Три классические теоремы функционального анализа

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства. Рассматривая правый сдвиг $\ell^{2}$ в себя, заданный формулой $S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)=\left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$, мы видим, что инъективности недостаточно для гарантии обратимости ограниченного линейного оператора (сравните с тем, что происходит в конечномерном случае). Однако если инъективный ограниченный линейный оператор к тому же сюръективен, то он обязательно обратим. Используя теорему об открытом отображении, докажите, что обратный оператор также ограничен.

Пусть $X$ — банахово пространство относительно двух различных норм $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$.