3.6

Общие меры и пространства Лебега LpL^p: значение идей Лебега для функционального анализа

[9/0%]
LaTeX
Задача 3.6.1

Докажите, что тройки (X,R,μ)(X, \mathcal{R}, \mu ), приведённые в примерах 4 и 6 в начале раздела 6, действительно являются пространствами с мерой. Для меры из примера 3 покажите, что

μ(⋃n=1∞[an,bn])=∑n=1∞μ([an,bn]) \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}, b_{n}\right]\right)=\sum _{n=1}^{\infty } \mu \left(\left[a_{n}, b_{n}\right]\right)

всякий раз, когда из n≠mn \neq m следует [an,bn]∩[am,bm]=∅\left[a_{n}, b_{n}\right] \cap \left[a_{m}, b_{m}\right]=\emptyset.

?
Задача 3.6.2

Для 0<p<10<p<1 можно определить пространство LpL^{p} и ∥⋅∥p\left\| \cdot \right\|_{p} так же, как мы это делали для 1≤p<∞1 \leq p<\infty. Докажите, приведя подходящий пример, что ∥⋅∥p\left\| \cdot \right\|_{p} не удовлетворяет неравенству треугольника и, следовательно, не является нормой.

?
Задача 3.6.3

Докажите, как намечено в тексте, что

xy≤xpp+yqq x y \leq \frac{x^{p}}{p}+\frac{y^{q}}{q}

для x,y≥0x, y \geq 0 и сопряжённых по Гёльдеру показателей pp и qq с 1<p<∞1<p<\infty.

?
Задача 3.6.4

Докажите, что

∥∣f+g∣p−1∥q=(∥f+g∥(p−1)q)p−1=(∥f+g∥p)p−1 \left\| |f+g|^{p-1}\right\| _{q}=\left(\left\| f+g\right\| _{(p-1) q}\right)^{p-1}=\left(\left\| f+g\right\| _{p}\right)^{p-1}

для f,g∈Lp(μ)f, g \in L^{p}(\mu ) и 1<p<∞1<p<\infty. (Это равенство используется в доказательстве теоремы 3.19.)

?
Задача 3.6.5

Докажите, что L∞L^{\infty } с нормой ∥⋅∥∞\left\| \cdot \right\|_{\infty } является нормированным линейным пространством.

?
Задача 3.6.6

В этом упражнении вы исследуете соотношения между различными пространствами LpL^{p}.

?
(a)

Пусть 1≤p<q≤∞1 \leq p<q \leq \infty. Рассмотрим меру Лебега на Rn\mathbb {R}^{n}. Постройте примеры, показывающие, что не выполняется ни Lp⊆LqL^{p} \subseteq L^{q}, ни Lq⊆LpL^{q} \subseteq L^{p}.

(b)

Далее, предположим, что 1≤p<r<q<∞1 \leq p<r<q<\infty. Покажите, что Lp∩Lq⊆LrL^{p} \cap L^{q} \subseteq L^{r}. (Это верно для любого пространства с мерой (X,R,μ)(X, \mathcal{R}, \mu ).)

(c)

Теперь предположим, что XX — пространство с конечной мерой, то есть XX измеримо и μ(X)<∞\mu (X)<\infty. Докажите, что Lq⊆LpL^{q} \subseteq L^{p} при 1≤p<q<∞1 \leq p<q<\infty, и приведите пример, показывающий, что это включение собственное. Теперь докажите, что

∥f∥1≤∥f∥p≤∥f∥q≤∥f∥∞,1≤p<q<∞ \left\| f\right\| _{1} \leq \left\| f\right\| _{p} \leq \left\| f\right\| _{q} \leq \left\| f\right\| _{\infty }, \quad 1 \leq p<q<\infty

всякий раз, когда μ\mu — вероятностная мера.

