Элементы векторной алгебры и аффинные системы координат

В треугольнике $A B C$ проведены медианы $A D, B E$ и $C F$. Найти сумму векторов $\overrightarrow {A D}+\overrightarrow {B E}+\overrightarrow {C F}$.

Точки $E$ и $F$ служат серединами сторон $A B$ и $C D$ четырехугольника $A B C D$. Доказать, что $\overrightarrow {E F} = (\overrightarrow {B C}+\overrightarrow {A D}) / 2$. Вывести отсюда обратную теорему о средней линии трапеции.

Векторы $\overrightarrow {A C} = \mathbf{a}$ и $\overrightarrow {B D} = \mathbf{b}$ служат диагоналями параллелограмма $A B C D$. Выразить через векторы а и $\mathbf{b}$ векторы $\overrightarrow {A B}, \overrightarrow {B C}, \overrightarrow {C D}$ и $\overrightarrow {D A}$, являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Точки $K$ и $L$ служат серединами сторон $B C$ и $C D$ параллелограмма $A B C D$. Полагая $\overrightarrow {A K} = \mathbf{k}$ и $\overrightarrow {A L} = \mathbf{l}$, выразить через векторы $\mathbf{k}$ и $\mathbf{l}$ векторы $\overrightarrow {B C}$ и $\overrightarrow {C D}$.

Векторы $\overrightarrow {A B} = \mathbf{p}$ и $\overrightarrow {A F} = \mathbf{q}$ служат двумя смежными сторонами правильного шестиугольника $A B C D E F$. Выразить через $\mathbf{p}$ и q векторы $\overrightarrow {B C}, \overrightarrow {C D}, \overrightarrow {D E}, \overrightarrow {E F}$, идущие по сторонам этого шестиугольника.

В треугольнике найти такую точку, чтобы сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам треугольника, была равна $\mathbf{0}$.

Из точки $O$ выходят два вектора $\overrightarrow {O A} = \mathbf{a}, \overrightarrow {O B} = \mathbf{b}$. Найти какойнибудь вектор $\overrightarrow {O M}$, идущий по биссектрисе угла $A O B$. Вывести отсюда теорему о биссектрисе.

На трех некомпланарных векторах $\overrightarrow {A B} = \mathbf{p}, \overrightarrow {A D} = \mathbf{q}, \overrightarrow {A A^{\prime }} = \mathbf{r}$ построен параллелепипед $A B C D A^{\prime } B^{\prime } C^{\prime } D^{\prime }$. Выразить через $\mathbf{p}$, q и $\mathbf{r}$ векторы, совпадающие с ребрами, диагональю параллелепипеда и диагоналями граней этого параллелепипеда, для которых вершина $A^{\prime }$ служит началом.

В тетраэдре $A B C D$ даны векторы ребер, выходящих из вершины $A: \overrightarrow {A B} = \mathbf{b}, \overrightarrow {A C} = \mathbf{c}, \overrightarrow {A D} = \mathbf{d}$. Выразить через них векторы остальных ребер тетраэдра, медианы $D M$ грани $B C D$ и вектор $\overrightarrow {A Q}$, где $Q$ — точка пересечения медиан грани $B C D$.

Дан тетраэдр $O A B C$. Полагая $\overrightarrow {O A} = \mathbf{a}, \overrightarrow {O B} = \mathbf{b}, \overrightarrow {O C} = \mathbf{c}$, выразить через а, b и с векторы $\overrightarrow {M N}, \overrightarrow {P Q}$ и $\overrightarrow {R S}$, где $M, P$ и $R$ — середины ребер $O A, O B$ и $O C$, а $N, Q$ и $S$ — середины соответствующих противоположных ребер.

Дан пространственный четырехугольник $A B C D$. Известны векторы $\overrightarrow {A B} = \mathbf{m}$ и $\overrightarrow {C D} = \mathbf{p}$. Найти вектор $\overrightarrow {E F}$, соединяющий середины диагоналей $A C$ и $B D$.

Доказать, что сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника к его вершинам, равна нулю.

Доказать, что вектор, идущий из произвольной точки плоскости в центр правильного многоугольника, есть среднее арифметическое векторов, идущих из этой точки к вершинам многоугольника.

