Кривые второго порядка

Для каждого случая составить каноническое уравнение эллипса:

В каждом из следующих случаев составить каноническое уравнение гиперболы:

Окружность проходит через точки $(1,4),(-7,4)$ и $(2,-5)$. Найти ее центр, радиус и написать уравнение.

Написать уравнение эллипса, пересекающего ось $O x$ в точках $(1,0)$ и $(9,0)$ и касающегося оси $O y$ в точке $(0,3)$, зная, что его оси параллельны осям координат.

Написать уравнение эллипса с вершинами $(0,6)$ и $(0,-2)$, зная, что на оси $O x$ этот эллипс высекает хорду длины 6.

Написать уравнение равносторонней гиперболы, одна из вершин которой находится в точке $(2,2)$, действительная ось параллельна оси $O y$, и при этом на оси $O x$ гипербола высекает хорду длины 8.

Составить уравнение параболы, если даны координаты фокуса $F(3,0)$ и уравнение директрисы $x = -1$.

Написать уравнение параболы, вершина которой находится в точке $(2,6)$, а ось параллельна оси $O y$, зная, что на оси $O x$ эта парабола высекает хорду длины 6.

Написать уравнения эллипса и гиперболы с фокусами $(7,0)$ и $(-7,0)$, проходящих через точку $(-2,12)$.

Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты $(0,1)$ и $(1,0)$, а большая ось равна 2.

Даны координаты фокусов $F_{1}(1,0)$ и $F_{2}(0,1)$ и уравнение касательной $x+y-2 = 0$. Составить уравнение эллипса.

Написать уравнение параболы, зная ее фокус $F(-1,-2)$ и директрису $x-y+8 = 0$.

Написать уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, а фокус — в точке $F(1,1)$.

Написать уравнение линии второго порядка, зная ее фокус $F(0,1)$, директрису $x-y+3 = 0$, соответствующую фокусу $F$, и точку $A(7,0)$, лежащую на ней.

Составить уравнение линии второго порядка, зная один из ее фокусов $F(1,1)$, соответствующую ему директрису $x+2 y-1 = 0$ и эксцентриситет $e = \sqrt{5}$.

Написать уравнение линии второго порядка, зная ее фокусы $F_{1}(1,1)$ и $F_{2}(-2,-2)$ и одну из директрис $x+y-1 = 0$.

Написать уравнение линии второго порядка с центром в точке $C(1,2)$, проходящей через начало координат, одной из директрис которой служит прямая $x+2 y-1 = 0$.

Написать уравнение равносторонней гиперболы, для которой ось $O x$ служит асимптотой, а точка $(1,1)$ — вершиной.

Даны уравнения асимптот гиперболы $y = \pm 5 x / 12$ и лежащая на ней точка $M(24,5)$. Составить каноническое уравнение гиперболы.

Даны уравнения $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0$ и $A_{2} x+B_{2} y+C_{2} = 0$ асимптот гиперболы и координаты точки $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Найти геометрическое место середин отрезков, отсекающих от данного угла величины $\alpha$ треугольники фиксированной площади $S$. Доказать, что все эти отрезки касаются одной и той же гиперболы.

Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух асимптот одно и то же для всех точек гиперболы.

Написать уравнение гиперболы, для которой точка $F(-2,2)$ служит фокусом, а прямые $2 x-y+1 = 0, x+2 y-7 = 0$ — асимптотами.

Написать уравнение гиперболы, зная асимптоту $y = 0$, одну из ее осей $2 x-y+2 = 0$ и точку $(1,1)$, лежащую на гиперболе.

Написать уравнение параболы, которая проходит через точки $O(0,0), P(4,0), Q(0,2)$, при условии, что точки $P$ и $Q$ симметричны относительно оси этой параболы.

Написать уравнение эллипса с длинами полуосей $a = 2, b = 1$, для которого прямые $x+y-1 = 0$ и $x-y+1 = 0$ суть соответственно большая и малая оси.

Написать уравнение линии второго порядка, проходящей через точки $M_{1}(-2,-1)$ и $M_{2}(0,-2)$, для которой прямые $x+y+1 = 0$ и $x-y+1 = 0$ служат осями симметрии.

Написать уравнение параболы, которая проходит через точки $(0,0),(0,1)$, для которой прямая $x+y+1 = 0$ служит осью симметрии.

Написать уравнение эллипса, центр которого находится в точке $(4,3)$, одна вершина лежит в начале координат, другая, соседняя с ней, — на оси $O y$.

Составить уравнение гиперболы, если даны координаты двух ее фокусов $F_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right)$ и $F_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ и уравнение касательной $A x+B y + C = 0$.

Написать уравнение линии второго порядка, для которой ось $O x$ является осью симметрии, ось $O y$ — касательной в вершине, зная, что линия проходит через две точки $(2,3)$ и $(6,-3)$.

Найти фокусы и директрисы равносторонней гиперболы $2 x y = a^{2}$.

Найти фокусы гиперболы:

Найти координаты фокуса параболы $x^{2} = 4 y$.

Составить уравнение директрисы параболы $y^{2} = 6 x$.

