Составление уравнений кривых второго порядка

Для каждого случая составить каноническое уравнение эллипса:

В каждом из следующих случаев составить каноническое уравнение гиперболы:

Окружность проходит через точки $(1,4),(-7,4)$ и $(2,-5)$. Найти ее центр, радиус и написать уравнение.

Написать уравнение эллипса, пересекающего ось $O x$ в точках $(1,0)$ и $(9,0)$ и касающегося оси $O y$ в точке $(0,3)$, зная, что его оси параллельны осям координат.

Написать уравнение эллипса с вершинами $(0,6)$ и $(0,-2)$, зная, что на оси $O x$ этот эллипс высекает хорду длины 6.

Написать уравнение равносторонней гиперболы, одна из вершин которой находится в точке $(2,2)$, действительная ось параллельна оси $O y$, и при этом на оси $O x$ гипербола высекает хорду длины 8.

Составить уравнение параболы, если даны координаты фокуса $F(3,0)$ и уравнение директрисы $x = -1$.

Написать уравнение параболы, вершина которой находится в точке $(2,6)$, а ось параллельна оси $O y$, зная, что на оси $O x$ эта парабола высекает хорду длины 6.

Написать уравнения эллипса и гиперболы с фокусами $(7,0)$ и $(-7,0)$, проходящих через точку $(-2,12)$.

Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты $(0,1)$ и $(1,0)$, а большая ось равна 2.

Даны координаты фокусов $F_{1}(1,0)$ и $F_{2}(0,1)$ и уравнение касательной $x+y-2 = 0$. Составить уравнение эллипса.

Написать уравнение параболы, зная ее фокус $F(-1,-2)$ и директрису $x-y+8 = 0$.

Написать уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, а фокус — в точке $F(1,1)$.

Написать уравнение линии второго порядка, зная ее фокус $F(0,1)$, директрису $x-y+3 = 0$, соответствующую фокусу $F$, и точку $A(7,0)$, лежащую на ней.

Составить уравнение линии второго порядка, зная один из ее фокусов $F(1,1)$, соответствующую ему директрису $x+2 y-1 = 0$ и эксцентриситет $e = \sqrt{5}$.

Написать уравнение линии второго порядка, зная ее фокусы $F_{1}(1,1)$ и $F_{2}(-2,-2)$ и одну из директрис $x+y-1 = 0$.

Написать уравнение линии второго порядка с центром в точке $C(1,2)$, проходящей через начало координат, одной из директрис которой служит прямая $x+2 y-1 = 0$.

Написать уравнение равносторонней гиперболы, для которой ось $O x$ служит асимптотой, а точка $(1,1)$ — вершиной.

Даны уравнения асимптот гиперболы $y = \pm 5 x / 12$ и лежащая на ней точка $M(24,5)$. Составить каноническое уравнение гиперболы.

Даны уравнения $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0$ и $A_{2} x+B_{2} y+C_{2} = 0$ асимптот гиперболы и координаты точки $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Найти геометрическое место середин отрезков, отсекающих от данного угла величины $\alpha$ треугольники фиксированной площади $S$. Доказать, что все эти отрезки касаются одной и той же гиперболы.

Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух асимптот одно и то же для всех точек гиперболы.

Написать уравнение гиперболы, для которой точка $F(-2,2)$ служит фокусом, а прямые $2 x-y+1 = 0, x+2 y-7 = 0$ — асимптотами.

Написать уравнение гиперболы, зная асимптоту $y = 0$, одну из ее осей $2 x-y+2 = 0$ и точку $(1,1)$, лежащую на гиперболе.

Написать уравнение параболы, которая проходит через точки $O(0,0), P(4,0), Q(0,2)$, при условии, что точки $P$ и $Q$ симметричны относительно оси этой параболы.

Написать уравнение эллипса с длинами полуосей $a = 2, b = 1$, для которого прямые $x+y-1 = 0$ и $x-y+1 = 0$ суть соответственно большая и малая оси.

Написать уравнение линии второго порядка, проходящей через точки $M_{1}(-2,-1)$ и $M_{2}(0,-2)$, для которой прямые $x+y+1 = 0$ и $x-y+1 = 0$ служат осями симметрии.

Написать уравнение параболы, которая проходит через точки $(0,0),(0,1)$, для которой прямая $x+y+1 = 0$ служит осью симметрии.

Написать уравнение эллипса, центр которого находится в точке $(4,3)$, одна вершина лежит в начале координат, другая, соседняя с ней, — на оси $O y$.

Составить уравнение гиперболы, если даны координаты двух ее фокусов $F_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right)$ и $F_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ и уравнение касательной $A x+B y + C = 0$.

Написать уравнение линии второго порядка, для которой ось $O x$ является осью симметрии, ось $O y$ — касательной в вершине, зная, что линия проходит через две точки $(2,3)$ и $(6,-3)$.