Банаховы алгебры и спектры; компактные операторы

Предположим, что $X$ — нормированное линейное пространство и $S, T \in \mathcal{B}(X)$.

Предположим, что $X$ и $Y$ — нормированные линейные пространства. Пусть $K$ — компактный оператор из $\mathcal{B}(X, Y)$. Используя теорему 2.4, докажите, что $K(B)$ имеет компактное замыкание для каждого замкнутого шара $B$ в $X$.

Теорема 2.4: Подмножество метрического пространства компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно.

Ситуация, обнаруженная в упражнении 5.1.3, отчасти поправима. Пусть $X$ — банахово пространство и $T \in \mathcal{B}(X)$. Предположим, что существуют $U, V \in \mathcal{B}(X)$, удовлетворяющие

Докажите, что $U=V$. Другими словами, если $T \in \mathcal{B}(X)$ обратим и слева, и справа, то его левый и правый обратные должны совпадать.

В нормированной алгебре с единицей $e$ докажите, что $\left\| e\right\| \geq 1$.

В нормированной алгебре докажите, что $\left\| a^{k}\right\| \leq \left\| a\right\|^{k}$ для каждого элемента $a$ алгебры и каждого положительного целого $k$.

Докажите, что $C([0,1])$ с супремум-нормой является банаховой алгеброй с единицей.

Предположим, что $X$ — банахово пространство. В теореме 5.6 мы видели, что любой оператор $S \in \mathcal{B}(X)$, достаточно близкий к обратимому оператору $T$, также обратим. Зная, что $\left\| S-T\right\| <\left\| T^{-1}\right\|^{-1}$, докажите, что $S^{-1}$ удовлетворяет

Предположим, что $X$ — банахово пространство. Предположим, что $S, T \in \mathcal{B}(X)$ и $\lambda \in \mathbb {C} \backslash \sigma (S T), \lambda \neq 0$.

Рассмотрим оператор на $L^{2}((0,1))$, определённый формулой

Докажите, что $I-T$ является обратимым оператором.

Пусть $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ обозначает совокупность всех (двусторонних) последовательностей $\left\{ a_{i}\right\}_{i=-\infty }^{\infty }$ комплексных чисел, таких что $\sum_{i=-\infty }^{\infty }\left|a_{i}\right|<\infty$. Это пространство очень похоже на $\ell^{1}=\ell^{1}(\mathbb {N})$. С нормой $a=\left\{ a_{i}\right\}_{i=-\infty }^{\infty }$, заданной формулой

$\ell^{1}(\mathbb {Z})$ становится банаховым пространством. Цель этого упражнения — увидеть, что можно определить умножение, превращающее $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ в банахову алгебру. Для $a=\left\{ a_{i}\right\}_{i=-\infty }^{\infty }$ и $b=\left\{ b_{i}\right\}_{i=-\infty }^{\infty }$ из $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ определим произведение $a * b$ формулой

Это умножение называется свёрткой. Покажите, что $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ является банаховой алгеброй.

Докажите, что всякий компактный оператор является ограниченным оператором.

Рассмотрим оператор Вольтерры, определённый на $L^{2}([0,1])$ формулой

где $\left|k(s, t)\right| \leq C$ для некоторой константы $C$ и всех $s$ и $t$ из $[0,1]$.

В этом упражнении вам предлагается восполнить детали примера 4.

Пусть $W$ — взвешенный сдвиг из примера 6.

Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство. (Пункты (a) и (b) связаны лишь тем, что оба посвящены компактным операторам.)

Предположим, что $X$ — банахово пространство. Докажите, что совокупность всех компактных операторов образует замкнутый двусторонний идеал в банаховой алгебре $\mathcal{B}(X)$. Замечание: вам может быть известно, что такое «идеал», из курса абстрактной алгебры; если нет, определение приводится в следующей главе.

Изучите теорию функций комплексного переменного в объёме, достаточном для доказательства результатов этого раздела.

Найдите хороший источник (например, [21] или [124]) и разберите доказательство теоремы 5.11, описывающей спектр компактного оператора.

Теорема 5.11: Пусть $X$ — бесконечномерное банахово пространство и $T \in \mathcal{B}(X)$ — компактный оператор. Тогда спектр $T$ либо конечен, либо является последовательностью, сходящейся к $0$. Точка $0$ принадлежит спектру, и каждое ненулевое значение спектра является собственным значением. Более того, при $\lambda \neq 0$ собственное подпространство $\ker (\lambda I - T)$ конечномерно.