Введение в абстрактную теорию линейных операторов

Пусть $H$ — гильбертово пространство и $x_{0}$ — фиксированный элемент $H$. Докажите, что отображение, переводящее $x$ в $\left\langle x, x_{0} \right\rangle$, является линейным оператором из $H$ в $\mathbb {C}$.

Рассмотрим оператор, определённый формулой

Это оператор Фредгольма, часто называемый оператором Чезаро.

В этом разделе вы, возможно, впервые встретили бесконечные матрицы. В общем случае умножение матриц некоммутативно. Это верно как для конечных, так и для бесконечных матриц. Но для бесконечных матриц умножение ведёт себя ещё хуже. Для конечных матриц существуют определённые ситуации, в которых умножение фактически коммутативно. Например, если $A B=I$ для двух квадратных матриц $A$ и $B$, то $A$ и $B$ коммутируют. Это показывает, что конечная матрица, имеющая «левый обратный» элемент, также имеет и «правый обратный» (и они совпадают). Для бесконечномерных матриц это не обязано выполняться. Приведите примеры бесконечных матриц $A$ и $B$, таких что $A B=I$, но $B A \neq I$. Подробнее об этом — в упражнении 5.3.3.

Докажите, что $\mathcal{B}(X, Y)$ является нормированным линейным пространством. То есть докажите теорему 5.3.

Теорема 5.3: Пусть $X$ и $Y$ — нормированные линейные пространства. Совокупность $\mathcal{B}(X, Y)$ всех ограниченных линейных операторов $T: X \to Y$ с операторной нормой образует нормированное линейное пространство.

Покажите, что тождественный оператор из $\left(\mathcal{C}([0,1]),\left\| \cdot \right\|_{\infty }\right)$ в $\left(\mathcal{C}([0,1]),\left\| \cdot \right\|_{1}\right)$ является ограниченным линейным оператором, но тождественное отображение из $\left(\mathcal{C}([0,1]),\left\| \cdot \right\|_{1}\right)$ в $\left(\mathcal{C}([0,1]),\left\| \cdot \right\|_{\infty }\right)$ неограничено. Такое явление не может произойти в банаховом пространстве; см. упражнение 6.3.2.

Зафиксируем непрерывную функцию $\phi :[0,1] \rightarrow [0,1]$ и определим оператор композиции $C_{\phi }: C([0,1]) \rightarrow C([0,1])$ формулой $C_{\phi } f(x)=f(\phi (x))$. Докажите, что $C_{\phi }$ — ограниченный линейный оператор с $\left\| C_{\phi }\right\| \leq 1$.

Для $\left\{ a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \in \ell^{\infty }$ определим

Покажите, что $T$ — ограниченный линейный оператор из $\ell^{1}$ в $\mathbb {C}$, и вычислите $\left\| T\right\|$.

Рассмотрим матрицу $n \times n$ $A=\left(a_{i j}\right)$, удовлетворяющую $a_{i j}=\overline{a_{j i}}$ для всех пар индексов $i$ и $j$. Такая матрица называется эрмитовой. Будем рассматривать $A$ как линейный оператор $\mathbb {C}^{n} \rightarrow \mathbb {C}^{n}$. Предположим, что $\mathbb {C}^{n}$ наделено обычной нормой. Докажите, что $\left\| A\right\| =\max_{k}\left\| \lambda_{k}\right\|$, где $\lambda_{k}$ — собственные значения $A$.

Рассмотрим

как линейный оператор из $\mathbb {C}^{2}$ в себя. Цель этого упражнения — показать, что операторная норма $A$ зависит от выбора нормы на $\mathbb {C}^{2}$.

Пусть $C^{1}([0,1])$ обозначает совокупность всех непрерывных функций с непрерывной производной (включая односторонние производные на концах промежутка).

Предположим, что $X$ — нормированное линейное пространство и $S, T \in \mathcal{B}(X)$.

Предположим, что $X$ и $Y$ — нормированные линейные пространства. Пусть $K$ — компактный оператор из $\mathcal{B}(X, Y)$. Используя теорему 2.4, докажите, что $K(B)$ имеет компактное замыкание для каждого замкнутого шара $B$ в $X$.

