Системы координат на плоскости и в пространстве

В прямоугольной системе координат $x, y$ на плоскости дана точка $M(x, y)$. Найти точку, симметричную точке $M$ относительно:

В прямоугольной системе координат $x, y, z$ в пространстве дана точка $M(x, y, z)$. Найти точку, симметричную точке $M$ относительно:

Даны две параллельные прямые $\ell_{1}$ и $\ell_{2}$, расстояние между которыми равно $d$, и три точки $A, B$ и $C$. Точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $\ell_{1}$, а точки $B$ и $C$ — относительно $\ell_{2}$. Найти расстояние между точками $A$ и $C$.

Зная радиус-векторы $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}$ трех последовательных вершин параллелограмма, найти радиус-вектор $\mathbf{r}_{4}$ четвертой вершины.

Даны радиус-векторы $\mathbf{r}_{A}, \mathbf{r}_{B}, \mathbf{r}_{C}$ трех последовательных вершин трапеции $A B C D$ и отношение оснований

Найти радиус-вектор $\mathbf{r}_{D}$ четвертой вершины.

Говорят, что точка $C$ делит отрезок $A B$ в отношении $\lambda$, если имеет место равенство

Зная радиус-векторы $\mathbf{r}_{A}$ и $\mathbf{r}_{B}$ точек $A$ и $B$, найти:

В каких пределах находится число $\lambda$, равное отношению, в котором точка $M$ делит отрезок $A B$, если $M$ лежит:

Даны радиус-векторы $\mathbf{r}_{A}, \mathbf{r}_{B}, \mathbf{r}_{C}$ вершин треугольника $A B C$. Найти радиус-вектор $\mathbf{r}$ точки пересечения его медиан.

В пространстве даны две точки $A(1,2,3)$ и $B(7,2,5)$. На прямой $A B$ найти точку $M$ так, чтобы точки $B$ и $M$ были расположены по разные стороны от точки $A$ и чтобы отрезок $A M$ был вдвое больше отрезка $A B$.

В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $A D$ угла $A$. Выразить радиус-вектор $\mathbf{r}_{D}$ точки $D$ через радиус-векторы $\mathbf{r}_{B}, \mathbf{r}_{C}$ точек $B$ и $C$ и длины сторон $b = \left|A C\right|, c = \left|A B\right|$.

Даны координаты $A(1,1), B(3,5), C(2,6)$ трех последовательных вершин трапеции $A B C D$ и отношение оснований $\left|B C\right|:\left|A D\right| = 2$. Найти координаты вершины $D$, точки $M$ пересечения диагоналей и точки $S$ пересечения продолжений боковых сторон.

В параллелограмме $A B C D$ отмечены середины $E, F$ сторон $A B$ и $C D$ соответственно. Прямая $\ell$, не проходящая через точку $E$, пересекает прямые $A B, E F, C E$ и $D E$ в точках $P, Q, R$ и $S$ соответственно. Точка $R$ делит отрезок $P Q$ в отношении $\lambda$. В каком отношении делит этот отрезок точка $S$?

Даны три точки $A, B$ и $C$. Пусть $\mathbf{r}_{A}, \mathbf{r}_{B}$ и $\mathbf{r}_{C}$ — их радиус-векторы. Какие из следующих выражений задают вектор, не зависящий от выбора начала отсчета, а какие — радиус-вектор точки, не зависящей от выбора начала отсчета? Указать эти векторы и точки:

Пересекает ли какую-либо координатную ось прямая, проходящая через точки $A(6,-8,-1)$ и $B(-3,4,3)$?

Доказать, что отрезки прямых, соединяющих середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам; доказать также, что в той же точке пересекаются отрезки прямых, соединяющих вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, и делятся этой точкой в отношении $3: 1$ (считая от вершин).

Даны две точки $A$ и $B$, расстояние между которыми равно $2 c$. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до точек $A$ и $B$ равна $2 a^{2}$, при условии $a > c$.

Даны две точки $A$ и $B$, расстояние между которыми равно $2 c$. Найти геометрическое место точек, абсолютная величина разности квадратов расстояний от которых до точек $A$ и $B$ равна $4 a^{2}$.

Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника вдвое больше квадрата расстояния до вершины прямого угла.

Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до трех вершин равностороннего треугольника постоянна при условии, что этому геометрическому месту принадлежит середина одной из сторон треугольника.

Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух вершин $A$ и $B$ треугольника $A B C$ равна квадрату расстояния до его третьей вершины $C$.

Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до трех вершин треугольника $A B C$ равна $a^{2}$.

Доказать, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до нескольких фиксированных точек постоянна, является окружностью или одной точкой.

Даны две различные точки $A$ и $B$ и положительное число $k \neq 1$. Найти геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точек $A$ и $B$ равно $k$.

Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме их расстояний до двух других противоположных вершин.

Даны две окружности с центрами $O_{1}, O_{2}$ и радиусами $r_{1}$ и $r_{2}$ соответственно. Найти геометрическое место точек, из которых к ним можно провести равные касательные.

Дана окружность с центром $O$ и радиусом $r$ и точка $A$, находящаяся на расстоянии $a$ от точки $O$. Найти геометрическое место точек, касательные из которых, проведенные к данной окружности, равны отрезкам, соединяющим эти точки с точкой $A$.

Даны две окружности $x^{2}+y^{2}-6 x-16 = 0, x^{2}+y^{2}+8 x-2 = 0$. Найти геометрическое место точек, из которых к этим окружностям можно провести равные касательные.

Даны две окружности $x^{2}+y^{2}-6 x-27 = 0, x^{2}+y^{2}+2 x-8 = 0$. Найти геометрическое место точек, касательные из которых, проведенные к большей окружности, вдвое длиннее касательных к меньшей окружности.

Найти геометрическое место точек, квадрат расстояния от которых до точки пересечения двух данных взаимно перпендикулярных прямых в $5 / 2$ раз больше произведения их расстояний до этих прямых.

Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до осей координат постоянна при условии, что этому геометрическому месту принадлежит точка $(2,-1)$.

Найти геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до прямых, содержащих две противоположные стороны квадрата, равно произведению расстояний до прямых, содержащих две другие его стороны.

Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных параллельных прямых вдвое больше расстояния до третьей данной прямой, перпендикулярной к первым двум.

Дан прямоугольник со сторонами $2 a$ и $2 b$, причем $a > b$. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до прямых, содержащих две противоположные стороны прямоугольника, равна сумме расстояний до прямых, содержащих две другие противоположные стороны.

Дан правильный шестиугольник $A B C D E F$, длина стороны которого равна 1. Приняв за полюс вершину $A$, за положительное направление полярной оси направление вектора $\overrightarrow {A B}$, а за положительное направление отсчета углов — направление кратчайшего поворота от $\overrightarrow {A B}$ к $\overrightarrow {A C}$, найти полярные координаты вершин шестиугольника в этой системе.

Вычислить расстояние между двумя точками, заданными своими полярными координатами:

Даны полярные координаты точек $A\left(8,-\frac{2 \pi }{3}\right)$ и $B\left(6, \frac{\pi }{3}\right)$. Вычислить полярные координаты середины отрезка $A B$.

Дана точка $A\left(5, \frac{2 \pi }{3}\right)$ относительно полярной системы координат. Найти:

В полярной системе координат найти точку, симметричную точке $(\rho_{0}, \varphi_{0})$ относительно прямой, содержащей луч $\varphi = \varphi_{1}$.

Относительно полярной системы координат даны точки $A\left(2, \frac{\pi }{6}\right), B\left(3, \frac{4 \pi }{3}\right), C\left(1, \frac{3 \pi }{2}\right), D(5, \pi ), E(5,0)$. Какие координаты будут иметь эти точки, если повернуть полярную ось вокруг полюса в положительном направлении на угол $3 \pi / 4$?

Вычислить площадь $S$ треугольника, одна из вершин которого помещается в полюсе, а две другие имеют полярные координаты $\left(4, \frac{\pi }{9}\right),\left(1, \frac{5 \pi }{18}\right)$.