Найти фокусы и соответствующие им директрисы следующих линий:

С помощью переноса осей координат найти каноническое уравнение и определить расположение линий второго порядка, заданных уравнениями:

Найти центры следующих линий второго порядка:

Найти канонический вид и формулы, связывающие исходные координаты с каноническими, для следующих кривых второго порядка:

Определить канонический вид и каноническую систему координат следующих линий второго порядка:

В прямоугольной системе координат кривая второго порядка задана уравнением $6 x y+8 y^{2}-12 x-26 y+11 = 0$.

Составить канонические уравнения линий, если заданы их инварианты:

Доказать, что условия $I_{1}^{2} = 4 I_{2}, I_{1} I_{3} < 0$ необходимы и достаточны для того, чтобы уравнение кривой второго порядка определяло действительную окружность.

Выразить через инварианты $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ условия, необходимые и достаточные для того, чтобы уравнение $F(x, y) = 0$ второго порядка задавало действительный эллипс. Выразить через $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ длины $a$ и $b$ полуосей эллипса и найти его площадь $S$.

С помощью инвариантов выразить необходимые и достаточные условия для того, чтобы уравнение $F(x, y) = 0$ задавало гиперболу, лежащую в остром угле, образованном ее асимптотами.

Выразить через инварианты $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ условия, необходимые и достаточные для того, чтобы квадрика $F(x, y) = 0$ распадалась на пару перпендикулярных прямых.

Доказать, что уравнение $F(x, y) = 0$ задает равностороннюю гиперболу тогда и только тогда, когда $I_{1} = 0$ и $I_{3} \neq 0$.

Уравнение $F(x, y) = 0$ задает гиперболу. Используя ортогональные инварианты, написать уравнение пары ее асимптот.

Выразить через инварианты $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ необходимые и достаточные условия того, что кривая $F(x, y) = 0$ является параболой. Выразить через $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ ее фокальный параметр $p$.

Уравнение $F(x, y) = 0$ задает пару пересекающихся прямых. Выразить через ортогональные инварианты угол между ними.

(Полуинвариант). Доказать, что величина

является инвариантом уравнения (6.1) при однородных ортогональных преобразованиях (т. е. таких, при которых не изменяется начало координат).

Доказать, что если $I_{2} = I_{3} = 0$, то $I_{2}^{*}$ сохраняется при любых ортогональных преобразованиях.

Уравнение $F(x, y) = 0$ второго порядка определяет две параллельные прямые. Выразить расстояние $d$ между ними через инварианты и полуинвариант многочлена $F(x, y)$.

Кривая второго порядка, заданная уравнением $F(x, y) = 0$, распадается на пару пересекающихся и не взаимно перпендикулярных прямых. Найти необходимое и достаточное условие того, что данная точка $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ лежит в остром угле, образованном этими прямыми.

Кривая второго порядка, заданная уравнением $F(x, y) = 0$, распадается на пару параллельных прямых. При каком необходимом и достаточном условии данная точка $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ лежит между ними?

Уравнение $a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2} = 0$ определяет пару пересекающихся прямых $(a_{11} a_{22}-a_{12}^{2} < 0)$. Доказать, что если система координат прямоугольная, то пара биссектрис между этими прямыми может быть задана уравнением

Уравнения двух гипербол имеют вид

При каком необходимом и достаточном условии они будут лежать в разных вертикальных углах, образованных их общими асимптотами?

Определить аффинный тип следующих кривых:

Методом Лагранжа определить аффинный тип следующих кривых второго порядка:

Найти необходимое и достаточное условие того, что прямая $A x+B y+C = 0$ :

Составить уравнение касательной к квадрике

в начале координат.

Составить уравнения касательных к эллипсу

проведенных из точки $(12,-3)$.

Составить уравнения касательных к эллипсу

проходящих через точку:

Составить уравнение касательной к гиперболе $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{36} = 1$ :

Составить уравнения касательных к гиперболе

проходящих через точку:

Составить уравнение касательных к параболе $y^{2} = 16 x$, проходящих через точку:

Провести касательные к квадрике $2 x^{2}+7 x y+6 y^{2}+3 x + 5 y-26 = 0$ через точки:

Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы из точки $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ к гиперболе:

Найти необходимое и достаточное условие касания прямой $A x+B y+C = 0$ и эллипса

Доказать, что при любом значении $\theta$ прямая

касается одного и того же эллипса. Составить его уравнение.

Найти необходимое и достаточное условие касания прямой $A x+B y+C = 0$ с гиперболой

Доказать, что при любом значении $\theta$ прямая

касается одной и той же гиперболы, заданной каноническим уравнением. Составить уравнение этой гиперболы.

Найти необходимое и достаточное условие касания прямой $A x+B y+C = 0$ и параболы $y^{2} = 2 p x$.

