Скалярное произведение

Найти скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ в каждом из следующих случаев:

В треугольнике $A B C$ даны длины сторон $\left|B C\right| = 5,\left|C A\right| = 6$, $\left|A B\right| = 7$. Найти скалярное произведение векторов $\overrightarrow {A B}$ и $\overrightarrow {B C}$.

Используя лишь свойства билинейности и симметричности скалярного произведения, найти угол $\alpha$ при вершине равнобедренного треугольника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны.

Доказать, что векторы $\mathbf{p} = \mathbf{a}(\mathbf{b}, \mathbf{c})-\mathbf{b}(\mathbf{a}, \mathbf{c})$ и с перпендикулярны друг другу.

Какой угол образуют единичные векторы $\mathbf{s}$ и $\mathbf{t}$, если известно, что векторы $\mathbf{p} = \mathbf{s}+2 \mathbf{t}$ и $\mathbf{q} = 5 \mathbf{s}-4 \mathbf{t}$ взаимно перпендикулярны?

Дан равносторонний треугольник $A B C$, у которого длины сторон равны 1. Полагая $\overrightarrow {B C} = \mathbf{a}, \overrightarrow {C A} = \mathbf{b}, \overrightarrow {A B} = \mathbf{c}$, вычислить значение выражения $(\mathbf{a}, \mathbf{b})+(\mathbf{b}, \mathbf{c})+(\mathbf{c}, \mathbf{a})$ с помощью свойств скалярного произведения.

В треугольнике $A B C$ проведены медианы $A D, B E$ и $C F$. Вычислить $(\overrightarrow {B C}, \overrightarrow {A D})+(\overrightarrow {C A}, \overrightarrow {B E})+(\overrightarrow {A B}, \overrightarrow {C F})$.

В прямоугольном треугольнике $A B C$ опущен перпендикуляр $C H$ на гипотенузу $A B$. Выразить вектор $\overrightarrow {C H}$ через векторы $\mathbf{a} = \overrightarrow {C B}$ и $\mathbf{b} = \overrightarrow {C A}$.

Дан прямоугольник $A B C D$ и точка $M$ (которая может лежать как в плоскости прямоугольника, так и вне ее). Показать, что:

В треугольнике $A B C$ точка $D$ делит сторону $A B$ в отношении $\overrightarrow {A D}: \overrightarrow {D B} = \lambda$. Выразить длину отрезка $C D$ через длины сторон треугольника и число $\lambda$.

Доказать, что при любом расположении точек $A, B, C, D$ на плоскости или в пространстве имеет место равенство

Доказать, что в правильном тетраэдре отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, является их общим перпендикуляром.

Доказать, что если в тетраэдре $A B C D$ ребро $A B$ перпендикулярно $C D$, а $A C$ перпендикулярно $B D$, то ребра $A D$ и $B C$ также перпендикулярны.

Вычислить длину диагонали $O D$ параллелепипеда, зная длины $a = \left|O A\right|, b = \left|O B\right|, c = \left|O C\right|$ трех ребер, выходящих из той же вершины, и плоские углы $\alpha = \angle B O C, \beta = \angle A O C, \gamma = \angle A O B$ между ними.

Вычислить скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, заданных своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев:

Вычислить скалярное произведение векторов $\overrightarrow {A B}$ и $\overrightarrow {A C}$ :

Определить угол $\alpha$ между двумя векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, заданными своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев:

Используя лишь свойства билинейности и симметричности, доказать, что ортогональная проекция вектора а на направление вектора $\mathbf{b}$ равна $\frac{(\mathbf{a}, \mathbf{b})}{(\mathbf{b}, \mathbf{b})} \cdot \mathbf{b}$.

Найти единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\mathbf{a} = (-8,4,1)$.

Вычислить ортогональную проекцию вектора $(1,5,-3$) на направление вектора $(1,-2,1)$.

Найти алгебраическую величину проекции вектора $(8,4,1)$ на ось, параллельную вектору $(-2,2,-1)$.

Из одной точки проведены вектор $\mathbf{a} = (-3,0,4$) и вектор $\mathbf{b} = (5,-2,-14)$. Найти единичный вектор, который, будучи отложен от той же точки, делит пополам угол между векторами а и $\mathbf{b}$.

Даны вершины треугольника $A B C: A(1,2,-1), B(2,-1,3)$, $C(-4,7,5)$. Найти вектор, направленный по биссектрисе его внутреннего угла $B$.

Даны два вектора $\mathbf{a} = (8,4,1), \mathbf{b} = (2,-2,1)$. Найти вектор $\mathbf{c}$, перпендикулярный вектору а, равный ему по длине, компланарный с векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, образующий с вектором $\mathbf{b}$ острый угол.

К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1, 2,3 и направленные по диагоналям граней куба, проходящим через эту вершину. Найти величину равнодействующей этих трех сил.

Найти координаты вектора, если известно, что он перпендикулярен векторам $(2,4,-3)$ и $(-1,4,6)$, образует с осью Оу тупой угол и его длина равна 13.

Даны три вектора $\mathbf{a} = (-3,2,0), \mathbf{b} = (1,1,-1), \mathbf{c} = (5,11,-1)$. Найти ортогональную проекцию вектора с на плоскость, определяемую векторами а и b.

Найти ортогональную проекцию вектора $\mathbf{c} = (0,2,1)$ на плоскость, определяемую векторами $\mathbf{a} = (1,1,1)$ и $\mathbf{b} = (2,-1,2)$, и вычислить угол между вектором с и его проекцией.