Относительно полярной системы координат даны точки $A\left(2, \frac{\pi }{3}\right), B\left(\sqrt{2}, \frac{3 \pi }{4}\right), C\left(5, \frac{\pi }{2}\right), D\left(3,-\frac{\pi }{6}\right)$. Найти координаты этих точек в соответствующей прямоугольной системе координат.

Зная прямоугольные координаты точек $A(-1,1), B(0,2)$, $C(5,0), D(-8,-6)$, найти их координаты в полярной системе координат, соответствующей данной прямоугольной.

Зная полярные координаты точки: $\rho = 10, \varphi = \pi / 6$, найти ее прямоугольные координаты, если полюс полярной системы координат находится в точке (2,3), а полярная ось параллельна оси $O x$.

Полюс полярной системы координат находится в точке $(3,5)$, а положительное направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси $O y$. Найти в этой системе полярные координаты точек $M_{1}(9,-1)$ и $M_{2}(5,5-2 \sqrt{3})$.

Написать выражение прямоугольных координат через полярные, если полюс полярной системы находится в точке $(x_{0}, y_{0})$, а ее ось направлена под углом $\varphi_{0}$ к оси $O x$.

С помощью перехода к полярной системе координат доказать, что при повороте в положительном направлении на угол $\varphi$ вектор с координатами $(x, y)$ переходит в вектор с координатами $(x \cos \varphi -y \sin \varphi , x \sin \varphi +y \cos \varphi )$.

Одна из вершин правильного треугольника находится в точке $(0,0)$, а центр — в точке $(2,4)$. Найти координаты остальных вершин.

Даны две противоположные вершины квадрата $(1,1)$ и $(3,5)$. Найти две другие вершины.

Даны координаты двух соседних вершин квадрата $A B C D$ : $A(1,-1)$ и $B(3,1)$. Найти координаты остальных вершин.

Найти уравнение прямой, полученной из прямой $x+3 y = 2$ поворотом в положительном направлении на угол $\pi / 4$ вокруг точки пересечения с осью абсцисс.

Вершины $A$ и $B$ треугольника $A B C$ имеют координаты $(0,0)$ и $(28,21)$ соответственно. Найти координаты вершины $C$, зная углы: $\angle A = \frac{\pi }{4}$ и $\angle B = \arccos \frac{4}{5}$.

Вершина $A$ равностороннего треугольника $A B C$ находится в точке $(0,1)$. Найти вершины $B$ и $C$, если известно, что они лежат на прямых $y = 3$ и $y = 4$ соответственно.

Доказать, что в полярной системе координат уравнение

при любых $\varphi_{0}, a$ задает прямую. Каков геометрический смысл величин $\varphi_{0}, a$?

В полярной системе координат прямая задана уравнением

Найти уравнение этой прямой в прямоугольных координатах. Найти полярные координаты точки, симметричной полюсу относительно этой прямой.

Составить уравнение прямой $A B$ в полярной системе координат, если точки $A$ и $B$ имеют полярные координаты:

Центр равностороннего треугольника находится в начале координат, а одна из его сторон задана в полярной системе координат уравнением $\rho = a / \cos \varphi$. Найти уравнения остальных сторон треугольника.

В полярных координатах написать уравнение окружности радиусом $r_{0}$ с центром в точке $(\rho_{0}, \varphi_{0})$.

Найти сферические координаты точек по их прямоугольным координатам:

Найти сферические координаты точки $M$, зная, что луч $O M$ образует с осями $O x$ и Оу углы, соответственно равные $\pi / 4$ и $\pi / 3$, и что координата $z$ точки $M$ равна -1.

Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на сфере радиусом 1, зная ее долготу $\varphi = 330^{\circ }$ и широту $\theta = 45^{\circ }$.

Найти длину меньшей из двух дуг большого круга, соединяющих две точки $A$ и $B$, лежащие на сфере радиусом $\rho$, зная долготу и широту этих точек: $A\left(\varphi_{1}, \theta_{1}\right), B\left(\varphi_{2}, \theta_{2}\right)$.

Найти цилиндрические координаты точек по их прямоугольным координатам: $A(3,-4,5), B(1,-1,-1), C(-6,0,8)$.

