Ориентация, векторное и смешанное произведения

На плоскости дан базис $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$. Принимая его ориентацию за положительную, определить ориентацию следующих базисов:

На плоскости даны четыре ненулевых вектора a, b, c, d. Известно, что углы $(\widehat{\mathbf{a}, \mathbf{c}})$ и $(\widehat{\mathbf{b}, \mathbf{d}})$ прямые, $(\widehat{\mathbf{a}, \mathbf{d}})$ и $(\widehat{\mathbf{b}, \mathbf{c}})$ — острые. Одинаковую или противоположную ориентацию имеют пары $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ и $\mathbf{c}, \mathbf{d}$?

Используя лишь свойства билинейности и антисимметричности ориентированной площади, доказать, что отношение ориентированных площадей $S_{\text{or }}(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ и $S_{\text{or }}(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ равно

где

В каких аффинных системах координат можно пользоваться формулой (1.1)?

Дан вектор $\mathbf{a} = (-5,2)$. Найти вектор $\mathbf{b}$, перпендикулярный вектору a, равный ему по длине и направленный так, что векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ образуют пару той же ориентации, что и единичные векторы осей $O x$ и $O y$.

Доказать, что

С помощью свойств ориентированной площади доказать, что площадь треугольника, составленного из медиан треугольника $A B C$, равна $3 / 4$ площади треугольника $A B C$.

Даны три точки на плоскости: $A(-2,3), B(2,1), C(5,-3)$. Найти площадь $S$ треугольника $A B C$ и длину $h$ высоты, опущенной на сторону $B C$.

Стороны $B C, C A$ и $A B$ треугольника $A B C$ разделены точками $P, Q, R$ в отношениях

Найти отношение площади ориентированного треугольника $P Q R$ к площади ориентированного треугольника $A B C$.

Стороны $B C, C A$ и $A B$ треугольника $A B C$ разделены точками $P, Q, R$ в отношениях

Пусть $A^{\prime }, B^{\prime }, C^{\prime }$ — точки пересечения пар прямых $B Q$ и $C R, C R$ и $A P$, $A P$ и $B Q$. Найти отношение площади ориентированного треугольника $A^{\prime } B^{\prime } C^{\prime }$ к площади ориентированного треугольника $A B C$. Чему равно это отношение в случае $\lambda = \mu = \nu = 2$?

Найти угол от вектора a до вектора $\mathbf{b}$, если:

В пространстве дан базис $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$. Принимая его ориентацию за положительную, определить ориентацию следующих базисов:

В пространстве даны два базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ и $\mathbf{f}_{1}, \mathbf{f}_{2}, \mathbf{f}_{3}$. Известно, что угол $(\widehat{\mathbf{e}_{i}, \mathbf{f}_{j}})$ острый, если $i = j$, и прямой в противном случае.

Выяснить, имеют ли данные базисы одинаковую или противоположную ориентацию.

В пространстве даны четыре вектора $\overrightarrow {O A}(1,1,1), \overrightarrow {O B}(2,-1,2)$, $\overrightarrow {O C}(0,2,1)$ и $\overrightarrow {O D}(2,-2,1)$. Лежит ли луч $O D$ внутри или вне трехгранного угла $O A B C$?

Найти вектор $\overrightarrow {O M}$, образующий равные острые углы с лучами $\overrightarrow {O A}(1,2,2), \overrightarrow {O B}(0,3,4)$ и $\overrightarrow {O C}(-2,-1,2)$. Лежит ли луч $\overrightarrow {O M}$ внутри или вне трехгранного угла $O A B C$?

Зная векторное произведение с векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, найти:

Показать, что если три вектора $\mathbf{a}, \mathbf{b}$, c не коллинеарны, то равенства $[\mathbf{a}, \mathbf{b}] = [\mathbf{b}, \mathbf{c}] = [\mathbf{c}, \mathbf{a}]$ равносильны выполнению соотношения $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c} = \mathbf{0}$.

Доказать, что если

то векторы a, b и с компланарны.

Из одной точки проведены три некомпланарных вектора a, b, c. Показать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору $[\mathbf{a}, \mathbf{b}]+[\mathbf{b}, \mathbf{c}]+[\mathbf{c}, \mathbf{a}]$.

Показать, что если векторы $[\mathbf{a}, \mathbf{b}],[\mathbf{b}, \mathbf{c}],[\mathbf{c}, \mathbf{a}]$ компланарны, то они коллинеарны.

В ориентированном пространстве даны два взаимно перпендикулярных вектора a и $\mathbf{b}$. Найти вектор c, получающийся из вектора $\mathbf{b}$ поворотом на $\pi / 2$ вокруг вектора $\mathbf{a}$ так, чтобы ориентация тройки векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ и с была положительной.

В ориентированном пространстве даны два ненулевых вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$. Найти вектор $\mathbf{c}$, полученный из $\mathbf{b}$ поворотом на угол $\varphi$ в положительном направлении вокруг вектора $\mathbf{a}$, т.е. так, чтобы тройка $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ была положительной при $0 < \varphi < \pi$ и отрицательной при $\pi < \varphi < 2 \pi$.

