Глава 4

Многозначные аналитические функции

[193/55%]
Показать
LaTeX
§
16 · Приращение аргумента функции вдоль кривой[8/88%]
Задача 16.1

Найти приращение аргумента функции z(⋅)∈C1[0,1]z(\cdot ) \in C^{1}[0,1] на отрезке [0,1][0,1], заданной в виде z(t)=x(t)+iy(t)z(t) = x(t)+i y(t), где

x(t)=4cos⁡(π2t)−3,y(t)=3sin⁡(π2t) x(t) = 4 \cos \left(\frac{\pi }{2} t\right)-3, \quad y(t) = 3 \sin \left(\frac{\pi }{2} t\right)
?
Задача 16.2

Найти приращение аргумента функции z(⋅)∈C1[0,1]z(\cdot ) \in C^{1}[0,1] на отрезке [0,1][0,1], заданной в виде z(t)=x(t)+iy(t)z(t) = x(t)+i y(t), где

x(t)=(2+t)sin⁡4πt,y(t)=(1+t)cos⁡4πt+32 x(t) = (2+t) \sin 4 \pi t, \quad y(t) = (1+t) \cos 4 \pi t+\frac{3}{2}
?
Задача 16.3

Вычислить приращение аргумента функции z2+1z^{2}+1 вдоль ориентированной кривой γ\gamma, заданной в виде z(t)=x(t)+iy(t)z(t) = x(t)+i y(t), где

x(t)=5cos⁡t,y(t)=2sin⁡t,t∈[0,π2]. x(t) = 5 \cos t, \quad y(t) = 2 \sin t, \quad t \in \left[0, \frac{\pi }{2}\right].
?
Задача 16.4

Вычислить приращение аргумента функции 1z2+2z\frac{1}{z^{2}+2 z} вдоль ориентированной кривой γ\gamma, заданной в виде z(t)=x(t)+iy(t)z(t) = x(t)+i y(t), где

x(t)=3sin⁡t,y(t)=2cos⁡t,t∈[0,π2] x(t) = 3 \sin t, \quad y(t) = 2 \cos t, \quad t \in \left[0, \frac{\pi }{2}\right]
?
Задача 16.5

Вычислить приращение аргумента функции z2+1z2−4\frac{z^{2}+1}{z^{2}-4} вдоль ориентированной кривой γ\gamma, заданной в виде z(t)=x(t)+iy(t)z(t) = x(t)+i y(t), где

x(t)=cos⁡t,y(t)=2sin⁡t,t∈[π2,32π]. x(t) = \cos t, \quad y(t) = 2 \sin t, \quad t \in \left[\frac{\pi }{2}, \frac{3}{2} \pi \right].
?
Задача 16.6

Вычислить приращение аргумента функции tg⁡zz\frac{\operatorname {tg} z}{z} вдоль ориентированной замкнутой кривой, задаваемой уравнением

∣x∣1/2+∣y∣1/2=21/2, \left|x\right|^{1 / 2}+\left|y\right|^{1 / 2} = 2^{1 / 2},

при однократном ее обходе против часовой стрелки.

?
Задача 16.7

Вычислить приращение аргумента функции ch2zz\frac{\mathrm{ch}^{2} z}{z} вдоль ориентированной замкнутой кривой, задаваемой уравнением ∣x∣+∣y∣=3\left|x\right|+\left|y\right| = 3, при однократном ее обходе по часовой стрелке.

?
Задача 16.8

Доказать равенство

Δγarg⁡z=Δγarg⁡(z−1) \Delta _{\gamma } \arg z = \Delta _{\gamma } \arg (z-1)

для любой простой кусочно-гладкой замкнутой кривой γ\gamma, содержащей в области, ограниченной кривой γ\gamma, отрезок [0,1][0,1].

?
§
17 · Выделение регулярных ветвей[15/0%]
Задача 17.1

Доказать, что существует единственная функция h(z)h(z), непрерывная на всей комплексной плоскости с разрезом по положительной части действительной оси и удовлетворяющая условиям:

h(z)∈Ln⁡z,h(−1)=πi. h(z) \in \operatorname {Ln} z, \quad h(-1) = \pi i.

Доказать, что эта функция регулярна в области ее определения.

?
Задача 17.2

Пусть функция f:G→Cf: G \rightarrow \mathbb {C} регулярна в области GG и f(z)≠0∀z∈Gf(z) \neq 0 \quad \forall z \in G. Пусть функция h:G→Ch: G \rightarrow \mathbb {C} есть непрерывная ветвь многозначной функции Ln⁡f(z)\operatorname {Ln} f(z). Доказать, что hh является регулярной функцией.

?
Задача 17.3

Существуют ли регулярные ветви в области C\[−1,1]\mathbb {C} \backslash [-1,1] у многозначной функции Ln⁡(z2+z)\operatorname {Ln}\left(z^{2}+z\right)?

?
Задача 17.4

Существуют ли регулярные ветви в области C\[−1,1]\mathbb {C} \backslash [-1,1] у многозначной функции {z2−z}\left\{ \sqrt{z^{2}-z}\right\}?

?
Задача 17.5

Существуют ли регулярные ветви в области G={z:∣z∣>2}G = \left\{ z:\left|z\right| > 2\right\} у многозначной функции {z−1}\left\{ \sqrt{z-1}\right\}?

?
Задача 17.6

Существуют ли регулярные ветви в области G={z:∣z∣>2}G = \left\{ z:\left|z\right| > 2\right\} у многозначной функции Ln⁡z2−1z2+1\operatorname {Ln} \frac{z^{2}-1}{z^{2}+1}?

?
Задача 17.7

Существуют ли регулярные ветви в области G=C\[−i,i]G = \mathbb {C} \backslash [-i, i] у многозначной функции {1+z23}\left\{ \sqrt[3]{1+z^{2}}\right\}?

?
Задача 17.8

Существуют ли регулярные ветви в области G=C\[0,+∞)G = \mathbb {C} \backslash [0,+\infty ) у многозначной функции {zz}\left\{ z^{z}\right\}?

?
Задача 17.9

Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в областях GG, указанных в скобках:

?
(1)

{1−z2Ln⁡z},G=C\([−∞,−1]∪[0,+∞))\left\{ \sqrt{1-z^{2}} \operatorname {Ln} z\right\} , G = \mathbb {C} \backslash ([-\infty ,-1] \cup [0,+\infty ));

(2)

{(z2+1)z},G=C\((−i∞,−i)∪[i,+i∞))\left\{ \left(z^{2}+1\right)^{z}\right\} , G = \mathbb {C} \backslash ((-i \infty ,-i) \cup [i,+i \infty ));

(3)

Ln⁡(z2−1)Ln⁡z,G=C\[−1,+∞)\operatorname {Ln}\left(z^{2}-1\right) \operatorname {Ln} z, \quad G = \mathbb {C} \backslash [-1,+\infty );

(4)

{(z2−1)z},G={z:Im(z)>0}\left\{ \left(z^{2}-1\right)^{\sqrt{z}}\right\} , G = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}.

Задача 17.10

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в области GG и удовлетворяет там условию Re(f(z))>0\mathrm{Re}\left(f(z)\right) > 0. Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в области GG:

?
(1)

{f(z)+i3}\left\{ \sqrt[3]{f(z)+i}\right\};

(2)

Ln⁡1+if(z)1−if(z)\operatorname {Ln} \frac{1+i f(z)}{1-i f(z)}.

Задача 17.11

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в области GG и не принимает там значений, лежащих на луче [a,+∞][a,+\infty ], где a∈Ra \in \mathbb {R}. Доказать, что многозначная функция {a−f(z)}\left\{ \sqrt{a-f(z)}\right\} допускает выделение регулярных ветвей в области GG, причем существует единственная ветвь φ(z)\varphi (z), удовлетворяющая условию Re(φ)(z)>0(z∈G)\mathrm{Re}\left(\varphi \right)(z) > 0 \quad (z \in G).

?
Задача 17.12

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в области GG и не принимает значений, лежащих на кривой γ\gamma, идущей из точки z=0z = 0 в точку z=∞z = \infty, оставаясь в левой полуплоскости. Доказать, что многозначная функция Ln⁡f(z)\operatorname {Ln} f(z) допускает выделение регулярных ветвей в области GG, и существует такая ветвь φ(z)\varphi (z), для которой справедливо неравенство

∣Im(φ)(z)∣<3π2(z∈G). \left|\mathrm{Im}\left(\varphi \right)(z)\right| < \frac{3 \pi }{2} \quad (z \in G).
?
Задача 17.13

Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в областях GG, указываемых в скобках:

?
(1)

{Ln⁡(z+1+z2)}(G={z:Re(z)>0})\left\{ \operatorname {Ln}\left(z+\sqrt{1+z^{2}}\right)\right\} (G = \left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > 0\right\} );

(2)

{z+z}(G={z:Im(z)>0})\left\{ \sqrt{z+\sqrt{z}}\right\} \quad (G = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} );

(3)

{Ln⁡(iz+1−z2)}(G=C\((−∞,−1]∪[1,+∞)))\left\{ \operatorname {Ln}\left(i z+\sqrt{1-z^{2}}\right)\right\} (G = \mathbb {C} \backslash ((-\infty ,-1] \cup [1,+\infty )));

(4)

{Ln⁡(z+z−1)}(G=C\((−∞,0]∪[1,+∞)))\left\{ \operatorname {Ln}(\sqrt{z}+\sqrt{z-1})\right\} (G = \mathbb {C} \backslash ((-\infty , 0] \cup [1,+\infty )));

(5)

{Ln⁡z}(G={z:Im(z)>0})\left\{ \sqrt{\operatorname {Ln} z}\right\} (G = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} ).

Задача 17.14

Доказать, что многозначная функция

{(z−a1)(z−b1)⋯(z−an)(z−bn)} \left\{ \sqrt{\left(z-a_{1}\right)\left(z-b_{1}\right) \cdots \left(z-a_{n}\right)\left(z-b_{n}\right)}\right\}

допускает выделение регулярных ветвей во всей комплексной плоскости с разрезами по непересекающимся прямолинейным отрезкам [ak,bk]\left[a_{k}, b_{k}\right], k=1,2,…,nk = 1,2, \ldots , n.

?
Задача 17.15

Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в указываемых областях:

?
(1)

Ln⁡z2+2z+2z2−2z+2\operatorname {Ln} \frac{z^{2}+2 z+2}{z^{2}-2 z+2} (плоскость C\mathbb {C} с разрезами по отрезкам, изображенным на рис. 17.1);

Рис. 17.1Рис. 17.1

(2)

{1−z44}\left\{ \sqrt[4]{1-z^{4}}\right\} (плоскость C\mathbb {C} с разрезами по отрезкам, изображенным на рис. 17.2);

Рис. 17.2Рис. 17.2

(3)

{4z+z53}\left\{ \sqrt[3]{4 z+z^{5}}\right\} (плоскость C\mathbb {C} с разрезами по отрезкам, изображенным на рис. 17.3);

Рис. 17.3Рис. 17.3

(4)

{sin⁡z}(G={z∈C:z∉[2πk;π(2k+1)],∀k=0,±1,±2,…})\left\{ \sqrt{\sin z}\right\} \quad (G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \notin [2 \pi k ; \pi (2 k+1)], \forall k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \right\} );

(5)

{Ln⁡tg⁡z}(G={z∈C:z∉[πk;πk+π2],∀k=0,±1,±2,…})\left\{ \operatorname {Ln} \operatorname {tg} z\right\} \left(G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \notin \left[\pi k ; \pi k+\frac{\pi }{2}\right], \forall k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \right\} \right);

(6)

{z(1−z)Ln⁡z1−z}(G={z∈C:z∉[0,1]})\left\{ \sqrt{z(1-z)} \operatorname {Ln} \frac{z}{1-z}\right\} \quad (G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \notin [0,1]\right\} ).