Найти цилиндрические координаты точки $M$, зная, что луч $O M$ составляет с осями координат $O x$ и $O y$ углы $\pi / 3, \pi / 3$, его угол с осью $O z$ острый, а длина отрезка $O M$ равна 1. Найти угол между лучом $O M$ и осью $O z$.

Найти угол $\alpha$ вектора $\overrightarrow {O M}$ с осью $O x$, зная цилиндрические координаты $\rho , \varphi , z$ точки $M$.

В треугольнике $A B C$ проведены медианы $A D, B E$ и $C F$. Найти сумму векторов $\overrightarrow {A D}+\overrightarrow {B E}+\overrightarrow {C F}$.

Точки $E$ и $F$ служат серединами сторон $A B$ и $C D$ четырехугольника $A B C D$. Доказать, что $\overrightarrow {E F} = (\overrightarrow {B C}+\overrightarrow {A D}) / 2$. Вывести отсюда обратную теорему о средней линии трапеции.

Векторы $\overrightarrow {A C} = \mathbf{a}$ и $\overrightarrow {B D} = \mathbf{b}$ служат диагоналями параллелограмма $A B C D$. Выразить через векторы а и $\mathbf{b}$ векторы $\overrightarrow {A B}, \overrightarrow {B C}, \overrightarrow {C D}$ и $\overrightarrow {D A}$, являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Точки $K$ и $L$ служат серединами сторон $B C$ и $C D$ параллелограмма $A B C D$. Полагая $\overrightarrow {A K} = \mathbf{k}$ и $\overrightarrow {A L} = \mathbf{l}$, выразить через векторы $\mathbf{k}$ и $\mathbf{l}$ векторы $\overrightarrow {B C}$ и $\overrightarrow {C D}$.

Векторы $\overrightarrow {A B} = \mathbf{p}$ и $\overrightarrow {A F} = \mathbf{q}$ служат двумя смежными сторонами правильного шестиугольника $A B C D E F$. Выразить через $\mathbf{p}$ и q векторы $\overrightarrow {B C}, \overrightarrow {C D}, \overrightarrow {D E}, \overrightarrow {E F}$, идущие по сторонам этого шестиугольника.

В треугольнике найти такую точку, чтобы сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам треугольника, была равна $\mathbf{0}$.

Из точки $O$ выходят два вектора $\overrightarrow {O A} = \mathbf{a}, \overrightarrow {O B} = \mathbf{b}$. Найти какойнибудь вектор $\overrightarrow {O M}$, идущий по биссектрисе угла $A O B$. Вывести отсюда теорему о биссектрисе.

На трех некомпланарных векторах $\overrightarrow {A B} = \mathbf{p}, \overrightarrow {A D} = \mathbf{q}, \overrightarrow {A A^{\prime }} = \mathbf{r}$ построен параллелепипед $A B C D A^{\prime } B^{\prime } C^{\prime } D^{\prime }$. Выразить через $\mathbf{p}$, q и $\mathbf{r}$ векторы, совпадающие с ребрами, диагональю параллелепипеда и диагоналями граней этого параллелепипеда, для которых вершина $A^{\prime }$ служит началом.

В тетраэдре $A B C D$ даны векторы ребер, выходящих из вершины $A: \overrightarrow {A B} = \mathbf{b}, \overrightarrow {A C} = \mathbf{c}, \overrightarrow {A D} = \mathbf{d}$. Выразить через них векторы остальных ребер тетраэдра, медианы $D M$ грани $B C D$ и вектор $\overrightarrow {A Q}$, где $Q$ — точка пересечения медиан грани $B C D$.

Дан тетраэдр $O A B C$. Полагая $\overrightarrow {O A} = \mathbf{a}, \overrightarrow {O B} = \mathbf{b}, \overrightarrow {O C} = \mathbf{c}$, выразить через а, b и с векторы $\overrightarrow {M N}, \overrightarrow {P Q}$ и $\overrightarrow {R S}$, где $M, P$ и $R$ — середины ребер $O A, O B$ и $O C$, а $N, Q$ и $S$ — середины соответствующих противоположных ребер.