Теорема 2.4: Подмножество метрического пространства компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно.

Ситуация, обнаруженная в упражнении 5.1.3, отчасти поправима. Пусть $X$ — банахово пространство и $T \in \mathcal{B}(X)$. Предположим, что существуют $U, V \in \mathcal{B}(X)$, удовлетворяющие

Докажите, что $U=V$. Другими словами, если $T \in \mathcal{B}(X)$ обратим и слева, и справа, то его левый и правый обратные должны совпадать.

В нормированной алгебре с единицей $e$ докажите, что $\left\| e\right\| \geq 1$.

В нормированной алгебре докажите, что $\left\| a^{k}\right\| \leq \left\| a\right\|^{k}$ для каждого элемента $a$ алгебры и каждого положительного целого $k$.

Докажите, что $C([0,1])$ с супремум-нормой является банаховой алгеброй с единицей.

Предположим, что $X$ — банахово пространство. В теореме 5.6 мы видели, что любой оператор $S \in \mathcal{B}(X)$, достаточно близкий к обратимому оператору $T$, также обратим. Зная, что $\left\| S-T\right\| <\left\| T^{-1}\right\|^{-1}$, докажите, что $S^{-1}$ удовлетворяет

Предположим, что $X$ — банахово пространство. Предположим, что $S, T \in \mathcal{B}(X)$ и $\lambda \in \mathbb {C} \backslash \sigma (S T), \lambda \neq 0$.

Рассмотрим оператор на $L^{2}((0,1))$, определённый формулой

Докажите, что $I-T$ является обратимым оператором.

Пусть $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ обозначает совокупность всех (двусторонних) последовательностей $\left\{ a_{i}\right\}_{i=-\infty }^{\infty }$ комплексных чисел, таких что $\sum_{i=-\infty }^{\infty }\left|a_{i}\right|<\infty$. Это пространство очень похоже на $\ell^{1}=\ell^{1}(\mathbb {N})$. С нормой $a=\left\{ a_{i}\right\}_{i=-\infty }^{\infty }$, заданной формулой

$\ell^{1}(\mathbb {Z})$ становится банаховым пространством. Цель этого упражнения — увидеть, что можно определить умножение, превращающее $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ в банахову алгебру. Для $a=\left\{ a_{i}\right\}_{i=-\infty }^{\infty }$ и $b=\left\{ b_{i}\right\}_{i=-\infty }^{\infty }$ из $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ определим произведение $a * b$ формулой

Это умножение называется свёрткой. Покажите, что $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ является банаховой алгеброй.

Докажите, что всякий компактный оператор является ограниченным оператором.

Рассмотрим оператор Вольтерры, определённый на $L^{2}([0,1])$ формулой

где $\left|k(s, t)\right| \leq C$ для некоторой константы $C$ и всех $s$ и $t$ из $[0,1]$.

В этом упражнении вам предлагается восполнить детали примера 4.

Пусть $W$ — взвешенный сдвиг из примера 6.

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство. (Пункты (a) и (b) связаны лишь тем, что оба посвящены компактным операторам.)

Предположим, что $X$ — банахово пространство. Докажите, что совокупность всех компактных операторов образует замкнутый двусторонний идеал в банаховой алгебре $\mathcal{B}(X)$. Замечание: вам может быть известно, что такое «идеал», из курса абстрактной алгебры; если нет, определение приводится в следующей главе.

Изучите теорию функций комплексного переменного в объёме, достаточном для доказательства результатов этого раздела.

Найдите хороший источник (например, [21] или [124]) и разберите доказательство теоремы 5.11, описывающей спектр компактного оператора.

Теорема 5.11: Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство и $T \in \mathcal{B}(X)$ — компактный оператор. Тогда спектр $T$ либо конечен, либо является последовательностью, сходящейся к $0$. Точка $0$ принадлежит спектру, и каждое ненулевое значение спектра является собственным значением. Более того, при $\lambda \neq 0$ собственное подпространство $\ker (\lambda I - T)$ конечномерно.