§
18 · Вычисление значений регулярных ветвей многозначных функций. Ряды Лорана для регулярных ветвей.[50/82%]
Задача 18.1

Пусть GG-односвязная область, не содержащая точек z=0z = 0 и z=∞z = \infty, но содержащая точку z=1z = 1. Выяснить, сколько различных регулярных ветвей φ(z)\varphi (z) в области GG, удовлетворяющих указываемому условию, допускают следующие многозначные функции:

?
(1)

(z−1)Ln⁡z,φ(1)=0(z-1) \operatorname {Ln} z, \varphi (1) = 0;

(2)

{zz},φ(1)=1\left\{ z^{z}\right\} , \varphi (1) = 1;

(3)

{ziz},φ(1)=1\left\{ z^{i z}\right\} , \varphi (1) = 1;

(4)

{z1/2z},φ(1)=1\left\{ z^{1 / 2 z}\right\} , \varphi (1) = 1;

(5)

{z1/4z},φ(1)=1\left\{ z^{1 / 4 z}\right\} , \varphi (1) = 1;

(6)

{zz},φ′(1)=1\left\{ z^{z}\right\} , \varphi^{\prime }(1) = 1.

Задача 18.2

Пусть φ(z)\varphi (z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z+i)\operatorname {Ln}(z+i) в области GG, удовлетворяющая условию φ(1−i)=0\varphi (1-i) = 0. Найти значение φ(−1−i)\varphi (-1-i) в случаях, когда область GG:

?
(1)

вся комплексная плоскость с разрезом по лучу [−i∞,−i][-i \infty ,-i];

(2)

вся комплексная плоскость с разрезом по лучу [−i,+i∞][-i,+i \infty ].

Задача 18.3

Пусть GG — вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [−∞,−1][-\infty ,-1] и [1,+∞][1,+\infty ], а φ(z)\varphi (z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(1−z2)\operatorname {Ln}\left(1-z^{2}\right) в области GG, удовлетворяющая условию φ(0)=0\varphi (0) = 0. Найти:

?
(1)

φ(i)\varphi (i);

(2)

φ(−i)\varphi (-i);

(3)

φ(1+i2)\varphi \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right);

(4)

φ(1−i2)\varphi \left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right).

Задача 18.4

Пусть GG — вся расширенная комплексная плоскость с разрезом по отрезку [−1,1][-1,1]. Через φ1(z)\varphi_{1}(z) обозначим регулярную ветвь многозначной функции {1+z1−z}\left\{ \sqrt{\frac{1+z}{1-z}}\right\} в области GG, удовлетворяющую условию φ1(+i0)=1\varphi_{1}(+i 0) = 1, а через φ2(z)\varphi_{2}(z) — регулярную ветвь многозначной функции Ln⁡1+z1−z\operatorname {Ln} \frac{1+z}{1-z} в области GG, удовлетворяющую условию φ2(−i0)=0\varphi_{2}(-i 0) = 0. Найти величины:

?
(1)

φ1(−i0)\varphi_{1}(-i 0);

(2)

φ1(−i)\varphi_{1}(-i);

(3)

φ2(+i0)\varphi_{2}(+i 0);

(4)

φ2(i)\varphi_{2}(i).

Задача 18.5

Пусть GG — вся расширенная комплексная плоскость с разрезом по прямолинейному отрезку [−i,i][-i, i], а φ(z)\varphi (z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡1+iz1−iz\operatorname {Ln} \frac{1+i z}{1-i z} в области GG, удовлетворяющая условию φ(1)=πi/2\varphi (1) = \pi i / 2. Найти значения:

?
(1)

φ(−0)\varphi (-0);

(2)

φ(−1)\varphi (-1);

(3)

φ(−3)\varphi (-\sqrt{3});

(4)

φ(∞)\varphi (\infty ).

Задача 18.6

Пусть GG-вся комплексная плоскость с разрезами по отрезкам [−2,−1][-2,-1] и [1,2][1,2], а φ(z)\varphi (z) — регулярная ветвь многозначной функции {(z2−1)(z2−4)}\left\{ \sqrt{\left(z^{2}-1\right)\left(z^{2}-4\right)}\right\} в области GG, положительная на интервале (−1,1)(-1,1). Найти значения:

?
(1)

φ(3)\varphi (3);

(2)

φ(−3)\varphi (-3);

(3)

φ(i)\varphi (i);

(4)

φ(−i)\varphi (-i).

Задача 18.7

Пусть GG — вся комплексная плоскость с разрезами по отрезкам [−1,i][-1, i] и [−i,1][-i, 1], а φ(z)\varphi (z) — регулярная ветвь многозначной функции {1−z4}\left\{ \sqrt{1-z^{4}}\right\}, положительная на интервале (−1,1)(-1,1). Найти значения:

?
(1)

φ(53)\varphi \left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right);

(2)

φ(−53)\varphi \left(-\sqrt{\frac{5}{3}}\right);

(3)

φ(i53)\varphi \left(i \sqrt{\frac{5}{3}}\right);

(4)

φ(−i53)\varphi \left(-i \sqrt{\frac{5}{3}}\right).

Задача 18.8

Пусть aa и bb — две различные конечные точки комплексной плоскости, а γ\gamma — некоторая простая непрерывная кривая, идущая из точки aa в точку bb. Через GG обозначим всю комплексную плоскость с разрезом по кривой γ\gamma, а через φ(z)\varphi (z) — произвольную регулярную ветвь многозначной функции Ln⁡z−ab−z\operatorname {Ln} \frac{z-a}{b-z} в области GG. Доказать, что для каждой точки z0z_{0} кривой γ\gamma, отличной от точек aa и bb, имеет место равенство φ(z0+)−φ(z0−)=2πi\varphi \left(z_{0}^{+}\right)-\varphi \left(z_{0}^{-}\right) = 2 \pi i, где символ φ(z0±)\varphi \left(z_{0}^{ \pm }\right)означает предел функции φ(z)\varphi (z) при стремлении точки zz к точке z0z_{0} справа (слева для знака «-») от кривой γ\gamma.

?
Задача 18.9

Пусть φ(z)\varphi (z) — регулярная ветвь многозначной функции {1−z23}\left\{ \sqrt[3]{1-z^{2}}\right\} в области GG, удовлетворяющая условию φ(0)=1\varphi (0) = 1. Найти значение φ(−3)\varphi (-3) в случаях, когда область GG:

?
(1)

вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [1,+∞][1,+\infty ] и [−1,−1+i∞][-1,-1+i \infty ];

(2)

вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [1,1−i∞][1,1-i \infty ] и [−1,−1+i∞][-1,-1+i \infty ];

(3)

вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [1,1−i∞][1,1-i \infty ] и [−1,−1−i∞][-1,-1-i \infty ].

Задача 18.10

Пусть P(z)P(z) — многочлен. Доказать, что любая функция f(z)f(z), регулярная во всей комплексной плоскости с разрезом по положительной части действительной оси, непрерывная вплоть до границы этой области и при всех действительных x>0x > 0 удовлетворяющая условию

f(x+i0)−f(x−i0)=P(x), f(x+i 0)-f(x-i 0) = P(x),

имеет вид

f(z)=−P(z)2πih(z)+g(z), f(z) = -\frac{P(z)}{2 \pi i} h(z)+g(z),

где g(z)g(z) — функция, регулярная во всей комплексной плоскости, а h(z)h(z) регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡z\operatorname {Ln} z в плоскости с разрезом по положительной части действительной оси.

?
Задача 18.11

Найти общий вид функции f(z)f(z), регулярной во всей комплексной плоскости с разрезом по положительной части действительной оси, непрерывной вплоть до границы этой области, за исключением точки z=0z = 0, и удовлетворяющей одному из условий (x>0)(x > 0):

?
(1)

f(x+i0)−f(x−i0)=(1+x)2ln⁡xf(x+i 0)-f(x-i 0) = (1+x)^{2} \ln x;

(2)

f(x+i0)−f(x−i0)=ln⁡2xf(x+i 0)-f(x-i 0) = \ln^{2} x;

(3)

f(x+i0)−f(x−i0)=sin⁡xf(x+i 0)-f(x-i 0) = \sin \sqrt{x};

(4)

f(x+i0)−f(x−i0)=sin⁡(αln⁡x)x−1f(x+i 0)-f(x-i 0) = \frac{\sin (\alpha \ln x)}{x-1};

(5)

f(x+i0)−f(x−i0)=x+1ln⁡2x+π2f(x+i 0)-f(x-i 0) = \frac{x+1}{\ln^{2} x+\pi^{2}};

(6)

f(x+i0)−f(x−i0)=xln⁡xf(x+i 0)-f(x-i 0) = \sqrt{x} \ln x;

(7)

f(x+i0)−f(x−i0)=ln⁡xx3f(x+i 0)-f(x-i 0) = \frac{\ln x}{\sqrt[3]{x}};

(8)

f(x+i0)−f(x−i0)=xln⁡xln⁡2x+π2(x+1)f(x+i 0)-f(x-i 0) = \frac{\sqrt{x} \ln x}{\ln^{2} x+\pi^{2}}(x+1).

Задача 18.12

Пусть GG — вся комплексная плоскость с разрезом по положительной части действительной оси, а φ(z)\varphi (z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(1+z)\operatorname {Ln}(1+\sqrt{z}), удовлетворяющая условию φ(−1)=12ln⁡2+πi4\varphi (-1) = \frac{1}{2} \ln 2+\frac{\pi i}{4}. Найти значение φ(4−i0)\varphi (4-i 0).

?
Задача 18.13

Пусть GG — вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [−i∞,−i][-i \infty ,-i] и [i,+i∞][i,+i \infty ], а регулярная функция φ(z)\varphi (z) определена условиями

φ(z)∈Ln⁡(z+1+z2),φ(0)=0(z∈G). \varphi (z) \in \operatorname {Ln}\left(z+\sqrt{1+z^{2}}\right), \quad \varphi (0) = 0 \quad (z \in G).

Найти значения:

?
(1)

φ(i22)\varphi \left(\frac{i \sqrt{2}}{2}\right);

(2)

φ(−i2)\varphi \left(-\frac{i}{2}\right);

(3)

φ(5i3+0)\varphi \left(\frac{5 i}{3}+0\right).

Задача 18.14

Пусть φ(z)\varphi (z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z+21−z)\operatorname {Ln}(\sqrt{z}+2 \sqrt{1-z}), удовлетворяющая условию

φ(12)=12ln⁡92 \varphi \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \ln \frac{9}{2}

Найти значение φ(4)\varphi (4) в случаях, когда область GG:

?
(1)

вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [−∞,0][-\infty , 0] и [1,1+i∞][1,1+i \infty ];

(2)

вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [−i∞,0][-i \infty , 0] и [1,1−i∞][1,1-i \infty ].

Задача 18.15

Пусть GG — вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [−i∞,0][-i \infty , 0] и [1,1+i∞][1,1+i \infty ], а регулярная функция φ(z)\varphi (z) определена условиями

φ(z)∈Ln⁡Ln⁡z,φ(e2)=ln⁡2(z∈G). \varphi (z) \in \operatorname {Ln} \operatorname {Ln} z, \quad \varphi \left(e^{2}\right) = \ln 2 \quad (z \in G).

Найти значение φ(−eπ)\varphi \left(-e^{\pi }\right).

?
Задача 18.16

Пусть GG — вся комплексная плоскость с разрезом, изображенным на рис. 18.1, а регулярная функция φ(z)\varphi (z) определена условиями

Рис. 18.1Рис. 18.1

φ(z)∈{π2+Ln⁡2z},φ(1)=π(z∈G). \varphi (z) \in \left\{ \sqrt{\pi ^{2}+\operatorname {Ln}^{2} z}\right\} , \quad \varphi (1) = \pi \quad (z \in G).

