Банк задач по математике

Задача 3.2.1

Пусть $\mathcal{R}$ — $\sigma$ -кольцо. Докажите, что $\bigcap_{n=1}^{\infty } A_{n} \in \mathcal{R}$ , если $A_{n} \in \mathcal{R}, n= 1,2, \ldots$ . Указание: проверьте и используйте, что $\bigcap_{n=1}^{\infty } A_{n}=A_{1} \backslash \bigcup_{n=1}^{\infty }\left(A_{1} \backslash A_{n}\right)$ .

?

Задача 3.2.2

(a)(b)

Предположим, что $\mu$ — неотрицательная аддитивная функция, заданная на кольце $\mathcal{R}$ .

?

(a)

Докажите, что $\mu$ монотонна; то есть покажите, что $\mu (A) \leq \mu (B)$ , если $A, B \in \mathcal{R}$ и $A \subseteq B$ .

(b)

Докажите, что $\mu$ конечно субаддитивна; то есть покажите, что

m\left(\bigcup _{k=1}^{n} A_{k}\right) \leq \sum _{k=1}^{n} m\left(A_{k}\right)

для любых $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{R}$ .

Задача 3.2.3

Предположим, что $\mu$ — счётно-аддитивная функция, заданная на кольце $\mathcal{R}$ , что $A_{n} \in \mathcal{R}, A \in \mathcal{R}$ , что

A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \cdots

и что

A=\bigcup _{n=1}^{\infty } A_{n}

Докажите, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \mu \left(A_{n}\right)=\mu (A).

(Указание: положите $B_{1}=A_{1}$ и $B_{n}=A_{n} \backslash A_{n-1}$ для $n=2,3, \ldots$ )

?

Задача 3.2.4

Докажите, что $\mathcal{E}$ является кольцом, но не является $\sigma$ -кольцом.

?

Задача 3.2.5

Докажите лемму 3.1. (Указание: сначала рассмотрите случай, когда $A$ — промежуток, а затем рассмотрите конечные объединения непересекающихся промежутков.)

Лемма 3.1: Если $A \in \mathcal{E}$ и $\varepsilon > 0$ , то существуют замкнутое множество $F \in \mathcal{E}$ и открытое множество $G \in \mathcal{E}$ такие, что $F \subseteq A \subseteq G$ , причём $m(F) \geq m(A) - \varepsilon$ и $m(G) \leq m(A) + \varepsilon$ .

?

Задача 3.2.6

Докажите, что $m^{*}$ счётно субаддитивна.

?

Задача 3.2.7

Это упражнение посвящено симметрической разности и функциям расстояния $S$ и $D$ , заданным на $2^{X}$ .

?

(a)

Пусть $A=[0,4] \times (1,10]$ и $B=(0,1] \times [0,2]$ в $\mathbb {R}^{2}$ . Нарисуйте множество $S(A, B)$ и вычислите $D(A, B)$ .

(b)

Рассмотрим произвольные подмножества $A$ и $B$ произвольного множества $X$ . Докажите, что $D(A, B)=D(B, A)$ .

(c)

Рассмотрим произвольные подмножества $A$ и $B$ произвольного множества $X$ . Обязательно ли из $D(A, B)=0$ следует, что $A=B$ ? Либо докажите, что это так, либо приведите контрпример, показывающий, что это не так.

(d)

Рассмотрим произвольные подмножества $A, B, C$ произвольного множества $X$ . Докажите, что

S(A, C) \subseteq S(A, B) \cup S(B, C)

и выведите, что

D(A, C) \leq D(A, B)+D(B, C)

(e)

Рассмотрим произвольные подмножества $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ произвольного множества $X$ . Докажите

S\left(A_{1} \cup A_{2}, B_{1} \cup B_{2}\right) \subseteq S\left(A_{1}, B_{1}\right) \cup S\left(A_{2}, B_{2}\right)

и выведите, что

D\left(A_{1} \cup A_{2}, B_{1} \cup B_{2}\right) \leq D\left(A_{1}, B_{1}\right)+D\left(A_{2}, B_{2}\right)

Задача 3.2.8

Если вы изучали абстрактную алгебру, вам может быть известно другое значение термина «кольцо» (это определение, кстати, приводится в начале раздела 6.6). В этом упражнении термин «кольцо» относится к алгебраическому понятию. Докажите, что $2^{\left(R^{n}\right)}$ становится коммутативным кольцом, если в качестве «умножения» двух множеств взять их пересечение, а в качестве «сложения» — их симметрическую разность.

?

Задача 3.2.9

(a)(b)(c)

?

(a)

Докажите, что все открытые подмножества $\mathbb {R}^{n}$ принадлежат $\mathcal{M}$ .

(b)

Докажите, что все замкнутые подмножества $\mathbb {R}^{n}$ принадлежат $\mathcal{M}$ .

(c)

Докажите, что все счётные объединения и пересечения открытых и замкнутых подмножеств $\mathbb {R}^{n}$ принадлежат $\mathcal{M}$ .

Задача 3.2.10

Докажите, что канторово множество принадлежит $\mathcal{M}$ и имеет меру Лебега нуль.

?

Мера Лебега в евклидовом пространстве