6.7

Методы гильбертовых пространств в квантовой механике

[5/0%]
LaTeX
Задача 6.7.1

Зафиксируем положительное вещественное число aa и пусть χ[−a,a]\chi_{[-a, a]} обозначает характеристическую функцию

χ[−a,a](t)={1 если t∈[−a,a]0 иначе  \chi _{[-a, a]}(t)= \begin{cases} 1 & \text{ если } t \in [-a, a] \\ 0 & \text{ иначе }\end{cases}

Покажите, что преобразование Фурье функции χ[−a,a]\chi_{[-a, a]} задаётся формулой

χ^[−a,a](w)=2sin⁡(aw)w \widehat{\chi }_{[-a, a]}(w)=\frac{2 \sin (a w)}{w}
?
Задача 6.7.2

Как и в примере 1, зафиксируем вещественные числа θ\theta и aa и положим

f(t)={12aeiθt если t∈(−a,a)0 иначе.  f(t)= \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2 a}} e^{i \theta t} & \text{ если } t \in (-a, a) \\ 0 & \text{ иначе. }\end{cases}

Покажите, что ∫−∞∞∣f(t)∣2dt=1\int_{-\infty }^{\infty }|f(t)|^{2} d t=1 и

f^(w)=1πasin⁡a(w−θ)w−θ \hat{f}(w)=\frac{1}{\sqrt{\pi a}} \frac{\sin a(w-\theta )}{w-\theta }

Используйте то, что eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i \theta }=\cos \theta +i \sin \theta для каждого вещественного числа θ\theta.

?
Задача 6.7.3

В этом разделе мы утверждали, что

σw2=∫−∞∞w2∣f^(w)∣2dw=∫−∞∞∣Df^(w)∣2dw=∥Df∥2 \sigma _{w}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty } w^{2}|\hat{f}(w)|^{2} d w=\int _{-\infty }^{\infty }|\widehat{D f}(w)|^{2} d w=\left\| D f\right\| ^{2}

Цель этого упражнения — проверить среднее равенство и тем самым все три равенства. Заметим, что

Df^(w)=12π∫−∞∞f′(t)e−iwtdt. \widehat{D f}(w)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int _{-\infty }^{\infty } f^{\prime }(t) e^{-i w t} d t.

Используя интегрирование по частям, покажите, что это равно iwf^(w)i w \hat{f}(w), и, следовательно, равенство выполняется.

?
Задача 6.7.4

Проверьте формулу

Tf(t)=∫−aasin⁡b(t−s)π(t−s)f(s)ds T f(t)=\int _{-a}^{a} \frac{\sin b(t-s)}{\pi (t-s)} f(s) d s

для T=TbℓTtℓT=T_{b \ell } T_{t \ell }, как используется в разделе.

?
Задача 6.7.5

Покажите, что формула (6.8) (в тексте раздела) верна всякий раз, когда α2+β2≤1\alpha^{2}+\beta^{2} \leq 1.

?