Найти значения:

?
(1)

φ(i)\varphi (i);

(2)

φ(−i)\varphi (-i).

Задача 18.17

Пусть GG-вся комплексная плоскость с разрезом, изображенным на рис. 18.2, а регулярная функция φ(z)\varphi (z) определена условиями

Рис. 18.2Рис. 18.2

φ(z)∈{1+z+1},φ(8)=2(z∈G) \varphi (z) \in \left\{ \sqrt{1+\sqrt{z+1}}\right\} , \quad \varphi (8) = 2 \quad (z \in G)

Найти значения:

?
(1)

φ(−3/4)\varphi (-3 / 4);

(2)

φ(−2)\varphi (-2).

Задача 18.18

Пусть GG-вся комплексная плоскость с разрезом, изображенным на рис. 18.3, а регулярная функция φ(z)\varphi (z) определена условиями

Рис. 18.3Рис. 18.3

φ(z)∈Ln⁡(iz+1−z2),φ(0)=πi(z∈G). \varphi (z) \in \operatorname {Ln}\left(i z+\sqrt{1-z^{2}}\right), \quad \varphi (0) = \pi i \quad (z \in G).

Найти значения:

?
(1)

φ(1/2)\varphi (1 / 2);

(2)

φ(−1/2)\varphi (-1 / 2);

(3)

φ(4i/3)\varphi (4 i / 3).

Задача 18.19

Доказать, что многозначная функция {1−z23}\left\{ \sqrt[3]{1-z^{2}}\right\} не допускает выделения регулярной ветви в области G={z:1<∣z∣<∞}G = \left\{ z: 1 < \left|z\right| < \infty \right\}.

?
Задача 18.20

Выяснить, допускают ли приводимые ниже многозначные функции выделение регулярных ветвей в областях GG, указываемых в скобках:

?
(1)

{z+1z+i3}(G={z:1<∣z∣<∞})\left\{ \sqrt[3]{\frac{z+1}{z+i}}\right\} \quad (G = \left\{ z: 1 < \left|z\right| < \infty \right\} );

(2)

{2Ln⁡(z+1)−Ln⁡(z−i)}(G={z:1<∣z∣<∞})\left\{ 2 \operatorname {Ln}(z+1)-\operatorname {Ln}(z-i)\right\} (G = \left\{ z: 1 < \left|z\right| < \infty \right\} );

(3)

{(z2−1)(z2−4)}(G={z:Re(z)>0,∣z−3∣>2,5})\left\{ \sqrt{\left(z^{2}-1\right)\left(z^{2}-4\right)}\right\} \quad (G = \left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > 0,\left|z-3\right| > 2,5\right\} );

(4)

{1−z53}(G={z:Re(z)>0,z∉[1,e2πi/5],z∉[1,e−2πi/5]})\left\{ \sqrt[3]{1-z^{5}}\right\} \quad \left(G = \left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > 0, z \notin \left[1, e^{2 \pi i / 5}\right], z \notin \left[1, e^{-2 \pi i / 5}\right]\right\} \right).

Задача 18.21

Выяснить, при каком соотношении между числами α1\alpha_{1} и α2\alpha_{2} многозначная функция

α1Ln⁡(z−1)+α2Ln⁡z \alpha _{1} \operatorname {Ln}(z-1)+\alpha _{2} \operatorname {Ln} z

допускает выделение регулярной ветви в области 1<∣z∣<∞1 < \left|z\right| < \infty.

?
Задача 18.22

Выяснить, при каком соотношении между числами α1,α2\alpha_{1}, \alpha_{2} и α3\alpha_{3} многозначная функция

{(z−1)α1(z+1)α2zα3} \left\{ (z-1)^{\alpha _{1}}(z+1)^{\alpha _{2}} z^{\alpha _{3}}\right\}

допускает выделение регулярной ветви в области 1<∣z∣<∞1 < \left|z\right| < \infty.

?
Задача 18.23

Доказать, что в плоскости с разрезом по отрицательной части действительной оси существует регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(1−z)\operatorname {Ln}(1-\sqrt{z}), удовлетворяющая условию φ(2i)=−πi/2\varphi (2 i) = -\pi i / 2.

?
Задача 18.24

Пусть φ(z)\varphi (z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡z\operatorname {Ln} z в области, изображенной на рис. 18.4, удовлетворяющая условию φ(1)=0\varphi (1) = 0. Найти φ′(2)\varphi^{\prime }(2). Разложить функцию φ(z)\varphi (z) в ряд Тейлора в окрестности точки z=−3z = -3 по степеням z+3z+3.

Рис. 18.4Рис. 18.4

?
Задача 18.25

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z3}\left\{ \sqrt[3]{z}\right\} в области, изображенной на рис. 18.4, такая, что g(−1)=−1g(-1) = -1. Найти g(−2),g′(−3)g(-2), g^{\prime }(-3). Разложить g(z)g(z) в ряд Тейлора в окрестности точки z=2z = 2 по степеням z−2z-2.

?
Задача 18.26

Пусть φ1(z),φ2(z)\varphi_{1}(z), \varphi_{2}(z) — функции из задачи 4. Найти φ1′(−2),φ2′(2)\varphi_{1}^{\prime }(-2), \varphi_{2}^{\prime }(2). Разложить функцию φ2(z)\varphi_{2}(z) в ряд Тейлора в окрестности точки z=4z = 4 по степеням (z−4)(z-4). Разложить φ1(z)\varphi_{1}(z) и φ2(z)\varphi_{2}(z) в ряды Лорана в окрестности точки z=∞z = \infty.

?
Задача 18.27

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z4}\left\{ \sqrt[4]{z}\right\} в плоскости с разрезом по лучу [0,+∞)[0,+\infty ) такая, что g(1+i0)=1g(1+i 0) = 1. Найти g(1−i0)g(1-i 0), g(16−i0),g(−16),g′(−16),g′′(−16)g(16-i 0), g(-16), g^{\prime }(-16), g^{\prime \prime }(-16).

?
Задача 18.28

Опираясь на разложение регулярных ветвей многозначной функции {(1+z)a}\left\{ (1+z)^{a}\right\} в ряд Тейлора (см. пример 2 в справочных сведениях), доказать формулы для всех получаемых регулярных ветвей g(z),w(z),h(z)g(z), w(z), h(z) в круге ∣z∣<1\left|z\right| < 1:

?
(1)

1g(z)=1g(0)+∑n=1+∞(2n)!22n(n!)2z2n\frac{1}{g(z)} = \frac{1}{g(0)}+\sum_{n = 1}^{+\infty } \frac{(2 n)!}{2^{2 n}(n!)^{2}} z^{2 n}, где g(z)∈{1−z2}g(z) \in \left\{ \sqrt{1-z^{2}}\right\};

(2)

g(z)=g(0)+∑n=1+∞(−1)n+1(2n−2)!22n−1n!(n−1)!z2ng(z) = g(0)+\sum_{n = 1}^{+\infty }(-1)^{n+1} \frac{(2 n-2)!}{2^{2 n-1} n!(n-1)!} z^{2 n}, где g(z)∈{1+z2}g(z) \in \left\{ \sqrt{1+z^{2}}\right\};

(3)

w(z)=w(0)+∑n=0+∞(2n)!22n(n!)2(2n+1)z2n+1w(z) = w(0)+\sum_{n = 0}^{+\infty } \frac{(2 n)!}{2^{2 n}(n!)^{2}(2 n+1)} z^{2 n+1}, где w(z)∈Arcsin⁡zw(z) \in \operatorname {Arcsin} z;

(4)

h(z)=h(0)+∑n=0+∞(−1)n(2n)!z2n+122n(n!)2(2n+1)h(z) = h(0)+\sum_{n = 0}^{+\infty }(-1)^{n} \frac{(2 n)!z^{2 n+1}}{2^{2 n}(n!)^{2}(2 n+1)}, где h(z)∈Ln⁡(z+g(z))h(z) \in \operatorname {Ln}(z+g(z)), g(z)∈{1+z2}, g(0)=1g(z) \in \left\{ \sqrt{1+z^{2}}\right\} , ~ g(0) = 1.

Задача 18.29

Для всех регулярных ветвей h(z),w(z)h(z), w(z) многозначных функций в круге ∣z∣<1\left|z\right| < 1 доказать формулы:

?
(1)

h(z)=h(0)+2∑n=0+∞z2n+12n+1h(z) = h(0)+2 \sum_{n = 0}^{+\infty } \frac{z^{2 n+1}}{2 n+1}, где h(z)∈Ln⁡1+z1−zh(z) \in \operatorname {Ln} \frac{1+z}{1-z};

(2)

w(z)=w(0)+∑n=0+∞(−1)nz2n+12n+1w(z) = w(0)+\sum_{n = 0}^{+\infty }(-1)^{n} \frac{z^{2 n+1}}{2 n+1}, где w(z)∈Arctg⁡zw(z) \in \operatorname {Arctg} z;

(3)

1−zzh(z)=−1+∑n=1+∞znn(n+1)\frac{1-z}{z} h(z) = -1+\sum_{n = 1}^{+\infty } \frac{z^{n}}{n(n+1)}, где h(z)∈Ln⁡(1−z),h(0)=0h(z) \in \operatorname {Ln}(1-z), h(0) = 0.

Задача 18.30

Найти разложение в ряд Тейлора по степеням zz в окрестности точки z=0z = 0 следующих функций, содержащих регулярные ветви g(z),h(z)g(z), h(z) многозначных функций:

?
(1)

sh⁡g(z)⋅sin⁡g(z)\operatorname {sh} g(z) \cdot \sin g(z), где g(z)∈{z},g(0)=0g(z) \in \left\{ \sqrt{z}\right\} , g(0) = 0;

(2)

12g(z)h(1+g(z)1−g(z))\frac{1}{2 g(z)} h\left(\frac{1+g(z)}{1-g(z)}\right), где g(z)∈{z},g(0)=0,h(z)∈Ln⁡z,h(1)=0g(z) \in \left\{ \sqrt{z}\right\} , g(0) = 0, h(z) \in \operatorname {Ln} z, h(1) = 0;

(3)

1g(z)\frac{1}{g(z)}, где g(z)∈{1−z3},g(0)=1g(z) \in \left\{ \sqrt{1-z^{3}}\right\} , g(0) = 1;

(4)

h(z)\quad h(z), где h(z)∈Ln⁡(1+z+z2),h(0)=0h(z) \in \operatorname {Ln}\left(1+z+z^{2}\right), h(0) = 0.