Проверьте, что эрмитовы матрицы (в смысле определения из упражнения 5.2.5) — это в точности эрмитовы операторы на конечномерном гильбертовом пространстве $\mathbb {C}^{n}$.

Опишите интегральные операторы Фредгольма первого рода, являющиеся эрмитовыми.

Пусть $K$ — подпространство гильбертова пространства $H$.

Завершите доказательство теоремы 5.15, проверив утверждение о единственности.

Теорема 5.15: Пусть $K$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$ и $x \in H$. Тогда существует $y \in K$ такой, что $\left\| x - y\right\| = \inf \left\{ \left\| x - z\right\| \mid z \in K\right\}$. Более того, элемент $y$ является единственным элементом $K$ с этим свойством.

Докажите теорему 5.17.

Теорема 5.17: Пусть $H$ — гильбертово пространство. Если $T \in \mathcal{B}(H)$ эрмитов, то $\ker (T)$ и $\operatorname {range}(T)$ являются подпространствами $H$ и удовлетворяют $\ker (T)^{\perp } = \operatorname {range}(T)$ и $\operatorname {range}(T)^{\perp } = \ker (T)$ (здесь $\ker (T)$ и $\operatorname {range}(T)$ обозначают, соответственно, ядро и образ отображения $T$).

Из теоремы 5.18 следует, что любое собственное значение эрмитова оператора вещественно. Дайте более прямое доказательство этого факта.

Теорема 5.18: Пусть $H$ — гильбертово пространство. Если $T \in \mathcal{B}(H)$ эрмитов, то $\sigma (T) \subseteq \mathbb {R}$.

Пусть $T$ — оператор Вольтерры на $L^{2}([0,1])$, определённый формулой

Для $0 \leq \alpha \leq 1$ положим

Проверьте каждое из утверждений, сделанных в абзаце, следующем за теоремой 5.23. То есть докажите, что $P$ ограничен, линеен и удовлетворяет $P^{2}=P$.

Теорема 5.23 (Спектральная теорема для компактных эрмитовых операторов): Пусть $T$ — ненулевой, компактный и эрмитов оператор на гильбертовом пространстве $H$. Существует последовательность ненулевых вещественных собственных значений $\left\{ \lambda_{k}\right\}$ и соответствующая последовательность ортонормированных собственных векторов $\left\{ x_{k}\right\}$ такие, что: если последовательность собственных значений содержит бесконечно много различных значений, она стремится к нулю; каждое ненулевое собственное значение $T$ входит в последовательность $\left\{ \lambda_{k}\right\}$, и каждое собственное подпространство $\ker (\lambda_{k} I - T)$ конечномерно, причём его размерность равна числу вхождений $\lambda_{k}$ в последовательность; и для каждого $x \in H$ выполняется $Tx = \sum_{k} \lambda_{k} \left\langle x, x_{k} \right\rangle x_{k}$. Здесь $P$ обозначает ортогональную проекцию на одно из собственных подпространств, возникающих в этом разложении.

В каждом из следующих примеров объясните, почему $T$ компактен и эрмитов. Затем приведите спектральное разложение, гарантированное теоремой 5.23. То есть найдите собственные значения, соответствующие им собственные подпространства и проекции.

Теорема 5.23 (Спектральная теорема для компактных эрмитовых операторов): Пусть $T$ — ненулевой, компактный и эрмитов оператор на гильбертовом пространстве $H$. Существует последовательность ненулевых вещественных собственных значений $\left\{ \lambda_{k}\right\}$ и соответствующая последовательность ортонормированных собственных векторов $\left\{ x_{k}\right\}$ такие, что: если последовательность собственных значений содержит бесконечно много различных значений, она стремится к нулю; каждое ненулевое собственное значение $T$ входит в последовательность $\left\{ \lambda_{k}\right\}$, и каждое собственное подпространство $\ker (\lambda_{k} I - T)$ конечномерно, причём его размерность равна числу вхождений $\lambda_{k}$ в последовательность; и для каждого $x \in H$ выполняется $Tx = \sum_{k} \lambda_{k} \left\langle x, x_{k} \right\rangle x_{k}$.