Найти векторное произведение $[\mathbf{a}, \mathbf{b}]$ в каждом из нижеследующих случаев:

Найти векторное произведение $[\overrightarrow {A B}, \overrightarrow {A C}]$ :

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf{a} = (8,4,1), \mathbf{b} = (2,-2,1)$.

Даны точки в пространстве: $A(2,-1,3), B(3,1,5), C(-1,3,2)$. Найти площадь $S$ треугольника $A B C$ и длину $h$ высоты, опущенной на сторону $A B$.

Даны векторы $\mathbf{a} = (3,1,2), \mathbf{b} = (2,7,4), \mathbf{c} = (1,2,1)$. Найти:

Даны два вектора $\mathbf{a} = (11,10,2)$ и $\mathbf{b} = (4,0,3)$. Найти вектор с длины 1, перпендикулярный векторам а и $\mathbf{b}$ и направленный так, чтобы тройка векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ была положительной.

Даны два вектора $\mathbf{a} = (1,1,1)$ и $\mathbf{b} = (1,0,0)$. Найти единичный вектор с, перпендикулярный вектору $\mathbf{a}$, образующий с вектором $\mathbf{b}$ угол $\pi / 3$ и направленный так, чтобы тройка векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$ была положительной.

Доказать, что площадь выпуклого плоского четырехугольника $A B C D$ в пространстве равна половине длины векторного произведения $[\overrightarrow {A C}, \overrightarrow {B D}]$.

В правильном тетраэдре $A B C D$ проведены два сечения, параллельные ребрам $A C$ и $B D$. Найти длину ребра тетраэдра, если площади сечений равны $S_{1}$ и $S_{2}$, а расстояние между секущими плоскостями равно $d$.

Доказать, что для любых двух векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ имеет место равенство $([\mathbf{a}, \mathbf{b}])^{2} = \mathbf{a}^{2} \mathbf{b}^{2}-(\mathbf{a}, \mathbf{b})^{2}$.

Доказать, что для произвольных вектора а и перпендикулярных векторов $\mathbf{b}$ и с имеет место равенство $[[\mathbf{a}, \mathbf{b}], \mathbf{c}] = \mathbf{b}(\mathbf{a}, \mathbf{c})$.

Доказать, что для произвольных векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ в пространстве имеют место равенства:

Доказать, что для произвольных трех векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ выполняется тождество Якоби

Для любых трех векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ доказать равенство

Доказать, что для любых четырех векторов a, b, c, d справедливы равенства

Доказать тождества:

Доказать, что все четыре грани произвольного тетраэдра равновелики тогда и только тогда, когда они конгруэнтны.

Даны вершины тетраэдра: $A(2,3,1), B(4,1,-2), C(6,3,7)$, $D(-5,-4,8)$. Найти длину $h$ его высоты, опущенной из вершины $D$.

В треугольной пирамиде ребра, выходящие из вершины $S$, имеют длину 1, а плоские углы граней при вершине $S$ равны $\pi / 4$, $\pi / 4$ и $\pi / 3$. Найти площадь основания пирамиды.

Доказать, что равенство $[[\mathbf{a}, \mathbf{b}], \mathbf{c}] = [\mathbf{a},[\mathbf{b}, \mathbf{c}]]$ имеет место тогда и только тогда, когда выполнено по крайней мере одно из двух условий:

Даны три некомпланарных вектора a, b, c. Найти вектор x, удовлетворяющий системе уравнений

Даны радиус-векторы $\overrightarrow {O A} = \mathbf{r}_{1}, \overrightarrow {O B} = \mathbf{r}_{2}, \overrightarrow {O C} = \mathbf{r}_{3}$ точек $A, B, C$. Известно, что векторы $\mathbf{r}_{2}$ и $\mathbf{r}_{3}$ неколлинеарны. Из точки $A$ опущен перпендикуляр $A M$ на плоскость $O B C$. Найти радиус-вектор точки $M$.

Две тройки некомпланарных векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}$ и $\mathbf{a}^{1}, \mathbf{a}^{2}, \mathbf{a}^{3}$ называются взаимными, если векторы этих троек связаны соотношениями

Для данной тройки некомпланарных векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}$ найти векторы $\mathbf{a}^{1}, \mathbf{a}^{2}, \mathbf{a}^{3}$ ее взаимной тройки.

Даны плоские углы $\angle B O C = \alpha , \angle C O A = \beta , \angle A O B = \gamma$ трехгранного угла $O A B C$. Вычислить косинусы его внутренних двугранных углов $A, B, C$, противолежащих граням $B O C, C O A, A O B$.

Даны внутренние двугранные углы $A, B, C$. Вычислить косинусы его плоских углов $\alpha , \beta , \gamma$.

Доказать, что

(теорема синусов в сферической геометрии).

Вычислить объем параллелепипеда, зная длины $a, b, c$ трех его ребер, выходящих из одной вершины, и $\alpha , \beta , \gamma$ — углы между ними.

Доказать формулы сферической геометрии:

где $\alpha , \beta , \gamma$ — длины сторон треугольника на единичной сфере; $A, B$, $C$ — соответствующие противолежащие углы.

Вычислить объем треугольной пирамиды с боковыми ребрами $a, b, c$ и двугранными углами $\alpha , \beta , \gamma$ при этих ребрах.