Задача 18.31

Используя тот факт, что регулярная функция f(z)∈{Arcsin⁡z1−z2}f(z) \in \left\{ \frac{\operatorname {Arcsin} z}{\sqrt{1-z^{2}}}\right\} удовлетворяет дифференциальному уравнению

(1−z2)f′(z)−zf(z)=1,f(0)=0 \left(1-z^{2}\right) f^{\prime }(z)-z f(z) = 1, \quad f(0) = 0

доказать формулу

f(z)=∑n=0+∞(−1)n(2n)!!(2n+1)!!z2n+1,∣z∣<1. f(z) = \sum _{n = 0}^{+\infty }(-1)^{n} \frac{(2 n)!!}{(2 n+1)!!} z^{2 n+1}, \quad \left|z\right| < 1.
?
Задача 18.32

Для регулярной ветви

f(z)∈{(Arctg⁡zz)2},f(0)=1, f(z) \in \left\{ \left(\frac{\operatorname {Arctg} z}{z}\right)^{2}\right\} , \quad f(0) = 1,

доказать формулу

f(z)=1+∑n=1+∞(−1)n(1+13+…+12n+1)z2nn+1,∣z∣<1. f(z) = 1+\sum _{n = 1}^{+\infty }(-1)^{n}\left(1+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{2 n+1}\right) \frac{z^{2 n}}{n+1}, \quad \left|z\right| < 1.
?
Задача 18.33

Используя биномиальный ряд, доказать справедливость формул разложения в ряд Лорана регулярных ветвей f(z)f(z) многозначных функций:

?
(1)

f(z)=1+∑n=−∞−1a(a+1)…(a−n−1)(−n)!znf(z) = 1+\sum_{n = -\infty }^{-1} \frac{a(a+1) \ldots (a-n-1)}{(-n)!} z^{n}, где

f(z)∈{(zz−1)a},f(∞)=1,∣z∣>1 f(z) \in \left\{ \left(\frac{z}{z-1}\right)^{a}\right\} , \quad f(\infty ) = 1, \quad \left|z\right| > 1
(2)

f(z)=1z+∑n=−∞−112⋅32…(12−n−1)(−n)!z2n−1f(z) = \frac{1}{z}+\sum_{n = -\infty }^{-1} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \ldots \left(\frac{1}{2}-n-1\right)}{(-n)!} z^{2 n-1}, где

f(z)∈{1z2−1},f(2)=13,∣z∣>1 f(z) \in \left\{ \frac{1}{\sqrt{z^{2}-1}}\right\} , \quad f(2) = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \left|z\right| > 1
(3)

f(z)=1+∑n=−∞−1α(α+1)…(α−n−1)(−n)!(b−a)−n⋅(z−a)nf(z) = 1+\sum_{n = -\infty }^{-1} \frac{\alpha (\alpha +1) \ldots (\alpha -n-1)}{(-n)!}(b-a)^{-n} \cdot (z-a)^{n}, где a≠b,f(z)∈{(z−az−b)α},f(∞)=1,∣z−a∣>∣b−a∣;a \neq b, \quad f(z) \in \left\{ \left(\frac{z-a}{z-b}\right)^{\alpha }\right\} , \quad f(\infty ) = 1, \quad \left|z-a\right| > \left|b-a\right| ;

(4)

f(z)=ln⁡2+∑n=−∞−1(−1)n+12n⋅12⋅32⋯(12−n−1)(−n)!z2nf(z) = \ln 2+\sum_{n = -\infty }^{-1} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdots \left(\frac{1}{2}-n-1\right)}{(-n)!} z^{2 n}, где f(z)∈Ln⁡z+z2+1z,f(2)=ln⁡(1+52),∣z∣>1f(z) \in \operatorname {Ln} \frac{z+\sqrt{z^{2}+1}}{z}, \quad f(2) = \ln \left(1+\frac{\sqrt{5}}{2}\right), \quad \left|z\right| > 1.

Задача 18.34

Убедиться, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в кольце GG, и разложить все регулярные ветви в ряд Лорана по степеням z−az-a в кольце GG (точка aa и кольцо GG указаны в скобках):

?
(1)

Ln⁡(z−1)(z−2)(z+1)(z+2)(a=0,G={z:1<∣z∣<2})\operatorname {Ln} \frac{(z-1)(z-2)}{(z+1)(z+2)} \quad (a = 0, G = \left\{ z: 1 < \left|z\right| < 2\right\} );

(2)

Ln⁡(z+1)2z2+4(a=0,G={z:∣z∣>2})\operatorname {Ln} \frac{(z+1)^{2}}{z^{2}+4}(a = 0, G = \left\{ z:\left|z\right| > 2\right\} );

(3)

Ln⁡z(z+3)(z+2)(z−1)(a=−1,G={z:1<∣z+1∣<2})\operatorname {Ln} \frac{z(z+3)}{(z+2)(z-1)}(a = -1, G = \left\{ z: 1 < \left|z+1\right| < 2\right\} );

(4)

Ln⁡(z−1)2(z+2)(z+3)(a=−1,G={z:∣z+1∣>2})\operatorname {Ln} \frac{(z-1)^{2}}{(z+2)(z+3)}(a = -1, G = \left\{ z:\left|z+1\right| > 2\right\} ).

Задача 18.35

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z+93}\left\{ \sqrt[3]{z+9}\right\} в плоскости с разрезом по кривой z=9eit,−π⩽t⩽π2z = 9 e^{i t}, \quad -\pi \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2} и лучу z=9i+tiz = 9 i+t i, t⩾0t \geqslant 0, такая, что arg⁡g(10)=2π3\arg g(10) = \frac{2 \pi }{3}. Вычислить g(−8),g(−1),g(−9+8i),g′(0)g(-8), g(-1), g(-9+8 i), g^{\prime }(0). Разложить g(z)g(z) в ряд Тейлора в окрестности точки z=3z = 3 по степеням z−3z-3 и нарисовать наибольшую область, в которой этот ряд сходится к функции g(z)g(z).

?
Задача 18.36

Пусть h(z)h(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(2−z)\operatorname {Ln}(2-z) в плоскости с разрезом по кривой z=2eit,0⩽t⩽32πz = 2 e^{i t}, 0 \leqslant t \leqslant \frac{3}{2} \pi, и лучу z=−2i+t,t⩾0z = -2 i+t, t \geqslant 0, такая, что Im(h(−3))=0\mathrm{Im}\left(h(-3)\right) = 0. Вычислить h(−2−0),h(−2+0),h(2+i)h(-2-0), \quad h(-2+0), \quad h(2+i), h′(0)h^{\prime }(0). Разложить функцию h(z)h(z) в ряд Тейлора с центром в точке z=−1z = -1. Найти радиус сходимости этого ряда. Нарисовать наибольшую область, в которой ряд сходится к функции h(z)h(z).

?
Задача 18.37

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z(2−z)23}\left\{ \sqrt[3]{z(2-z)^{2}}\right\} в плоскости с разрезом по отрезку [0,2][0,2], такая, что g(1+i0)=1g(1+i 0) = 1. Найти g(1−i0),g(−3),g′(3)g(1-i 0), \quad g(-3), \quad g^{\prime }(3). Разложить g(z)g(z) в ряд Лорана по степеням zz в окрестности точки z=∞z = \infty.

?
Задача 18.38

Пусть h(z)h(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡z+13−z\operatorname {Ln} \frac{z+1}{3-z} в плоскости с разрезом по отрезку [−1,3][-1,3], такая, что h(1+i0)=0h(1+i 0) = 0. Найти h(1−i0)h(1-i 0), g(−2),g′(−3)g(-2), g^{\prime }(-3) Разложить h(z)h(z) в ряд Тейлора с центром в точке z=5z = 5 и в ряд Лорана по степеням zz в окрестности точки z=∞z = \infty. Найти области сходимости этих рядов.

?
Задача 18.39

Пусть h(z)h(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡z+iz+1\operatorname {Ln} \frac{z+i}{z+1} в плоскости с разрезом по линии

{z:∣z∣=1,−π2⩽arg⁡z⩽π} \left\{ z:\left|z\right| = 1,-\frac{\pi }{2} \leqslant \arg z \leqslant \pi \right\}

такая, что h(0)=iπ2h(0) = i \frac{\pi }{2}. Разложить h(z)h(z) в ряд Лорана по степеням zz в окрестности точки z=∞z = \infty.

?
Задача 18.40

Пусть h(z)h(z) — регулярная ветвь многозначной функции

Ln⁡z−iz+i−1z−2 \operatorname {Ln} \frac{z-i}{z+i}-\frac{1}{z-2}

в плоскости с выколотой точкой z=2z = 2 и разрезом по полуокружности {z:∣z∣=1,Re(z)⩾0}\left\{ z:\left|z\right| = 1, \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0\right\}, такая, что h(0)=−iπ+12h(0) = -i \pi +\frac{1}{2}. Разложить h(z)h(z) в ряд Лорана по степеням zz в кольце 1<∣z∣<21 < \left|z\right| < 2.

?
Задача 18.41

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь многозначной функции

{z2(1−z)3}+1z−3i \left\{ \sqrt[3]{z^{2}(1-z)}\right\} +\frac{1}{z-3 i}

в плоскости с выколотой точкой z=3iz = 3 i и разрезом по отрезку [0,1][0,1], такая, что g(−1)=23−11+3ig(-1) = \sqrt[3]{2}-\frac{1}{1+3 i}. Разложить g(z)g(z) в ряд Лорана по степеням zz в кольце 1<∣z∣<31 < \left|z\right| < 3.

?
Задача 18.42

Пусть h(z)h(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z2−z−6)\operatorname {Ln}\left(z^{2}-z-6\right) в плоскости с разрезом по линиям {Re(z)=−2,Im(z)⩽0}\left\{ \mathrm{Re}\left(z\right) = -2, \mathrm{Im}\left(z\right) \leqslant 0\right\} и {Re(z)=3,Im(z)⩽0}\left\{ \mathrm{Re}\left(z\right) = 3, \mathrm{Im}\left(z\right) \leqslant 0\right\}, такая, что h(4)=ln⁡6h(4) = \ln 6. Разложить h(z)h(z) в ряд Тейлора с центром в точке z=1z = 1 и найти радиус сходимости этого ряда.

?
Задача 18.43

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z2−2z)\operatorname {Ln}\left(z^{2}-2 z\right) в плоскости с разрезами по положительной части мнимой оси и по отрезку [0,2][0,2] действительной оси, выделяемая условием

Im(f(−1+3i))=−π2 \mathrm{Im}\left(f(-1+\sqrt{3} i)\right) = -\frac{\pi }{2}

Вычислить f(1+2i)f(1+2 i). Разложить f(z)f(z) в ряд Тейлора с центром в точке z=1+2iz = 1+2 i. Найти радиус сходимости. Вычислить сумму ряда при z=−1+3iz = -1+\sqrt{3} i.

?
Задача 18.44

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z4+643}\left\{ \sqrt[3]{z^{4}+64}\right\} в плоскости с разрезами по лучам

{z:z=2−2it;t⩾−1} и {z:z=−2−2it;t⩾−1}, \begin{aligned} & \left\{ z: z = 2-2 i t ; t \geqslant -1\right\} \\ \text{ и } \quad & \left\{ z: z = -2-2 i t ; t \geqslant -1\right\} , \end{aligned}

выделяемая условием f(22)=423f(2 \sqrt{2}) = 4 \sqrt[3]{2}. Вычислить f(0)f(0). Разложить f(z)f(z) в ряд Тейлора с центром в точке z=0z = 0. Найти радиус сходимости. Вычислить отношение суммы ряда к f(z)f(z) при z=−52z = -\frac{5}{2}.

?
Задача 18.45

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z+iz2)\operatorname {Ln}\left(z+i z^{2}\right) в плоскости с разрезами по положительной части действительной оси и по отрезку [0,i][0, i] мнимой оси, выделяемая условием

Im(f)(e−iπ/6)=0 \mathrm{Im}\left(f\right)\left(e^{-i \pi / 6}\right) = 0

Вычислить f(1+i2)f\left(1+\frac{i}{2}\right). Разложить f(z)f(z) в ряд Тейлора с центром в точке z=1+i2z = 1+\frac{i}{2}. Найти радиус сходимости. Вычислить сумму ряда при z=e−iπ/6z = e^{-i \pi / 6}.

?
Задача 18.46

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z4+46}\left\{ \sqrt[6]{z^{4}+4}\right\} в плоскости с разрезами по лучам {z:z=i+t;t⩾−1}\left\{ z: z = i+t ; t \geqslant -1\right\} и {z:z=−i+t;t⩽1}\left\{ z: z = -i+t ; t \leqslant 1\right\}, выделяемая условием f(2i)=−2f(\sqrt{2} i) = -\sqrt{2}. Вычислить f(0)f(0). Разложить f(z)f(z) в ряд Тейлора с центром в точке z=0z = 0. Найти радиус сходимости. Вычислить отношение суммы ряда к f(z)f(z) при z=−65iz = -\frac{6}{5} i.