(d)

Докажите, что ℓp⊆ℓq\ell^{p} \subseteq \ell^{q} при 1≤p<q≤∞1 \leq p<q \leq \infty, и приведите пример, показывающий, что это включение собственное. Теперь докажите, что

∥f∥∞≤∥f∥q≤∥f∥p≤∥f∥1,1≤p<q<∞ \left\| f\right\| _{\infty } \leq \left\| f\right\| _{q} \leq \left\| f\right\| _{p} \leq \left\| f\right\| _{1}, \quad 1 \leq p<q<\infty
Задача 3.6.7

Покажите, что для каждой f∈L∞f \in L^{\infty } выполняется ∣f(x)∣≤∥f∥∞\left|f(x)\right| \leq \left\| f\right\|_{\infty } почти всюду.

?
Задача 3.6.8

Пусть II — промежуток в R\mathbb {R}.

?
(a)

Предположим, что 1≤p<∞1 \leq p<\infty. Докажите, что C(I)C(I) плотно в Lp(m)L^{p}(m), если II замкнут и ограничен.

(b)

Теперь откажемся от предположения, что II замкнут и ограничен. Разумеется, нельзя ожидать, что C(I)C(I) плотно в LP(m)L^{P}(m), поскольку оно даже не содержится в нём. Определим «непрерывные функции с компактным носителем» на X⊆RX \subseteq \mathbb {R} как

Cc(X)={f∣f∈C(X) и {x∈X∣f(x)≠0}‾ компактно} C_{c}(X)=\left\{ f \mid f \in C(X) \text{ и } \overline{\left\{ x \in X \mid f(x) \neq 0\right\} } \text{ компактно}\right\}

Множество {x∈X∣f(x)≠0}‾\overline{\left\{ x \in X \mid f(x) \neq 0\right\} } часто называют «носителем» функции ff. Снова предположим, что 1≤p<∞1 \leq p<\infty. Докажите, что Cc(I)C_{c}(I) плотно в Lp(m)L^{p}(m). (Заметьте, что этот результат включает в себя результат пункта (a).)

(c)

Докажите, что Cc(I)C_{c}(I) не плотно в L∞(m)L^{\infty }(m).

(Результаты упражнения 8 дают альтернативное доказательство теоремы 4.7 и способ определить LpL^{p}, не зависящий от теории меры. См. абзац, следующий за доказательством теоремы 4.7.)

Задача 3.6.9

Цель этого упражнения — показать, что норма на LpL^{p} при p≠2p \neq 2 не порождается скалярным произведением. Начнём с рассмотрения Lp([−1,1])L^{p}([-1,1]) с мерой Лебега. Положим f(x)=1+xf(x)=1+x и g(x)=1−xg(x)=1-x.

?
(a)

Покажите, что

∥f∥pp=2p+1p+1=∥g∥pp∥f+g∥pp=2p+1∥f−g∥pp=2p+1p+1 \begin{gathered} \left\| f\right\| _{p}^{p}=\frac{2^{p+1}}{p+1}=\left\| g\right\| _{p}^{p} \\ \left\| f+g\right\| _{p}^{p}=2^{p+1} \\ \left\| f-g\right\| _{p}^{p}=\frac{2^{p+1}}{p+1} \end{gathered}
(b)

Используя пункт (a), покажите, что равенство параллелограмма утверждает, что

(p+1)2p=3 (p+1)^{\frac{2}{p}}=3

Убедитесь, что это равенство выполняется при p=2p=2.

(c)

Докажите, что равенство параллелограмма не выполняется при значениях p≠2p \neq 2. Указание: покажите, что функция (p+1)2p−3(p+1)^{\frac{2}{p}}-3 строго убывает по p≥1p \geq 1 и, следовательно, принимает значение нуль не более чем при одном значении pp.

(d)

Измените функции, заданные в пункте (a), чтобы доказать результат для Lp(I)L^{p}(I), где II — произвольный промежуток, ограниченный или неограниченный, в R\mathbb {R}.