldots , j_{k}}}(\boldsymbol {x})$ ;

(c)

обозначив через $m(\boldsymbol {x})$ число индексов $i=1, \ldots , k$ , таких что $x_{i} \notin \left\{ a_{i},b_{i}\right\}$ , получаем, что $\boldsymbol {x}$ является вершиной $2^{m(\boldsymbol {x})}$ псо-подпрямоугольников в $R(A)$ ;

(d)

$2^{m(\boldsymbol {x})-1}$ из псо-подпрямоугольников, для которых $\boldsymbol {x}$ является вершиной, имеют сигнатуру $+1$ , а остальные $2^{m(\boldsymbol {x})-1}$ псо-прямоугольников имеют сигнатуру $-1$ ;

(e)

для этой точки $\boldsymbol {x}$ , являющейся вершиной $2^{m(\boldsymbol {x})}$ псо-прямоугольников, упомянутых в (c),

\sum \left\{ s_{B_{j_{1}, \ldots , j_{k}}}(\boldsymbol {x}): B_{j_{1}, \ldots , j_{k}} \text{ имеет } \boldsymbol {x} \text{ своей вершиной}\right\} =2^{m(\boldsymbol {x})-1}-2^{m(\boldsymbol {x})-1}=0;

(f)

пусть дано $A=(\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}] \in \mathcal{A}_{k}$ с $A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}$ , где $A_{n}=(\boldsymbol {a}_{n}, \boldsymbol {b}_{n}] \in \mathcal{A}_{k}$ для каждого $n$ , и произвольное $\varepsilon >0$ ; используя то, что $F$ непрерывна сверху (cfa), найдите $\delta >0$ , такое что $\Delta_{F}((\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}))-\frac{\varepsilon }{2}<\Delta_{F}((\boldsymbol {a}+\delta \mathbf{1}, \boldsymbol {b}])$ , где $\mathbf{1}$ — это $k$ -вектор из единиц; обозначив $B=(\boldsymbol {a}+\delta \mathbf{1}, \boldsymbol {b}]$ , получаем, что $\Delta_{F}(A)-\frac{\varepsilon }{2}<\Delta_{F}(B)$ ;

(g)

в тех же условиях, что и в (f), для каждого $n \in \mathbb {N}$ существует $\delta_{n}>0$ , такое что $\Delta_{F}(B_{n})-\Delta_{F}(A_{n})<\frac{\varepsilon }{2^{n+1}}$ , где $B_{n}=(\boldsymbol {a}_{n}, \boldsymbol {b}_{n}+\delta_{n} \mathbf{1}]$ .

Примечание.

Обозначения для утверждений (a)-(e): $A=(\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}] \in \mathcal{A}_{k}$ разбивается на псо-подпрямоугольники $R(A)=\left\{ B_{j_{1}, \ldots , j_{k}}: 1 \leqslant j_{i} \leqslant n_{i} \text{ для каждого } 1 \leqslant i \leqslant k\right\}$ , $U$ — множество точек $\boldsymbol {x}$ , являющихся вершиной хотя бы одного $B_{j_{1}, \ldots , j_{k}}$ , но не являющихся вершиной $A$ , и $\boldsymbol {x} \in U$ таково, что для некоторого $1 \leqslant i \leqslant k$ (скажем, $i=1$ ) выполняется $x_{1}=t_{1j}$ для некоторого $1 \leqslant j \leqslant n_{1}-1$ , а $j_{2}, \ldots , j_{k}$ таковы, что $\boldsymbol {x} \in V\left(B_{j,j_{2}, \ldots , j_{k}}\right)$ .

Утверждения (f) и (g) возникают позже в том же доказательстве, при доказательстве счётной полуаддитивности $\Delta_{F}$ на $\mathcal{A}_{k}$ .

Задача 2.4.2

(a)(b)(c)(d)

Для каждого $k \in \mathbb {N}$ обозначим через $\mathcal{A}_{k}^{*}$ совокупность конечных дизъюнктных объединений $\mathcal{A}_{k}$ -множеств. Пусть $F \in \mathfrak {S}_{k}$ . Определим новую функцию $\Delta_{F}^{*}: \mathcal{A}_{k}^{*} \rightarrow \mathbb {R}$ , положив $\Delta_{F}^{*}(\varnothing )=0$ и $\Delta_{F}^{*}(A)=\sum_{i=1}^{n} \Delta_{F}(A_{i})$ , когда $A$ является дизъюнктным объединением $A_{1}, \ldots , A_{n} \in \mathcal{A}_{k}$ .