?
Задача 18.47

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(1+z2)\operatorname {Ln}\left(1+z^{2}\right) в плоскости с разрезом по лучу мнимой оси [−i,+i∞)[-i,+i \infty ), причем Im(f)(−15)=0\mathrm{Im}\left(f\right)\left(-\frac{1}{5}\right) = 0. Разложить f(z)f(z) в ряд Тейлора с центром в точке z=1z = 1 и найти радиус сходимости. Вычислить сумму ряда при z=−15z = -\frac{1}{5}.

?
Задача 18.48

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {9−z2}\left\{ \sqrt{9-z^{2}}\right\} в плоскости с разрезом по дуге окружности {z:∣z−4i∣=5,Im(z)⩾0}\left\{ z:\left|z-4 i\right| = 5, \mathrm{Im}\left(z\right) \geqslant 0\right\}, причем f(4i)=5f(4 i) = 5. Разложить f(z)f(z) в ряд Лорана по степеням zz в окрестности z=∞z = \infty и найти область сходимости. Вычислить сумму ряда при z=4iz = 4 i.

?
Задача 18.49

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(1−z2)\operatorname {Ln}\left(1-z^{2}\right) в плоскости с разрезом по лучу действительной оси (−∞,1](-\infty , 1], причем Im(f)(i5)=0\mathrm{Im}\left(f\right)\left(\frac{i}{5}\right) = 0.

Разложить f(z)f(z) в ряд Тейлора с центром в точке z=−iz = -i. Найти радиус сходимости. Вычислить сумму ряда при z=i5z = \frac{i}{5}.

?
Задача 18.50

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z2+16}\left\{ \sqrt{z^{2}+16}\right\} в плоскости с разрезом по дуге окружности {z:∣z+3∣=5,Re(z)⩾0}\left\{ z:\left|z+3\right| = 5, \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0\right\}, причем главная часть ряда Лорана функции f(z)f(z) в окрестности z=∞z = \infty равна zz. Разложить f(z)f(z) в ряд Тейлора с центром в точке z=0z = 0, найти радиус сходимости. Вычислить сумму ряда при z=3z = 3.

?
§
19 · Интегралы от регулярных ветвей[50/94%]
Задача 19.1

Для всех регулярных в области GG ветвей hk(z)h_{k}(z) или gk(z)g_{k}(z) указанных многозначных функций вычислить интегралы по положительно ориентированной границе ∂G\partial G области GG:

?
(1)

∮∂Gcos⁡zπi+hk(z)dz\oint_{\partial G} \frac{\cos z}{\pi i+h_{k}(z)} d z, где hk(z)∈Ln⁡z,G={z:∣z+1∣<12}h_{k}(z) \in \operatorname {Ln} z, G = \left\{ z:\left|z+1\right| < \frac{1}{2}\right\};

(2)

∮∂Ghk(z)sin⁡πzdz\oint_{\partial G} \frac{h_{k}(z)}{\sin \pi z} d z, где hk(z)∈Ln⁡z,G={z:∣z−1∣<12}h_{k}(z) \in \operatorname {Ln} z, G = \left\{ z:\left|z-1\right| < \frac{1}{2}\right\};

(3)

∮∂Ghk(z)dz\oint_{\partial G} h_{k}(z) d z, где hk(z)∈Ln⁡z−1z+1,G={z:∣z∣>2}h_{k}(z) \in \operatorname {Ln} \frac{z-1}{z+1}, G = \left\{ z:\left|z\right| > 2\right\};

(4)

∮∂Gdzgk(z)\oint_{\partial G} \frac{d z}{g_{k}(z)}, где gk(z)∈{4z2+4z+3},G={z:∣z∣>1}g_{k}(z) \in \left\{ \sqrt{4 z^{2}+4 z+3}\right\} , G = \left\{ z:\left|z\right| > 1\right\};

(5)

∮∂Gdz5−z+4gk(z)\oint_{\partial G} \frac{d z}{5-z+4 g_{k}(z)}, где gk(z)∈{1−z},G={z:∣z+3∣<1}g_{k}(z) \in \left\{ \sqrt{1-z}\right\} , G = \left\{ z:\left|z+3\right| < 1\right\}.

Задача 19.2

Проверить, что многозначные функции допускают выделение в области GG регулярной ветви, удовлетворяющей заданным условиям, и вычислить интеграл от этой ветви по положительно ориентированной границе ∂G\partial G области GG:

?
(1)

∮∂Gdz(2+g(z))sin⁡z\oint_{\partial G} \frac{d z}{(2+g(z)) \sin z}, где G={z:∣z∣<12},g(z)∈{z−1},g(0)=iG = \left\{ z:\left|z\right| < \frac{1}{2}\right\} , g(z) \in \left\{ \sqrt{z-1}\right\} , g(0) = i.

(2)

∮∂Gdz1+h(z)\oint_{\partial G} \frac{d z}{1+h(z)}, где G={z:∣z−3∣<0,99},h(z)∈Ln⁡(z−2),h(3)=0G = \left\{ z:\left|z-3\right| < 0,99\right\} , h(z) \in \operatorname {Ln}(z-2), h(3) = 0.

(3)

∮∂Gdzh(z)−3πi\oint_{\partial G} \frac{d z}{h(z)-3 \pi i}, где G={z:∣z+2∣<32},h(z)∈Ln⁡z,h(−e)=1−πiG = \left\{ z:\left|z+2\right| < \frac{3}{2}\right\} , h(z) \in \operatorname {Ln} z, h(-e) = 1-\pi i.

(4)

∮∂Gz+2z+h(z)dz\oint_{\partial G} \frac{z+2}{z+h(z)} d z, где G={z:∣z+2∣<52},h(z)∈Ln⁡(1−z)G = \left\{ z:\left|z+2\right| < \frac{5}{2}\right\} , \quad h(z) \in \operatorname {Ln}(1-z), h(1−e)=1h(1-e) = 1.

(5)

∮∂Gg(z)dz\oint_{\partial G} g(z) d z, где G={z:∣z∣>1,1},g(z)∈{z−1z+1},g(53)=−12G = \left\{ z:\left|z\right| > 1,1\right\} , g(z) \in \left\{ \sqrt{\frac{z-1}{z+1}}\right\} , g\left(\frac{5}{3}\right) = -\frac{1}{2}.

(6)

∮∂Gdz1+2sin⁡g(z)\oint_{\partial G} \frac{d z}{1+2 \sin g(z)}, где G={z:∣z−10∣<9,99},g(z)∈{z}G = \left\{ z:\left|z-10\right| < 9,99\right\} , \quad g(z) \in \left\{ \sqrt{z}\right\}, g(4)=−2g(4) = -2.

(7)

∮∂Gg(z)dz\oint_{\partial G} g(z) d z, где G={z:∣z∣>∣a∣+∣b∣},g(z)∈{(z−a)(z−b)}G = \left\{ z:\left|z\right| > \left|a\right|+\left|b\right|\right\} , \quad g(z) \in \left\{ \sqrt{(z-a)(z-b)}\right\}, lim⁡z→∞g(z)z=1\lim_{z \rightarrow \infty } \frac{g(z)}{z} = 1.

(8)

∮∂Gdzg(z)\oint_{\partial G} \frac{d z}{g(z)}, где G={z:∣z∣>∣a∣+∣b∣},g(z)∈{(z−a)(z−b)}G = \left\{ z:\left|z\right| > \left|a\right|+\left|b\right|\right\} , \quad g(z) \in \left\{ \sqrt{(z-a)(z-b)}\right\}, lim⁡z→∞g(z)z=−1\lim_{z \rightarrow \infty } \frac{g(z)}{z} = -1.

(9)

∮∂Gzdzg(z)\oint_{\partial G} \frac{z d z}{g(z)}, где G={z:∣z∣>∣a∣+∣b∣},g(z)∈{(z−a)2(z−b)3}G = \left\{ z:\left|z\right| > \left|a\right|+\left|b\right|\right\} , \quad g(z) \in \left\{ \sqrt[3]{(z-a)^{2}(z-b)}\right\}, lim⁡z→∞g(z)z=e−2πi/3\lim_{z \rightarrow \infty } \frac{g(z)}{z} = e^{-2 \pi i / 3}.

(10)

∮∂Gzdzg(z)\oint_{\partial G} \frac{z d z}{g(z)}, где G={z:∣z∣>∣a∣+∣b∣},g(z)∈{(z−a)3(z−b)4}G = \left\{ z:\left|z\right| > \left|a\right|+\left|b\right|\right\} , \quad g(z) \in \left\{ \sqrt[4]{(z-a)^{3}(z-b)}\right\}, lim⁡z→∞g(z)z=1\lim_{z \rightarrow \infty } \frac{g(z)}{z} = 1.

(11)

∮∂Gg(z)dz\oint_{\partial G} g(z) d z, где G={z:∣z∣>∣a∣+∣b∣},g(z)∈{(z−a)α(z−b)1−α}G = \left\{ z:\left|z\right| > \left|a\right|+\left|b\right|\right\} , g(z) \in \left\{ (z-a)^{\alpha }(z-b)^{1-\alpha }\right\}, lim⁡z→∞g(z)z=1\lim_{z \rightarrow \infty } \frac{g(z)}{z} = 1.

(12)

∮∂Gzg(z)h(z)dz\oint_{\partial G} z g(z) h(z) d z, где G={z:∣z∣>∣a∣+∣b∣},g(z)∈{z−az−b}G = \left\{ z:\left|z\right| > \left|a\right|+\left|b\right|\right\} , \quad g(z) \in \left\{ \sqrt{\frac{z-a}{z-b}}\right\}, lim⁡z→∞g(z)=1,h(z)∈Ln⁡z−az−b,lim⁡z→∞h(z)=0\lim_{z \rightarrow \infty } g(z) = 1, \quad h(z) \in \operatorname {Ln} \frac{z-a}{z-b}, \quad \lim_{z \rightarrow \infty } h(z) = 0.

(13)

∮∂Gg(z)h(z)dz\oint_{\partial G} g(z) h(z) d z, где G={z:∣z∣>∣a∣+∣b∣},g(z)∈{z−az−b3}G = \left\{ z:\left|z\right| > \left|a\right|+\left|b\right|\right\} , \quad g(z) \in \left\{ \sqrt[3]{\frac{z-a}{z-b}}\right\}, lim⁡z→∞g(z)=1,h(z)∈Ln⁡z−az−b,lim⁡z→∞h(z)=2πi\lim_{z \rightarrow \infty } g(z) = 1, \quad h(z) \in \operatorname {Ln} \frac{z-a}{z-b}, \quad \lim_{z \rightarrow \infty } h(z) = 2 \pi i.

(14)

∮∂Gznh(z)dz\oint_{\partial G} z^{n} h(z) d z, где G={z:∣z∣>∣a∣+∣b∣},h(z)∈Ln⁡z−az−bG = \left\{ z:\left|z\right| > \left|a\right|+\left|b\right|\right\} , \quad h(z) \in \operatorname {Ln} \frac{z-a}{z-b}, lim⁡z→∞h(z)=2πi,n=0,1,2,…\lim_{z \rightarrow \infty } h(z) = 2 \pi i, n = 0,1,2, \ldots.

(15)

∮∂Gf(z)dz\oint_{\partial G} f(z) d z, где G={z:−1<Re(z)<1},f(z)∈{ctg⁡zz}G = \left\{ z:-1 < \mathrm{Re}\left(z\right) < 1\right\} , f(z) \in \left\{ \frac{\operatorname {ctg} \sqrt{z}}{\sqrt{z}}\right\}.

