Ортогональные инварианты линий второго порядка

Составить канонические уравнения линий, если заданы их инварианты:

Доказать, что условия $I_{1}^{2} = 4 I_{2}, I_{1} I_{3} < 0$ необходимы и достаточны для того, чтобы уравнение кривой второго порядка определяло действительную окружность.

Выразить через инварианты $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ условия, необходимые и достаточные для того, чтобы уравнение $F(x, y) = 0$ второго порядка задавало действительный эллипс. Выразить через $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ длины $a$ и $b$ полуосей эллипса и найти его площадь $S$.

С помощью инвариантов выразить необходимые и достаточные условия для того, чтобы уравнение $F(x, y) = 0$ задавало гиперболу, лежащую в остром угле, образованном ее асимптотами.

Выразить через инварианты $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ условия, необходимые и достаточные для того, чтобы квадрика $F(x, y) = 0$ распадалась на пару перпендикулярных прямых.

Доказать, что уравнение $F(x, y) = 0$ задает равностороннюю гиперболу тогда и только тогда, когда $I_{1} = 0$ и $I_{3} \neq 0$.

Уравнение $F(x, y) = 0$ задает гиперболу. Используя ортогональные инварианты, написать уравнение пары ее асимптот.

Выразить через инварианты $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ необходимые и достаточные условия того, что кривая $F(x, y) = 0$ является параболой. Выразить через $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ ее фокальный параметр $p$.

Уравнение $F(x, y) = 0$ задает пару пересекающихся прямых. Выразить через ортогональные инварианты угол между ними.

(Полуинвариант). Доказать, что величина

является инвариантом уравнения (6.1) при однородных ортогональных преобразованиях (т. е. таких, при которых не изменяется начало координат).

Доказать, что если $I_{2} = I_{3} = 0$, то $I_{2}^{*}$ сохраняется при любых ортогональных преобразованиях.

Уравнение $F(x, y) = 0$ второго порядка определяет две параллельные прямые. Выразить расстояние $d$ между ними через инварианты и полуинвариант многочлена $F(x, y)$.

Кривая второго порядка, заданная уравнением $F(x, y) = 0$, распадается на пару пересекающихся и не взаимно перпендикулярных прямых. Найти необходимое и достаточное условие того, что данная точка $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ лежит в остром угле, образованном этими прямыми.

Кривая второго порядка, заданная уравнением $F(x, y) = 0$, распадается на пару параллельных прямых. При каком необходимом и достаточном условии данная точка $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ лежит между ними?

Уравнение $a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2} = 0$ определяет пару пересекающихся прямых $(a_{11} a_{22}-a_{12}^{2} < 0)$. Доказать, что если система координат прямоугольная, то пара биссектрис между этими прямыми может быть задана уравнением

Уравнения двух гипербол имеют вид

При каком необходимом и достаточном условии они будут лежать в разных вертикальных углах, образованных их общими асимптотами?