Дан пространственный четырехугольник $A B C D$. Известны векторы $\overrightarrow {A B} = \mathbf{m}$ и $\overrightarrow {C D} = \mathbf{p}$. Найти вектор $\overrightarrow {E F}$, соединяющий середины диагоналей $A C$ и $B D$.

Доказать, что сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника к его вершинам, равна нулю.

Доказать, что вектор, идущий из произвольной точки плоскости в центр правильного многоугольника, есть среднее арифметическое векторов, идущих из этой точки к вершинам многоугольника.

Зная радиус-векторы $\mathbf{r}_{A}, \mathbf{r}_{B}, \mathbf{r}_{D}$ и $\mathbf{r}_{A^{\prime }}$ четырех вершин параллелепипеда $A B C D A^{\prime } B^{\prime } C^{\prime } D^{\prime }$, найти радиус-векторы четырех остальных его вершин.

Радиус-векторы $\overrightarrow {O A} = \mathbf{r}_{1}, \overrightarrow {O B} = \mathbf{r}_{2}$ и $\overrightarrow {O C} = \mathbf{r}_{3}$ служат ребрами параллелепипеда. Найти радиус-вектор точки пересечения диагонали параллелепипеда, выходящей из вершины $O$, с плоскостью, проходящей через вершины $A, B$ и $C$.

Даны три вектора $\mathbf{a} = (5,7,2), \mathbf{b} = (3,0,4), \mathbf{c} = (-6,1,-1)$. Найти векторы:

Представить вектор $\mathbf{d}$ как линейную комбинацию векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ и с в каждом из следующих случаев:

Установить, в каких из нижеследующих случаев тройки векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ и с будут линейно зависимы, и в том случае, когда это возможно, представить вектор с как линейную комбинацию векторов а и $\mathbf{b}$ :

Показать, что каковы бы ни были три вектора $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ и с и три числа $\lambda , \mu , v$, векторы $\lambda \mathbf{a}-\mu \mathbf{b}, v \mathbf{b}-\lambda \mathbf{c}, \mu \mathbf{c}-\nu \mathbf{a}$ компланарны.

Найти проекцию на плоскость $O y z$ вектора $(1,3,5)$ параллельно вектору $(4,-1,3)$.

Найти проекцию вектора $(7,5,-3)$ на плоскость, определяемую векторами $(1,1,1)$ и $(2,-1,1)$, параллельно вектору $(2,-2,1)$.

Даны четыре вектора

$\mathbf{a} = (1,5,3), \quad \mathbf{b} = (6,-4,-2), \quad \mathbf{c} = (0,-5,7), \quad \mathbf{d} = (-20,27,-35)$.

Подобрать числа $\alpha , \beta$ и $\gamma$ так, чтобы векторы $\alpha \mathbf{a}, \beta \mathbf{b}, \gamma \mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ образовывали замкнутую ломаную линию, если начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего.

Найти координаты вершин параллелограмма $A B C D$ в аффинной системе координат, начало которой находится в центре $O$ этого параллелограмма, а базисными являются векторы $\overrightarrow {A B}, \overrightarrow {B O}$.

Найти аффинные координаты вершин правильного шестиугольника $A B C D E F$, принимая за начало отсчета точку $A$, а за базис — пару векторов $\overrightarrow {A B}, \overrightarrow {B C}$.

В трапеции $A B C D$ отношение длин оснований $A D$ и $B C$ равно $k$. Принимая за начало координат вершину $A$, а за базисные векторы — векторы $\overrightarrow {A D}$ и $\overrightarrow {A B}$, найти координаты вершин трапеции, точки $M$ пересечения диагоналей и точки $S$ пересечения продолжений боковых сторон.

Найти координаты вершин тетраэдра $O A B C$ в системе координат с началом в вершине $O$, базисными векторами которой являются медианы $\overrightarrow {O D}, \overrightarrow {O E}, \overrightarrow {O F}$ граней $B O C, C O A, A O B$.

Найти координаты вершин тетраэдра $A B C D$, принимая точку пересечения $P$ грани $B C D$ за начало отсчета, а векторы $B Q, C R$, $D S$ — за базисные векторы, где $Q, R$ и $S$ — точки пересечения медиан граней $A C D, A B D$ и $A B C$ соответственно.