(16)

∮∂Gdz(z4+1)⋅g(z)\oint_{\partial G} \frac{d z}{\left(z^{4}+1\right) \cdot g(z)}, где G={z=x+iy:x>y2},g(z)∈{1+z2}G = \left\{ z = x+i y: x > y^{2}\right\} , \quad g(z) \in \left\{ \sqrt{1+z^{2}}\right\}, g(0)=1g(0) = 1.

Задача 19.3

Вычислить интеграл от регулярных в области GG ветвей многозначных функций по границе ∂G\partial G области GG:

∫∂Gg(z)h(z)1+z2dz \int _{\partial G} \frac{g(z) h(z)}{1+z^{2}} d z

где G={z∈C:z∉(−∞,0]},g(z)∈{z},g(1)=1,h(z)∈Ln⁡zG = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \notin (-\infty , 0]\right\} , \quad g(z) \in \left\{ \sqrt{z}\right\} , \quad g(1) = 1, \quad h(z) \in \operatorname {Ln} z, h(1)=0h(1) = 0.

?
Задача 19.4

Вычислить интегралы от регулярных в области GG ветвей многозначных функций по границе ∂G\partial G области GG:

?
(1)

∫∂Gg(z)h2(z)(z−i)2dz\int_{\partial G} \frac{g(z) h^{2}(z)}{(z-i)^{2}} d z, где G={z∈C:−π<arg⁡z<π},g(z)∈{z}G = \left\{ z \in \mathbb {C}:-\pi < \arg z < \pi \right\} , g(z) \in \left\{ \sqrt{z}\right\}, g(1)=1,h(z)∈Ln⁡z,h(1)=0g(1) = 1, h(z) \in \operatorname {Ln} z, h(1) = 0;

(2)

∫∂Gg(z)dz\int_{\partial G} g(z) d z, где G={z∈C:z∉[−1,1]},g(z)∈{z−1z+1}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \notin [-1,1]\right\} , \quad g(z) \in \left\{ \sqrt{\frac{z-1}{z+1}}\right\}, lim⁡z→∞g(z)=1\lim_{z \rightarrow \infty } g(z) = 1;

(3)

∫∂Gg(z)dzz2−1\int_{\partial G} \frac{g(z) d z}{z^{2}-1}, где G={z∈C:z∉[−i,i]},g(z)∈{1+z2}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \notin [-i, i]\right\} , \quad g(z) \in \left\{ \sqrt{1+z^{2}}\right\}, g(0+0)=1g(0+0) = 1.

Задача 19.5

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z+93}\left\{ \sqrt[3]{z+9}\right\} в комплексной плоскости с разрезом по кривой {z:z=9eit,−π⩽t⩽π2}\left\{ z: z = 9 e^{i t},-\pi \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2}\right\}, и лучу {z:z=9i+ti,t⩾0}\left\{ z: z = 9 i+t i, t \geqslant 0\right\}, такая, что arg⁡f(10)=2π3\arg f(10) = \frac{2 \pi }{3}. Вычислить интеграл

∮∣z∣=52−f(z)(z+1)2dz \oint _{\left|z\right| = 5} \frac{2-f(z)}{(z+1)^{2}} d z
?
Задача 19.6

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z+3)\operatorname {Ln}(z+3) в комплексной плоскости с разрезом по кривой {z:z=3eit,−π⩽t⩽π2}\left\{ z: z = 3 e^{i t},-\pi \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2}\right\} и лучу {z:z=3i−t,t⩾0}\left\{ z: z = 3 i-t, t \geqslant 0\right\} такая, что Im(f(4))=2π\mathrm{Im}\left(f(4)\right) = 2 \pi. Вычислить интеграл

∮∣z∣=2,5f(z)z(z+2)2dz. \oint _{\left|z\right| = 2,5} \frac{f(z)}{z(z+2)^{2}} d z.
?
Задача 19.7

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z+164}\left\{ \sqrt[4]{z+16}\right\} в комплексной плоскости с разрезом по кривой {z:z=16eit,−π2⩽t⩽π}\left\{ z: z = 16 e^{i t},-\frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \pi \right\}, и лучу {z:z=−16i−ti,t⩾0}\left\{ z: z = -16 i-t i, t \geqslant 0\right\}, такая, что arg⁡f(20)=−π2\arg f(20) = -\frac{\pi }{2}. Вычислить интеграл

∮∣z∣=132−f(z)z(z+12)dz. \oint _{\left|z\right| = 13} \frac{2-f(z)}{z(z+12)} d z.
?
Задача 19.8

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z+5)\operatorname {Ln}(z+5) в комплексной плоскости с разрезом по кривой {z:z=5eit,−π2⩽t⩽π}\left\{ z: z = 5 e^{i t},-\frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \pi \right\} и лучу {z:z=−5i−t,t⩾0}\left\{ z: z = -5 i-t, t \geqslant 0\right\}, такая, что Im(f(6))=−2π\mathrm{Im}\left(f(6)\right) = -2 \pi. Вычислить интеграл

∮∣z∣=4,5f(z)z2(z+4)dz. \oint _{\left|z\right| = 4,5} \frac{f(z)}{z^{2}(z+4)} d z.
?
Задача 19.9

Пусть f(z),f(0)=ln⁡2+iπ,f(z), f(0) = \ln 2+i \pi , — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z−2)\operatorname {Ln}(z-2) в плоскости с разрезом по отрезку [1,2][1,2] и лучу {z:z=1+iy,−∞<y⩽0}\left\{ z: z = 1+i y,-\infty < y \leqslant 0\right\}. Вычислить интеграл

∮∣z−4∣=1,5zf(z)(z−3)3dz \oint _{\left|z-4\right| = 1,5} \frac{z f(z)}{(z-3)^{3}} d z
?
Задача 19.10

Пусть f(z),f(1−i)=i,f(z), \quad f(1-i) = i, — регулярная ветвь многозначной функции {z−13}\left\{ \sqrt[3]{z-1}\right\} в плоскости с разрезом по отрезку [1,2][1,2] и лучу {z:z=2−iy,0⩽y<+∞}\left\{ z: z = 2-i y, 0 \leqslant y < +\infty \right\}. Вычислить интеграл

∮∣z−8∣=2z(f(z)−2)(z−9)2dz \oint _{\left|z-8\right| = 2} \frac{z(f(z)-2)}{(z-9)^{2}} d z
?
Задача 19.11

Пусть f(z),f(0)=ln⁡4−iπ,f(z), f(0) = \ln 4-i \pi , — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z−4)\operatorname {Ln}(z-4) в плоскости с разрезом по отрезку [3,4][3,4] и лучу {z:z=3+iy,0⩽y<+∞}\left\{ z: z = 3+i y, 0 \leqslant y < +\infty \right\}. Вычислить интеграл

∮∣z−7∣=2,5zf(z)(z−6)(z−5)2dz \oint _{\left|z-7\right| = 2,5} \frac{z f(z)}{(z-6)(z-5)^{2}} d z
?
Задача 19.12

Пусть f(z),f(−2)=1−i,f(z), f(-2) = 1-i, — регулярная ветвь многозначной функции {z−24}\left\{ \sqrt[4]{z-2}\right\} в плоскости с разрезом по отрезку [1,2][1,2], и лучу {z:z=1+iy,0⩽y<+∞}\left\{ z: z = 1+i y, 0 \leqslant y < +\infty \right\}. Вычислить интеграл

∮∣z−15∣=4(z+2)(f(z)−2)(z−18)2dz. \oint _{\left|z-15\right| = 4} \frac{(z+2)(f(z)-2)}{(z-18)^{2}} d z.
?
Задача 19.13

Пусть f(z),f(2)=0f(z), f(2) = 0,- регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z−1)\operatorname {Ln}(z-1) в плоскости с разрезом по отрезкам [0,1],[0,i][0,1],[0, i], и лучу {z:Im(z)=1,Re(z)⩾0}\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) = 1, \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0\right\}. Вычислить интеграл

∮∣z−1−4i∣=2f(z)dz(z−1−4i)(z−1−3i)2 \oint _{\left|z-1-4 i\right| = 2} \frac{f(z) d z}{(z-1-4 i)(z-1-3 i)^{2}}
?
Задача 19.14

Пусть f(z),f(9)=2f(z), \quad f(9) = 2, — регулярная ветвь многозначной функции {z−13}\left\{ \sqrt[3]{z-1}\right\} в плоскости с разрезом по отрезкам [0,1],[0,−i][0,1],[0,-i], и лучу {z:Im(z)=−1,Re(z)⩾0}\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) = -1, \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0\right\}. Вычислить интеграл

∮∣z−1+3i∣=1(z−1)3f(z)(z−1+3i)3dz \oint _{\left|z-1+3 i\right| = 1} \frac{(z-1)^{3} f(z)}{(z-1+3 i)^{3}} d z
?
Задача 19.15

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {2z−83}\left\{ \sqrt[3]{2 z-8}\right\} в комплексной плоскости с разрезом по лучу {z:z=4−it,t∈[0,+∞)}\left\{ z: z = 4-i t, t \in [0,+\infty )\right\}, причем f(8)=−1−i3f(8) = -1-i \sqrt{3}. Вычислить интеграл

∮∂Ddzf(z)−z+2dz, \oint _{\partial D} \frac{d z}{f(z)-z+2} d z,

где ∂D\partial D — граница круга D={z:∣z−2∣<32}D = \left\{ z:\left|z-2\right| < \frac{3}{2}\right\}.

?
Задача 19.16

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡z2+2z4\operatorname {Ln} \frac{z^{2}+2 z}{4} в плоскости с разрезом по лучу [−2,+∞)[-2,+\infty ) действительной оси, причем Im(f(−4))=0\mathrm{Im}\left(f(-4)\right) = 0. Вычислить интеграл

∮∂Ddzf(z)−πi, \oint _{\partial D} \frac{d z}{f(z)-\pi i},

где область DD состоит из точек круга ∣z+2∣<4\left|z+2\right| < 4, расстояние от которых до разреза больше 1.

?
Задача 19.17

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z2−4}\left\{ \sqrt{z^{2}-4}\right\} в плоскости с разрезом по полуокружности {z:∣z∣=2, Re z⩾0}\left\{ z:\left|z\right| = 2\text{, Re }z \geqslant 0\right\}, причем главная часть ряда Лорана функции f(z)f(z) в окрестности z=∞z = \infty равна zz. Вычислить интеграл

∮∣z∣=1dzf(z)+3z. \oint _{\left|z\right| = 1} \frac{d z}{f(z)+3 z}.
?
Задача 19.18

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z2−z)\operatorname {Ln}\left(z^{2}-z\right) в плоскости с разрезом по положительной действительной полуоси, причем Im(f(−2))=0\mathrm{Im}\left(f(-2)\right) = 0. Вычислить интеграл

∮∂Ddzf(z)−πi, \oint _{\partial D} \frac{d z}{f(z)-\pi i},

где DD — область, состоящая из точек круга ∣z∣<2\left|z\right| < 2, расстояние от которых до разреза больше 1/21 / 2.