(Двойственная квадрика). Доказать, что прямая $\alpha x+\beta y + 1 = 0$ касается невырожденной действительной квадрики (6.1) или является ее асимптотой тогда и только тогда, когда $\alpha$ и $\beta$ удовлетворяют уравнению

Пусть $\Gamma$ — кривая второго порядка, для которой $I_{2} \neq 0$ или $I_{3} \neq 0$. Доказать, что прямая $A x+B y+C = 0$ касается кривой $\Gamma$, проходит через ее особую точку или является асимптотой тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство:

Доказать, что при любом значении $k$ прямая $y = k x+1 / k$ касается одной и той же параболы, заданной каноническим уравнением. Найти уравнение этой параболы.

Составить уравнение общих касательных к эллипсам

Эллипс, имеющий фокусы в точках $F_{1}(-3,0)$ и $F_{2}(3,0)$, касается прямой $x+y-5 = 0$. Составить уравнение эллипса.

Составить уравнение такой линии второго порядка, которая касается прямых $x = 0, y = 0$ в точках $P(0,3), Q(4,0)$ и прямой $x+y-1 = 0$. Найти точку касания с последней прямой.

Написать уравнение гиперболы, имеющей асимптотами прямые $x-1 = 0,2 x-y+1 = 0$ и касающейся прямой $4 x+y+5 = 0$.

Составить уравнение параболы, касающейся осей $O x$ и $O y$ в точках $P(3,0)$ и $Q(0,5)$ соответственно.

Составить уравнение линии второго порядка, касающейся сторон треугольника $P Q R$ и имеющей центр в точке $S(2,1)$, если известны координаты вершин $P(0,0), Q(5,0), R(0,4)$.

Доказать, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой его касательной равно квадрату малой полуоси.

Доказать, что произведение расстояний от фокусов гиперболы до любой касательной к ней равно квадрату мнимой полуоси.

Даны фокусы гиперболы $F_{1}(4,2), F_{2}(-1,-10)$ и уравнение касательной $3 x+4 y-5 = 0$. Найти полуоси гиперболы.

Найти геометрическое место точек пересечения взаимно перпендикулярных касательных к данному эллипсу с полуосями $a, b$.

Эллипс с полуосями $a$ и $b$, где $a < b$, при движении по плоскости касается осей координат, оставаясь в первой четверти. Какую линию описывает центр эллипса?

Найти геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых касаются данной гиперболы с полуосями $a$ и $b$.

Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из фокуса параболы на касательные к ней.

Составить уравнение прямой, проходящей через середины хорд $2 x-y+7 = 0,2 x-y-1 = 0$ эллипса

Составить уравнение диаметра параболы $y = x^{2} / 6$, сопряженного хорде $y = 1,5 x+4$.

Написать уравнение диаметра кривой второго порядка

проходящего через середину хорды, отсекаемой этой кривой на прямой $x-2 y-1 = 0$.

Найти такую хорду параболы $y^{2} = 4 x$, которая точкой $(3,1)$ делится пополам.

Составить уравнение хорды эллипса

которая точкой $M(2,1)$ делится пополам.

Для кривой $x^{2}+2 x y-3 y^{2}+4 x+5 y-6 = 0$ провести хорду, которая делится пополам точкой:

Найти общий диаметр двух кривых:

Какое множество задает уравнение (6.3), если в качестве $(\alpha , \beta )$ взять вектор асимптотического направления:

Найти асимптоты гиперболы

Даны две линии второго порядка

Для каждой кривой найти пару сопряженных диаметров так, чтобы диаметры одной пары были параллельны диаметрам второй пары.

Найти оси симметрии следующих линий второго порядка (система координат прямоугольная):

В уравнении $F(x, y) = 0$ кривой второго порядка сделана следующая замена координат: $x = x^{\prime }+x_{0}, y = y^{\prime }+y_{0}$, где $(x_{0}, y_{0})$ некоторая точка. Доказать, что в полученном уравнении:

Два неколлинеарных вектора $\mathbf{e}_{1} = \left(\alpha_{1}, \beta_{1}\right)$ и $\mathbf{e}_{2} = \left(\alpha_{2}, \beta_{2}\right)$, заданные относительно аффинной системы координат $O x y$, приняты за базис новой системы координат $O x^{\prime } y^{\prime }$. Пусть в новой системе кривая (6.1) задается уравнением

Доказать, что коэффициенты нового уравнения выражаются через коэффициенты старого следующим образом:

Написать уравнение эллипса, принимая за начало аффинной системы координат его центр, а за базисные точки $(1,0)$ и $(0,1)$ концы двух взаимно сопряженных диаметров.

Написать уравнение эллипса, зная его центр $C(2,1)$ и концы двух сопряженных диаметров $A(5,1), B(0,3)$.

Написать уравнение эллипса, зная, что его центр находится в точке $C(2,1)$ и что прямые $y-2 = 0$ и $x-y = 0$ служат касательными в концах двух сопряженных диаметров.

Как запишется уравнение параболы, если за начало аффинной системы координат выбрать произвольную точку параболы, за ось $O y$ — касательную в этой точке, за ось $O x$ — диаметр, сопряженный этой касательной, а за единичную точку $E$ — некоторую точку параболы?

Дано уравнение

Доказать, что:

Написать уравнение параболы, которая проходит через точку $P(0,1)$, для которой прямая $x+2 y = 0$ служит диаметром, а прямая $x+y = 0$ — касательной в конце этого диаметра.