Дополнительные темы

Опишите многочлены Бернштейна для двух функций $f(x)=x$ и $g(x)=x^{2}$ на $[0,1]$.

Докажите, что $(1+x)^{n} \geq 1+n x$ для всех $x \geq -1$ и каждого положительного целого $n$.

В теореме Вейерштрасса об аппроксимации принципиально важно, что промежуток компактен, — это обстоятельство рассматривается в обобщении Стоуна. Одно из наших любимых некомпактных подмножеств $\mathbb {R}$ — это сам $\mathbb {R}$. Покажите, что равномерная полиномиальная аппроксимация на $\mathbb {R}$ гарантирована не всегда. Вот два подхода:

Выведите теорему Вейерштрасса об аппроксимации из теоремы Стоуна--Вейерштрасса (тем самым показав, что первая действительно является частным случаем второй).

Рассмотрим совокупность $\mathcal{P}_{e}$ всех чётных многочленов.

Пусть $A$ таково, как в условиях теоремы Бишопа.

Найдите (в другой книге) ещё одно доказательство теоремы Вейерштрасса об аппроксимации. Изложите это доказательство своими словами. Например, если вы прочитали последний раздел главы, вы можете поискать доказательство, использующее преобразование Фурье.

Покажите, что $X$ нигде не плотно в $M$ тогда и только тогда, когда его замыкание имеет пустую внутренность, $(\bar{X})^{\circ }=\emptyset$.

Покажите, что любое конечное подмножество $\mathbb {R}$ нигде не плотно в $\mathbb {R}$. Приведите примеры, показывающие, что счётное множество может быть нигде не плотным в $\mathbb {R}$, но что так бывает не всегда.

Пусть $f(x)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ при $x \neq 0$ и $f(0)=0$. Вычислите $\omega_{f}(0)$. Как это согласуется с тем, что вам известно о непрерывности этой функции?

Множества первой категории в некотором смысле «малы», тогда как множества второй категории «велики». Ещё одно обсуждавшееся нами понятие размера множества — «множество меры нуль»: «малые» множества имеют меру нуль, тогда как «большие» — нет. Существует ли связь между этими двумя способами описания размера множества? Ответ: нет. Покажите это, сделав следующее:

Докажите, что функция, определённая на $(0,1)$ формулой

непрерывна в каждой иррациональной точке $(0,1)$ и разрывна в каждой рациональной точке $(0,1)$.

Цель этого упражнения — показать, что «большинство» непрерывных функций нигде не дифференцируемы. Пусть $E_{n}$ обозначает множество всех $f \in C([0,1])$, для которых существует $x_{f} \in [0,1]$, удовлетворяющее

для каждого $x \in [0,1]$.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства. Рассматривая правый сдвиг $\ell^{2}$ в себя, заданный формулой $S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)=\left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$, мы видим, что инъективности недостаточно для гарантии обратимости ограниченного линейного оператора (сравните с тем, что происходит в конечномерном случае). Однако если инъективный ограниченный линейный оператор к тому же сюръективен, то он обязательно обратим. Используя теорему об открытом отображении, докажите, что обратный оператор также ограничен.

Пусть $X$ — банахово пространство относительно двух различных норм $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$.

Покажите, что соотношение $x \sim y$, если $x-y \in \mathbb {Q}$, задаёт отношение эквивалентности на открытом промежутке $(0,1)$.

Покажите, что метод последовательных приближений, применённый к дифференциальному уравнению $f^{\prime }=f$ с $f(0)=1$, даёт обычную формулу для $e^{x}$.

Для каждого из следующих множеств приведите пример непрерывного отображения множества в себя, не имеющего неподвижной точки:

Приведите пример отображения $[0,1]$ в себя, которое не является непрерывным и не имеет неподвижных точек.

Рассмотрим функцию $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, заданную формулой

Покажите, что $\left|f(x)-f(y)\right|<\left|x-y\right|$ для всех $x$ и $y$, и тем не менее $f$ не имеет неподвижной точки. Противоречит ли это принципу сжимающих отображений? Объясните.

Для $f$ и $g$ из $C([a, b])$ определим $f+g$ и $f \cdot g$ формулами

Покажите, что $C([a, b])$ является кольцом с единицей.

Докажите, что собственный идеал кольца с единицей не содержит обратимых элементов.

Если $\mathcal{J}$ — идеал в банаховой алгебре, то $\overline{\mathcal{J}}$ также является идеалом. (В этом утверждении «банахова алгебра» можно заменить на «нормированное кольцо».)

Докажите, что $\mathcal{J}_{x}$ является собственным идеалом $C([a, b])$.

Докажите, что для $x, y \in [a, b]$ равенство $\mathcal{J}_{x}=\mathcal{J}_{y}$ выполняется тогда и только тогда, когда $x=y$. (Доказывая это, вы, вероятно, будете предполагать, что $x \neq y$, и строить конкретную функцию $f$, которая принадлежит одному из идеалов, но не принадлежит другому. Именно этот шаг требует леммы Урысона, когда $[a, b]$ заменяется на компактное хаусдорфово пространство; см. абзац перед теоремой 6.14. На самом деле в этом случае $f$ фактически не строится, а лишь устанавливается её существование.)

Теорема 6.14: Каждый идеал $\mathcal{J}_{x}$ является максимальным идеалом $C([a, b])$, и, более того, любой максимальный идеал $C([a, b])$ имеет такой вид. Наконец, $\mathcal{J}_{x} = \mathcal{J}_{y}$ тогда и только тогда, когда $x = y$.

Зафиксируем положительное вещественное число $a$ и пусть $\chi_{[-a, a]}$ обозначает характеристическую функцию

Покажите, что преобразование Фурье функции $\chi_{[-a, a]}$ задаётся формулой

Как и в примере 1, зафиксируем вещественные числа $\theta$ и $a$ и положим

Покажите, что $\int_{-\infty }^{\infty }|f(t)|^{2} d t=1$ и

Используйте то, что $e^{i \theta }=\cos \theta +i \sin \theta$ для каждого вещественного числа $\theta$.

В этом разделе мы утверждали, что

Цель этого упражнения — проверить среднее равенство и тем самым все три равенства. Заметим, что

Используя интегрирование по частям, покажите, что это равно $i w \hat{f}(w)$, и, следовательно, равенство выполняется.

Проверьте формулу

для $T=T_{b \ell } T_{t \ell }$, как используется в разделе.

Покажите, что формула (6.8) (в тексте раздела) верна всякий раз, когда $\alpha^{2}+\beta^{2} \leq 1$.