Найти координаты центра тяжести однородного стержня $A O B$, согнутого под прямым углом, если длины $\left|O A\right| = a$ и $\left|O B\right| = b$. Принять за начало координат точку $O$, а за единичные векторы осей $O x$ и $O y$ — векторы $\overrightarrow {O A}$ и $\overrightarrow {O B}$ соответственно.

Найти центр тяжести проволочного треугольника.

Найти скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ в каждом из следующих случаев:

В треугольнике $A B C$ даны длины сторон $\left|B C\right| = 5,\left|C A\right| = 6$, $\left|A B\right| = 7$. Найти скалярное произведение векторов $\overrightarrow {A B}$ и $\overrightarrow {B C}$.

Используя лишь свойства билинейности и симметричности скалярного произведения, найти угол $\alpha$ при вершине равнобедренного треугольника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны.

Доказать, что векторы $\mathbf{p} = \mathbf{a}(\mathbf{b}, \mathbf{c})-\mathbf{b}(\mathbf{a}, \mathbf{c})$ и с перпендикулярны друг другу.

Какой угол образуют единичные векторы $\mathbf{s}$ и $\mathbf{t}$, если известно, что векторы $\mathbf{p} = \mathbf{s}+2 \mathbf{t}$ и $\mathbf{q} = 5 \mathbf{s}-4 \mathbf{t}$ взаимно перпендикулярны?

Дан равносторонний треугольник $A B C$, у которого длины сторон равны 1. Полагая $\overrightarrow {B C} = \mathbf{a}, \overrightarrow {C A} = \mathbf{b}, \overrightarrow {A B} = \mathbf{c}$, вычислить значение выражения $(\mathbf{a}, \mathbf{b})+(\mathbf{b}, \mathbf{c})+(\mathbf{c}, \mathbf{a})$ с помощью свойств скалярного произведения.

В треугольнике $A B C$ проведены медианы $A D, B E$ и $C F$. Вычислить $(\overrightarrow {B C}, \overrightarrow {A D})+(\overrightarrow {C A}, \overrightarrow {B E})+(\overrightarrow {A B}, \overrightarrow {C F})$.

В прямоугольном треугольнике $A B C$ опущен перпендикуляр $C H$ на гипотенузу $A B$. Выразить вектор $\overrightarrow {C H}$ через векторы $\mathbf{a} = \overrightarrow {C B}$ и $\mathbf{b} = \overrightarrow {C A}$.

Дан прямоугольник $A B C D$ и точка $M$ (которая может лежать как в плоскости прямоугольника, так и вне ее). Показать, что:

В треугольнике $A B C$ точка $D$ делит сторону $A B$ в отношении $\overrightarrow {A D}: \overrightarrow {D B} = \lambda$. Выразить длину отрезка $C D$ через длины сторон треугольника и число $\lambda$.

Доказать, что при любом расположении точек $A, B, C, D$ на плоскости или в пространстве имеет место равенство

Доказать, что в правильном тетраэдре отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, является их общим перпендикуляром.

Доказать, что если в тетраэдре $A B C D$ ребро $A B$ перпендикулярно $C D$, а $A C$ перпендикулярно $B D$, то ребра $A D$ и $B C$ также перпендикулярны.

Вычислить длину диагонали $O D$ параллелепипеда, зная длины $a = \left|O A\right|, b = \left|O B\right|, c = \left|O C\right|$ трех ребер, выходящих из той же вершины, и плоские углы $\alpha = \angle B O C, \beta = \angle A O C, \gamma = \angle A O B$ между ними.

Вычислить скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, заданных своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев:

Вычислить скалярное произведение векторов $\overrightarrow {A B}$ и $\overrightarrow {A C}$ :

Определить угол $\alpha$ между двумя векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, заданными своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев:

Используя лишь свойства билинейности и симметричности, доказать, что ортогональная проекция вектора а на направление вектора $\mathbf{b}$ равна $\frac{(\mathbf{a}, \mathbf{b})}{(\mathbf{b}, \mathbf{b})} \cdot \mathbf{b}$.