?
Задача 19.19

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡z+13−z\operatorname {Ln} \frac{z+1}{3-z} в плоскости с разрезом по отрезку [−1,3][-1,3] такая, что f(1+0i)=0f(1+0 i) = 0. Вычислить интеграл

∮∣z∣=7z3f(z)z−2dz \oint _{\left|z\right| = 7} \frac{z^{3} f(z)}{z-2} d z
?
Задача 19.20

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z3(6−z)4}\left\{ \sqrt[4]{z^{3}(6-z)}\right\} в плоскости с разрезом по отрезку [0,6][0,6] такая, что f(3+0i)=3f(3+0 i) = 3. Вычислить интеграл

∮∣z∣=7zf(z)z−3dz \oint _{\left|z\right| = 7} \frac{z f(z)}{z-3} d z
?
Задача 19.21

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡5−z3+z\operatorname {Ln} \frac{5-z}{3+z} в плоскости с разрезом по отрезку [−3,5][-3,5] такая, что f(1+0i)=0f(1+0 i) = 0. Вычислить интеграл

∮∣z∣=7(z+z2)f(z)z−3dz \oint _{\left|z\right| = 7} \frac{\left(z+z^{2}\right) f(z)}{z-3} d z
?
Задача 19.22

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z2(4−z)3}\left\{ \sqrt[3]{z^{2}(4-z)}\right\} в плоскости с разрезом по отрезку [0,4][0,4] такая, что f(2+0i)=2f(2+0 i) = 2. Вычислить интеграл

∮∣z∣=7zf(z)z−2dz. \oint _{\left|z\right| = 7} \frac{z f(z)}{z-2} d z.
?
Задача 19.23

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡1−z1+z\operatorname {Ln} \frac{1-z}{1+z} в плоскости с разрезом по дуге: {z:∣z∣=1,Im(z)⩽0}\left\{ z:\left|z\right| = 1, \mathrm{Im}\left(z\right) \leqslant 0\right\} такая, что f(i3)=−πi3f\left(\frac{i}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi i}{3}. Вычислить интеграл

∮∣z∣=32dz(3f(z)−2πi)(z−3). \oint _{\left|z\right| = \frac{3}{2}} \frac{d z}{(3 f(z)-2 \pi i)(z-3)}.
?
Задача 19.24

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {2z2+1}\left\{ \sqrt{2 z^{2}+1}\right\} в плоскости с разрезом по дуге: {z:∣z∣=12,Re(z)⩾0}\left\{ z:\left|z\right| = \frac{1}{\sqrt{2}}, \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0\right\} такая, что f(0)=1f(0) = 1.

Вычислить интеграл

∮∣z∣=1zdz(z+2)(f(z)+3) \oint _{\left|z\right| = 1} \frac{z d z}{(z+2)(f(z)+3)}
?
Задача 19.25

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡2i−z2i+z\operatorname {Ln} \frac{2 i-z}{2 i+z} в плоскости с разрезом по дуге: {z:∣z∣=2,Re(z)⩽0}\left\{ z:\left|z\right| = 2, \mathrm{Re}\left(z\right) \leqslant 0\right\}, такая, что f(2)=π2if(2) = \frac{\pi }{2} i. Вычислить интеграл

∮∣z∣=3dz(z+4i)(3f(z)+2πi). \oint _{\left|z\right| = 3} \frac{d z}{(z+4 i)(3 f(z)+2 \pi i)}.
?
Задача 19.26

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z2+3}\left\{ \sqrt{z^{2}+3}\right\} в плоскости с разрезом по дуге: {z:∣z∣=3,Re(z)⩽0}\left\{ z:\left|z\right| = \sqrt{3}, \mathrm{Re}\left(z\right) \leqslant 0\right\} такая, что f(1)=2f(1) = 2. Вычислить интеграл

∮∣z∣=2zdz(z−3)(f(z)+23). \oint _{\left|z\right| = 2} \frac{z d z}{(z-3)(f(z)+2 \sqrt{3})}.
?
Задача 19.27

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z2−14}\left\{ \sqrt[4]{z^{2}-1}\right\} в плоскости с разрезом по кривой

γ={z:z=eit,0⩽t⩽π;z=t,−∞<t⩽−1} \gamma = \left\{ z: z = e^{i t}, 0 \leqslant t \leqslant \pi ; z = t,-\infty < t \leqslant -1\right\}

такая, что f(0)=eπi/4f(0) = e^{\pi i / 4}. Пусть S(z)=∑k=0+∞Ak(z−2i)kS(z) = \sum_{k = 0}^{+\infty } A_{k}(z-2 i)^{k} — регулярная в круге сходимости функция, совпадающая с f(z)f(z) в окрестности точки z=2iz = 2 i. Найти радиус сходимости ряда S(z)S(z) и вычислить интеграл

∮∣z−2i∣=32S(z)(z−34i)2dz \oint _{\left|z-2 i\right| = \frac{3}{2}} \frac{S(z)}{\left(z-\frac{3}{4} i\right)^{2}} d z
?
Задача 19.28

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z(z−1)3}\left\{ \sqrt[3]{z(z-1)}\right\} в плоскости с разрезами по кривым γ1\gamma_{1} и γ2\gamma_{2}, где

γ1={z:z=it,t⩾0}γ2={z:z=1−it,0⩽t⩽2;z=t−2i,−∞<t⩽1} \begin{aligned} & \gamma _{1} = \left\{ z: z = i t, t \geqslant 0\right\} \\ & \gamma _{2} = \left\{ z: z = 1-i t, 0 \leqslant t \leqslant 2 ; z = t-2 i,-\infty < t \leqslant 1\right\} \end{aligned}

такая, что f(12)=−143f\left(\frac{1}{2}\right) = -\sqrt[3]{\frac{1}{4}}. Пусть S(z)=∑k=0+∞Ak(z+3i)kS(z) = \sum_{k = 0}^{+\infty } A_{k}(z+3 i)^{k} — регулярная в круге сходимости функция, совпадающая с f(z)f(z) в окрестности точки z=−3iz = -3 i. Найти радиус сходимости ряда S(z)S(z) и вычислить интеграл

∮∣z+3i∣=52S(z)(z+i)2dz \oint _{\left|z+3 i\right| = \frac{5}{2}} \frac{S(z)}{(z+i)^{2}} d z
?
Задача 19.29

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {1−z24}\left\{ \sqrt[4]{1-z^{2}}\right\} в плоскости с разрезом по кривой

γ={z:z=eit,0⩽t⩽π;z=1+it,0⩽t<∞} \gamma = \left\{ z: z = e^{i t}, 0 \leqslant t \leqslant \pi ; z = 1+i t, 0 \leqslant t < \infty \right\}

такая, что f(0)=1f(0) = 1. Пусть S(z)=∑k=0+∞Ak(z−3i)kS(z) = \sum_{k = 0}^{+\infty } A_{k}(z-3 i)^{k} — регулярная в круге сходимости функция, совпадающая с f(z)f(z) в окрестности точки z=3iz = 3 i. Найти радиус сходимости ряда S(z)S(z) и вычислить интеграл

∮∣z−3i∣=52S(z)(z−34i)2dz \oint _{\left|z-3 i\right| = \frac{5}{2}} \frac{S(z)}{\left(z-\frac{3}{4} i\right)^{2}} d z
?
Задача 19.30

В комплексной плоскости с разрезами по кривым γ1\gamma_{1} и γ2\gamma_{2}, где

γ1={z:z=t,t⩽−2}γ2={z:z=t,−1⩽t⩽0;z=it−1,0⩽t<∞} \begin{aligned} & \gamma _{1} = \left\{ z: z = t, t \leqslant -2\right\} \\ & \gamma _{2} = \left\{ z: z = t,-1 \leqslant t \leqslant 0 ; z = i t-1,0 \leqslant t < \infty \right\} \end{aligned}

рассматривается регулярная ветвь f(z)f(z) многозначной функции {z(z+2)3}\left\{ \sqrt[3]{z(z+2)}\right\}, такая, что

f(−32)=−343 f\left(-\frac{3}{2}\right) = -\sqrt[3]{\frac{3}{4}}

Пусть S(z)=∑k=0+∞Ak(z−3i)kS(z) = \sum_{k = 0}^{+\infty } A_{k}(z-3 i)^{k} — регулярная в круге сходимости функция, совпадающая с f(z)f(z) в окрестности точки z=3iz = 3 i. Найти радиус сходимости ряда S(z)S(z) и вычислить интеграл

∮∣z−3i∣=52S(z)(z+2−2i)2dz \oint _{\left|z-3 i\right| = \frac{5}{2}} \frac{S(z)}{(z+2-2 i)^{2}} d z
?
Задача 19.31

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡3+izz−1\operatorname {Ln} \frac{3+i z}{z-1} в плоскости с разрезом по отрезку [1,3i][1,3 i] такая, что f(0)=ln⁡3−πif(0) = \ln 3-\pi i. Вычислить f(∞)f(\infty ) и интеграл

∮∣z∣=4z2f(z)z+3dz. \oint _{\left|z\right| = 4} \frac{z^{2} f(z)}{z+3} d z.
?
Задача 19.32

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z3(2i−z)4}\left\{ \sqrt[4]{z^{3}(2 i-z)}\right\} в плоскости с разрезом по отрезку [0,2i][0,2 i] такая, что

f(2)=228e3πi/16 f(2) = 2 \sqrt[8]{2} e^{3 \pi i / 16}

Вычислить f(i+0)f(i+0) и интеграл

∮∣z∣=3zf(z)z+idz \oint _{\left|z\right| = 3} \frac{z f(z)}{z+i} d z
?
Задача 19.33

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡z+i2−z\operatorname {Ln} \frac{z+i}{2-z} в плоскости с разрезом по отрезку [−i,2][-i, 2] такая, что f(0)=ln⁡12+52πif(0) = \ln \frac{1}{2}+\frac{5}{2} \pi i. Вычислить f(∞)f(\infty ) и интеграл

∮∣z∣=3z2f(z)z+2dz \oint _{\left|z\right| = 3} \frac{z^{2} f(z)}{z+2} d z
?
Задача 19.34

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z2(i−z)3}\left\{ \sqrt[3]{z^{2}(i-z)}\right\} в плоскости с разрезом по отрезку [0,i][0, i] такая, что f(1)=26eiπ/4f(1) = \sqrt[6]{2} e^{i \pi / 4}. Вычислить f(i2+0)f\left(\frac{i}{2}+0\right) и интеграл

∮∣z∣=3zf(z)3z+idz \oint _{\left|z\right| = 3} \frac{z f(z)}{3 z+i} d z
?
Задача 19.35

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡2i−zz+1\operatorname {Ln} \frac{2 i-z}{z+1} в плоскости с разрезом по кривой γ=γ1∪γ2\gamma = \gamma_{1} \cup \gamma_{2}, где

γ1={z:∣z∣=2,−π⩽arg⁡z⩽π2},γ2={z:z=x,−2⩽x⩽−1} \begin{aligned} & \gamma _{1} = \left\{ z:\left|z\right| = 2,-\pi \leqslant \arg z \leqslant \frac{\pi }{2}\right\} , \\ & \gamma _{2} = \left\{ z: z = x,-2 \leqslant x \leqslant -1\right\} \end{aligned}

такая, что g(0)=ln⁡2−3πi2g(0) = \ln 2-\frac{3 \pi i}{2}. Вычислить интеграл

∮z=4zg(z)1+tg⁡1zdz \oint _{z = 4} \frac{z g(z)}{1+\operatorname {tg} \frac{1}{z}} d z
?
Задача 19.36

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z2(i−z)3}\left\{ \sqrt[3]{z^{2}(i-z)}\right\} в плоскости с разрезом по кривой γ=γ1∪γ2\gamma = \gamma_{1} \cup \gamma_{2}, где

γ1={z:∣z+i2∣=32,Re(z)⩾0}γ2={z:∣z+i∣=1,Re(z)⩽0} \begin{aligned} & \gamma _{1} = \left\{ z:\left|z+\frac{i}{2}\right| = \frac{3}{2}, \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0\right\} \\ & \gamma _{2} = \left\{ z:\left|z+i\right| = 1, \mathrm{Re}\left(z\right) \leqslant 0\right\} \end{aligned}

