Мера и интегрирование

Изложите подробно доказательство того, что $\mathcal{B}$ несчётно, используя диагональный метод.

Докажите, что $\mathcal{B}_{T}$ счётно, и используйте этот результат, чтобы дать альтернативное доказательство (как намечено в тексте) того, что $\mathcal{B}$ несчётно.

В этом упражнении вам нужно определить множество $B_{E}$ для заданных событий $E$.

Докажите, что $(0,1] \backslash S$ несчётно, где $S$ — множество, о котором говорится в усиленном законе больших чисел. Указание: рассмотрите отображение $(0,1]$ в себя, переводящее двоичное представление $\omega =. a_{1} a_{2} \ldots$ в.$a_{1} 11 a_{2} 11 a_{3} 11 a_{4} \ldots$. Докажите, что это отображение инъективно и его образ содержится в $(0,1] \backslash S$.

Пусть $\mathcal{R}$ — $\sigma$-кольцо. Докажите, что $\bigcap_{n=1}^{\infty } A_{n} \in \mathcal{R}$, если $A_{n} \in \mathcal{R}, n= 1,2, \ldots$. Указание: проверьте и используйте, что $\bigcap_{n=1}^{\infty } A_{n}=A_{1} \backslash \bigcup_{n=1}^{\infty }\left(A_{1} \backslash A_{n}\right)$.

Предположим, что $\mu$ — неотрицательная аддитивная функция, заданная на кольце $\mathcal{R}$.

Предположим, что $\mu$ — счётно-аддитивная функция, заданная на кольце $\mathcal{R}$, что $A_{n} \in \mathcal{R}, A \in \mathcal{R}$, что

и что

Докажите, что

(Указание: положите $B_{1}=A_{1}$ и $B_{n}=A_{n} \backslash A_{n-1}$ для $n=2,3, \ldots$)

Докажите, что $\mathcal{E}$ является кольцом, но не является $\sigma$-кольцом.

Докажите лемму 3.1. (Указание: сначала рассмотрите случай, когда $A$ — промежуток, а затем рассмотрите конечные объединения непересекающихся промежутков.)

Лемма 3.1: Если $A \in \mathcal{E}$ и $\varepsilon > 0$, то существуют замкнутое множество $F \in \mathcal{E}$ и открытое множество $G \in \mathcal{E}$ такие, что $F \subseteq A \subseteq G$, причём $m(F) \geq m(A) - \varepsilon$ и $m(G) \leq m(A) + \varepsilon$.

Докажите, что $m^{*}$ счётно субаддитивна.

Это упражнение посвящено симметрической разности и функциям расстояния $S$ и $D$, заданным на $2^{X}$.

Если вы изучали абстрактную алгебру, вам может быть известно другое значение термина «кольцо» (это определение, кстати, приводится в начале раздела 6.6). В этом упражнении термин «кольцо» относится к алгебраическому понятию. Докажите, что $2^{\left(R^{n}\right)}$ становится коммутативным кольцом, если в качестве «умножения» двух множеств взять их пересечение, а в качестве «сложения» — их симметрическую разность.

Докажите, что канторово множество принадлежит $\mathcal{M}$ и имеет меру Лебега нуль.

Докажите, что всякая непрерывная функция измерима.

Приведите пример функции $f$, такой что $f$ не измерима, но $\left|f\right|$ измерима.

Какие характеристические функции интегрируемы (по Лебегу) на $\mathbb {R}$? Интегрируема ли характеристическая функция рациональных чисел на единичном промежутке? Если да, чему равно значение этого интеграла?

Докажите теорему 3.8. (Указание: один из подходов — заметить, что

)

Теорема 3.8: Если $f$ измерима, то $\left|f\right|$ измерима.

Восполните детали доказательства теоремы 3.9.

Теорема 3.9: Если $f$ и $g$ измеримы, то $f+g$, $fg$, $f^{+}$ и $f^{-}$ также измеримы. Если $\left\{ f_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ — последовательность измеримых функций, то четыре функции

также измеримы.

Завершите доказательство теоремы 3.10.