Зная радиус-векторы $\mathbf{r}_{A}, \mathbf{r}_{B}, \mathbf{r}_{D}$ и $\mathbf{r}_{A^{\prime }}$ четырех вершин параллелепипеда $A B C D A^{\prime } B^{\prime } C^{\prime } D^{\prime }$, найти радиус-векторы четырех остальных его вершин.

Радиус-векторы $\overrightarrow {O A} = \mathbf{r}_{1}, \overrightarrow {O B} = \mathbf{r}_{2}$ и $\overrightarrow {O C} = \mathbf{r}_{3}$ служат ребрами параллелепипеда. Найти радиус-вектор точки пересечения диагонали параллелепипеда, выходящей из вершины $O$, с плоскостью, проходящей через вершины $A, B$ и $C$.

Даны три вектора $\mathbf{a} = (5,7,2), \mathbf{b} = (3,0,4), \mathbf{c} = (-6,1,-1)$. Найти векторы:

Представить вектор $\mathbf{d}$ как линейную комбинацию векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ и с в каждом из следующих случаев:

Установить, в каких из нижеследующих случаев тройки векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ и с будут линейно зависимы, и в том случае, когда это возможно, представить вектор с как линейную комбинацию векторов а и $\mathbf{b}$ :

Показать, что каковы бы ни были три вектора $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ и с и три числа $\lambda , \mu , v$, векторы $\lambda \mathbf{a}-\mu \mathbf{b}, v \mathbf{b}-\lambda \mathbf{c}, \mu \mathbf{c}-\nu \mathbf{a}$ компланарны.

Найти проекцию на плоскость $O y z$ вектора $(1,3,5)$ параллельно вектору $(4,-1,3)$.

Найти проекцию вектора $(7,5,-3)$ на плоскость, определяемую векторами $(1,1,1)$ и $(2,-1,1)$, параллельно вектору $(2,-2,1)$.

Даны четыре вектора

$\mathbf{a} = (1,5,3), \quad \mathbf{b} = (6,-4,-2), \quad \mathbf{c} = (0,-5,7), \quad \mathbf{d} = (-20,27,-35)$.

Подобрать числа $\alpha , \beta$ и $\gamma$ так, чтобы векторы $\alpha \mathbf{a}, \beta \mathbf{b}, \gamma \mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ образовывали замкнутую ломаную линию, если начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего.

Найти координаты вершин параллелограмма $A B C D$ в аффинной системе координат, начало которой находится в центре $O$ этого параллелограмма, а базисными являются векторы $\overrightarrow {A B}, \overrightarrow {B O}$.

Найти аффинные координаты вершин правильного шестиугольника $A B C D E F$, принимая за начало отсчета точку $A$, а за базис — пару векторов $\overrightarrow {A B}, \overrightarrow {B C}$.

В трапеции $A B C D$ отношение длин оснований $A D$ и $B C$ равно $k$. Принимая за начало координат вершину $A$, а за базисные векторы — векторы $\overrightarrow {A D}$ и $\overrightarrow {A B}$, найти координаты вершин трапеции, точки $M$ пересечения диагоналей и точки $S$ пересечения продолжений боковых сторон.

Найти координаты вершин тетраэдра $O A B C$ в системе координат с началом в вершине $O$, базисными векторами которой являются медианы $\overrightarrow {O D}, \overrightarrow {O E}, \overrightarrow {O F}$ граней $B O C, C O A, A O B$.

Найти координаты вершин тетраэдра $A B C D$, принимая точку пересечения $P$ грани $B C D$ за начало отсчета, а векторы $B Q, C R$, $D S$ — за базисные векторы, где $Q, R$ и $S$ — точки пересечения медиан граней $A C D, A B D$ и $A B C$ соответственно.

Найти координаты центра тяжести однородного стержня $A O B$, согнутого под прямым углом, если длины $\left|O A\right| = a$ и $\left|O B\right| = b$. Принять за начало координат точку $O$, а за единичные векторы осей $O x$ и $O y$ — векторы $\overrightarrow {O A}$ и $\overrightarrow {O B}$ соответственно.

Найти центр тяжести проволочного треугольника.