(a)

$\Delta_{F}^{*}$ корректно определена.

(b)

$\Delta_{F}^{*}$ является мерой на $\mathcal{A}_{k}^{*}$ .

(c)

$\Delta_{F}^{*}$ совпадает с $\Delta_{F}$ на $\mathcal{A}_{k}$ .

(d)

Не использовалось ничего специфичного для $\mathcal{A}_{k}$ или $\mathcal{A}_{k}^{*}$ , и, следовательно, мы доказали следующий общий результат: пусть $\mu$ обозначает меру, определённую на полукольце $\mathcal{A}$ . Пусть $\mathcal{A}^{*}$ состоит из конечных дизъюнктных объединений $\mathcal{A}$ -множеств. Определим $\mu^{*}: \mathcal{A}^{*} \rightarrow \mathbb {R}$ , полагая $\mu^{*}(A)=\sum_{i=1}^{n} \mu (A_{i})$ , когда $A$ является дизъюнктным объединением $A_{1}, \ldots , A_{n} \in \mathcal{A}$ . Тогда $\mu^{*}$ корректно определена и является мерой на $\mathcal{A}^{*}$ . Более того, $\mu^{*}(A)=\mu (A)$ для всех $A \in \mathcal{A}$ .

Примечание.

(a)

Для этого предположим, что произвольное $A \in \mathcal{A}_{k}^{*}$ имеет два различных представления в виде конечного дизъюнктного объединения $\mathcal{A}_{k}$ -множеств: $A=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}$ и $A=\bigcup_{j=1}^{m} B_{j}$ . Нам нужно равенство $\Delta_{F}^{*}\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\Delta_{F}^{*}\left(\bigcup_{j=1}^{m} B_{j}\right)$ , то есть $\sum_{i=1}^{n} \Delta_{F}(A_{i})=\sum_{j=1}^{m} \Delta_{F}(B_{j})$ . Запишите $A_{i}=\bigcup_{j=1}^{m}(A_{i} \cap B_{j})$ и $B_{j}=\bigcup_{i=1}^{n}(A_{i} \cap B_{j})$ , отметьте, что эти объединения дизъюнктны, и воспользуйтесь конечной аддитивностью $\Delta_{F}$ .

(b)

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{A}_{k}^{*}$ дизъюнктны. Запишите каждое непустое $A_{k}$ в виде $A_{k}=\bigcup_{j=1}^{n_{k}} I_{kj}$ , где каждое $I_{kj} \in \mathcal{A}_{k}$ , а множества $I_{kj}$ дизъюнктны. Заметьте, что для того, чтобы $\Delta_{F}^{*}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty } A_{k}\right)$ была определена, необходимо, чтобы $\bigcup_{k=1}^{\infty } A_{k}$ имело вид $\bigcup_{l=1}^{m} J_{l}$ , где каждое $J_{l} \in \mathcal{A}_{k}$ , а множества $J_{l}$ дизъюнктны. Проверьте получающуюся цепочку равенств для $\sum_{k=1}^{\infty } \Delta_{F}^{*}(A_{k})$ через $J_{l}$ и $I_{kj}$ , многократно используя конечную аддитивность $\Delta_{F}$ , чтобы заключить, что $\sum_{k=1}^{\infty } \Delta_{F}^{*}(A_{k})=\Delta_{F}^{*}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty } A_{k}\right)$ . Это, вместе с тем фактом, что (M1) и (M2) выполняются автоматически, завершает доказательство.

Задача 2.4.3

Предположим, что $F: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}$ таково, что $\Delta_{F}(A) \geqslant 0$ для всех $A \in \mathcal{A}_{k}$ , но предположим, что $F$ не является непрерывной сверху в некоторой точке $\boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}$ . Тогда $\Delta_{F}$ не является мерой на $\mathcal{A}_{k}$ .