Теорема 3.10: Если $f$ — вещественнозначная функция, определённая на $\mathbb {R}^{n}$, то существует последовательность $\left\{ s_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ простых функций такая, что $\lim_{k \to \infty } s_{k}(x) = f(x)$ для всех $x \in \mathbb {R}^{n}$. Более того, если $f$ измерима, то $s_{k}$ можно выбрать измеримыми простыми функциями. Наконец, если $f \geq 0$, то $\left\{ s_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ можно выбрать так, чтобы $s_{1} \leq s_{2} \leq \cdots$.

Докажите, что $f \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{n}\right)$ тогда и только тогда, когда $\int_{\mathbb {R}^{n}}\left|f\right| d m<\infty$.

Приведите доказательства недостающих частей теоремы 3.11.

Теорема 3.11: Интеграл Лебега обладает несколькими свойствами. (a) Интеграл линеен: $\int_{E} cf\, dm = c\int_{E} f\, dm$ и $\int_{E} (f+g)\, dm = \int_{E} f\, dm + \int_{E} g\, dm$ для любых $f, g \in \mathcal{L}(\mathbb {R}^{n})$, $c \in \mathbb {R}$ и $E \in \mathcal{M}$. (b) Интеграл монотонен: $\int_{E} f\, dm \leq \int_{E} g\, dm$, если $f, g \in \mathcal{L}(\mathbb {R}^{n})$ и $f(x) \leq g(x)$ для всех $x \in E$. (c) Для любой $f \in \mathcal{L}(\mathbb {R}^{n})$ имеем $\left|f\right| \in \mathcal{L}(\mathbb {R}^{n})$ и $\left|\int_{E} f\, dm\right| \leq \int_{E} \left|f\right|\, dm$. (d) Для любой $f \in \mathcal{L}(\mathbb {R}^{n})$ имеем $\int_{E} f\, dm = 0$ для любого измеримого множества $E$ меры нуль; отсюда следует, что $\int_{A} f\, dm = \int_{B} f\, dm$, если $A$ и $B$ измеримы, $B \subseteq A$ и $m(A \setminus B) = 0$.

Вы уже встречали в тексте выражение «почти всюду». В частности, мы говорим, что две измеримые функции «равны почти всюду», если множество точек, где они различаются, имеет меру нуль.

Приведите пример, показывающий, что в лемме Фату может выполняться строгое неравенство.

Приведите пример, показывающий, что без существования функции $g$ в теореме о мажорируемой сходимости заключение теоремы может не выполняться.

Докажите, что тройки $(X, \mathcal{R}, \mu )$, приведённые в примерах 4 и 6 в начале раздела 6, действительно являются пространствами с мерой. Для меры из примера 3 покажите, что

всякий раз, когда из $n \neq m$ следует $\left[a_{n}, b_{n}\right] \cap \left[a_{m}, b_{m}\right]=\emptyset$.

Для $0<p<1$ можно определить пространство $L^{p}$ и $\left\| \cdot \right\|_{p}$ так же, как мы это делали для $1 \leq p<\infty$. Докажите, приведя подходящий пример, что $\left\| \cdot \right\|_{p}$ не удовлетворяет неравенству треугольника и, следовательно, не является нормой.

Докажите, как намечено в тексте, что

для $x, y \geq 0$ и сопряжённых по Гёльдеру показателей $p$ и $q$ с $1<p<\infty$.

Докажите, что

для $f, g \in L^{p}(\mu )$ и $1<p<\infty$. (Это равенство используется в доказательстве теоремы 3.19.)

Докажите, что $L^{\infty }$ с нормой $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ является нормированным линейным пространством.

В этом упражнении вы исследуете соотношения между различными пространствами $L^{p}$.

Покажите, что для каждой $f \in L^{\infty }$ выполняется $\left|f(x)\right| \leq \left\| f\right\|_{\infty }$ почти всюду.

Пусть $I$ — промежуток в $\mathbb {R}$.

Цель этого упражнения — показать, что норма на $L^{p}$ при $p \neq 2$ не порождается скалярным произведением. Начнём с рассмотрения $L^{p}([-1,1])$ с мерой Лебега. Положим $f(x)=1+x$ и $g(x)=1-x$.