Введение в проблему инвариантного подпространства

Проверьте, что эрмитовы матрицы (в смысле определения из упражнения 5.2.5) — это в точности эрмитовы операторы на конечномерном гильбертовом пространстве $\mathbb {C}^{n}$.

Опишите интегральные операторы Фредгольма первого рода, являющиеся эрмитовыми.

Пусть $K$ — подпространство гильбертова пространства $H$.

Завершите доказательство теоремы 5.15, проверив утверждение о единственности.

Теорема 5.15: Пусть $K$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$ и $x \in H$. Тогда существует $y \in K$ такой, что $\left\| x - y\right\| = \inf \left\{ \left\| x - z\right\| \mid z \in K\right\}$. Более того, элемент $y$ является единственным элементом $K$ с этим свойством.

Докажите теорему 5.17.

Теорема 5.17: Пусть $H$ — гильбертово пространство. Если $T \in \mathcal{B}(H)$ эрмитов, то $\ker (T)$ и $\operatorname {range}(T)$ являются подпространствами $H$ и удовлетворяют $\ker (T)^{\perp } = \operatorname {range}(T)$ и $\operatorname {range}(T)^{\perp } = \ker (T)$ (здесь $\ker (T)$ и $\operatorname {range}(T)$ обозначают, соответственно, ядро и образ отображения $T$).

Из теоремы 5.18 следует, что любое собственное значение эрмитова оператора вещественно. Дайте более прямое доказательство этого факта.

Теорема 5.18: Пусть $H$ — гильбертово пространство. Если $T \in \mathcal{B}(H)$ эрмитов, то $\sigma (T) \subseteq \mathbb {R}$.

Пусть $T$ — оператор Вольтерры на $L^{2}([0,1])$, определённый формулой

Для $0 \leq \alpha \leq 1$ положим