такая, что f(−i)=23ei7π/6f(-i) = \sqrt[3]{2} e^{i 7 \pi / 6}. Вычислить интеграл

∮∣z∣=4f(z)1+e2/zdz \oint _{\left|z\right| = 4} \frac{f(z)}{1+e^{2 / z}} d z
?
Задача 19.37

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡1−ziz+1\operatorname {Ln} \frac{1-z}{i z+1} в плоскости с разрезом по кривой

γ={z:∣z∣=1,π2⩽arg⁡z⩽2π} \gamma = \left\{ z:\left|z\right| = 1, \frac{\pi }{2} \leqslant \arg z \leqslant 2 \pi \right\}

такая, что g(0)=−4πig(0) = -4 \pi i. Вычислить интеграл

∮∣z∣=5zg(z)sin⁡1z+cos⁡1zdz. \oint _{\left|z\right| = 5} \frac{z g(z)}{\sin \frac{1}{z}+\cos \frac{1}{z}} d z.
?
Задача 19.38

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z2(2i+z)24}\left\{ \sqrt[4]{z^{2}(2 i+z)^{2}}\right\} в плоскости с разрезом по кривой γ=γ1∪γ2\gamma = \gamma_{1} \cup \gamma_{2}, где

γ1={z:∣z+2i∣=2,Re(z)⩽0},γ2={z:∣z+3i∣=1,Re(z)⩾0}, \begin{aligned} & \gamma _{1} = \left\{ z:\left|z+2 i\right| = 2, \mathrm{Re}\left(z\right) \leqslant 0\right\} , \\ & \gamma _{2} = \left\{ z:\left|z+3 i\right| = 1, \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0\right\} , \end{aligned}

такая, что f(−3i)=3eπif(-3 i) = \sqrt{3} e^{\pi i}. Вычислить интеграл

∮∣z∣=5f(z)1+2sin⁡1zdz. \oint _{\left|z\right| = 5} \frac{f(z)}{1+2 \sin \frac{1}{z}} d z.
?
Задача 19.39

Пусть h(z)h(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡2+iz2+z\operatorname {Ln} \frac{2+i z}{2+z} в плоскости с разрезом по кривой

γ={z:∣z∣=2,−π⩽arg⁡z⩽π2} \gamma = \left\{ z:\left|z\right| = 2,-\pi \leqslant \arg z \leqslant \frac{\pi }{2}\right\}

такая, что h(∞)=12πih(\infty ) = \frac{1}{2} \pi i. Вычислить и интеграл

∮∣z∣=1ezh(z)sin⁡3zdz \oint _{\left|z\right| = 1} \frac{e^{z} h(z)}{\sin ^{3} z} d z
?
Задача 19.40

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь многозначной функции {2z2+1}\left\{ \sqrt{2 z^{2}+1}\right\} в плоскости с разрезом по кривой γ={z:∣z∣=12,Re(z)⩾0}\gamma = \left\{ z:\left|z\right| = \frac{1}{\sqrt{2}}, \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0\right\}, где g(0)=1g(0) = 1. Вычислить интеграл

∮∣z∣=1dz(z−2)(g(z)+3) \oint _{\left|z\right| = 1} \frac{d z}{(z-2)(g(z)+3)}
?
Задача 19.41

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь многозначной функции {(z−2)2(2i−z)3}\left\{ \sqrt[3]{(z-2)^{2}(2 i-z)}\right\} в плоскости с разрезом по отрезку [2i,2][2 i, 2] такая, что главная часть ее ряда Лорана в ∞\infty равна e−iπ/3ze^{-i \pi / 3} z. Вычислить интеграл

∮∣z∣=1g(z)sh⁡3zdz. \oint _{\left|z\right| = 1} \frac{g(z)}{\operatorname {sh}^{3} z} d z.
?
Задача 19.42

Пусть h(z)h(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡3+ziz−3\operatorname {Ln} \frac{3+z}{i z-3} в плоскости с разрезом по кривой

γ={z:∣z∣=3,−π2⩽arg⁡z⩽π} \gamma = \left\{ z:\left|z\right| = 3,-\frac{\pi }{2} \leqslant \arg z \leqslant \pi \right\}

такая, что h(∞)=−52πih(\infty ) = -\frac{5}{2} \pi i. Вычислить интеграл

∮∣z∣=1dz(h2(z)+π2)2. \oint _{\left|z\right| = 1} \frac{d z}{\left(h^{2}(z)+\pi ^{2}\right)^{2}}.
?
Задача 19.43

Пусть h(z)h(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡2+ziz−1\operatorname {Ln} \frac{2+z}{i z-1} в плоскости с разрезом по кривой

γ={z:∣z∣=1,−π2⩽arg⁡z⩽π}∪[−2,−1] \gamma = \left\{ z:\left|z\right| = 1,-\frac{\pi }{2} \leqslant \arg z \leqslant \pi \right\} \cup [-2,-1]

такая, что Im(h(∞))=3π2\mathrm{Im}\left(h(\infty )\right) = \frac{3 \pi }{2}. Найти h(0)h(0) и вычислить интеграл

∮∣z∣=12h(z)sh⁡3zdz. \oint _{\left|z\right| = \frac{1}{2}} \frac{h(z)}{\operatorname {sh}^{3} z} d z.
?
Задача 19.44

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь многозначной функции {1+2z2}\left\{ \sqrt{1+2 z^{2}}\right\} в плоскости с разрезом по кривой

γ={z:∣z∣=12,−π2⩽arg⁡z⩽π} \gamma = \left\{ z:\left|z\right| = \frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{\pi }{2} \leqslant \arg z \leqslant \pi \right\}

такая, что g(0)=1g(0) = 1. Пусть f(z)=z(g(z)+3)2f(z) = \frac{z}{(g(z)+3)^{2}}. Найти resz=∞f\mathop{\mathrm{res}}_{z = \infty } f и вычислить интеграл

∮∣z∣=1f(z)dz \oint _{\left|z\right| = 1} f(z) d z
?
Задача 19.45

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z2+13}\left\{ \sqrt[3]{z^{2}+1}\right\} в комплексной плоскости с разрезом по кривой γ=γ1∪γ2\gamma = \gamma_{1} \cup \gamma_{2}, где

γ1={z:∣z∣=1,0⩽arg⁡z⩽3π2},γ2={z:Im(z)=−1,Re(z)⩾0} \begin{aligned} & \gamma _{1} = \left\{ z:\left|z\right| = 1,0 \leqslant \arg z \leqslant \frac{3 \pi }{2}\right\} , \\ & \gamma _{2} = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) = -1, \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0\right\} \end{aligned}

причем g(0)=e−2πi/3g(0) = e^{-2 \pi i / 3}. Вычислить интеграл

∮∣z+3∣=1(g(z)g(z)−2)2dz \oint _{\left|z+3\right| = 1}\left(\frac{g(z)}{g(z)-2}\right)^{2} d z
?
Задача 19.46

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z2−1)\operatorname {Ln}\left(z^{2}-1\right) в комплексной плоскости с разрезом по кривой γ=γ1∪γ2\gamma = \gamma_{1} \cup \gamma_{2}, где

γ1={z:∣z∣=1,−π⩽arg⁡z⩽0},γ2={z:Im(z)=0,Re(z)⩾1}, \begin{aligned} & \gamma _{1} = \left\{ z:\left|z\right| = 1,-\pi \leqslant \arg z \leqslant 0\right\} , \\ & \gamma _{2} = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) = 0, \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 1\right\} , \end{aligned}

причем Im(h(−2i))=3π\mathrm{Im}\left(h(-2 i)\right) = 3 \pi. Вычислить интеграл

∮∣z−3i∣=22/7z(h(z)h(z)−πi)2dz \oint _{\left|z-3 i\right| = 22 / 7} z\left(\frac{h(z)}{h(z)-\pi i}\right)^{2} d z
?
Задача 19.47

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь многозначной функции {z2−14}\left\{ \sqrt[4]{z^{2}-1}\right\} в комплексной плоскости с разрезом по кривой γ=γ1∪γ2\gamma = \gamma_{1} \cup \gamma_{2}, где

γ1={z:∣z∣=1,π⩽arg⁡z⩽2π}γ2={z:Im(z)⩽−1,Re(z)=0} \begin{aligned} & \gamma _{1} = \left\{ z:\left|z\right| = 1, \pi \leqslant \arg z \leqslant 2 \pi \right\} \\ & \gamma _{2} = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) \leqslant -1, \mathrm{Re}\left(z\right) = 0\right\} \end{aligned}

причем g(2)=34g(2) = \sqrt[4]{3}. Вычислить интеграл

∮∣z−i∣=54z(g(z)g(z)−eπi/4)2dz. \oint _{\left|z-i\right| = \frac{5}{4}} z\left(\frac{g(z)}{g(z)-e^{\pi i / 4}}\right)^{2} d z.
?
Задача 19.48

Пусть h(z)h(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z2+1)\operatorname {Ln}\left(z^{2}+1\right) в комплексной плоскости с разрезом по кривой γ=γ1∪γ2\gamma = \gamma_{1} \cup \gamma_{2}, где

γ1={z:∣z∣=1,π2⩽arg⁡z⩽3π2},γ2={z:Im(z)=1,Re(z)⩾0}, \begin{aligned} & \gamma _{1} = \left\{ z:\left|z\right| = 1, \frac{\pi }{2} \leqslant \arg z \leqslant \frac{3 \pi }{2}\right\} , \\ & \gamma _{2} = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) = 1, \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0\right\} , \end{aligned}

причем Im(h(0))=0\mathrm{Im}\left(h(0)\right) = 0. Вычислить интеграл

∮∣z+3i∣=74(h(z)h(z)+πi)2dz \oint _{\left|z+3 i\right| = \frac{7}{4}}\left(\frac{h(z)}{h(z)+\pi i}\right)^{2} d z
?
Задача 19.49

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции Ln⁡(z−1z+1)\operatorname {Ln}\left(\frac{z-1}{z+1}\right) в области G={z:∣z∣>1}G = \left\{ z:\left|z\right| > 1\right\} такая, что f(∞)=0f(\infty ) = 0. Доказать, что многозначная функция {f(z)+4i}\left\{ \sqrt{f(z)+4 i}\right\} распадается в GG на регулярные ветви.

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь функции {f(z)+4i}\left\{ \sqrt{f(z)+4 i}\right\} в GG такая, что g(∞)=−2(i+1)g(\infty ) = -\sqrt{2}(i+1). Вычислить интеграл ∮∣z∣=2dzg(z)\oint_{\left|z\right| = 2} \frac{d z}{g(z)}.

?
Задача 19.50

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь многозначной функции {3−z3+z}\left\{ \sqrt{\frac{3-z}{3+z}}\right\} в области G={z:∣z∣>3}G = \left\{ z:\left|z\right| > 3\right\} такая, что f(∞)=−if(\infty ) = -i. Доказать, что многозначная функция Ln⁡(f(z)−i)\operatorname {Ln}(f(z)-i) распадается в GG на регулярные ветви.

Пусть g(z)g(z) — регулярная ветвь функции Ln⁡(f(z)−i)\operatorname {Ln}(f(z)-i) в GG такая, что g(∞)=ln⁡2−iπ2g(\infty ) = \ln 2-i \frac{\pi }{2}. Вычислить интеграл ∮∣z∣=4dzg(z)\oint_{\left|z\right| = 4} \frac{d z}{g(z)}.

?
§
20 · Аналитическое продолжение. Полные аналитические функции.[23/4%]
Задача 20.1

Доказать, что функция, регулярная в области GG, является функцией, аналитической в области GG.

?
Задача 20.2

Доказать, что если функция, аналитическая в области GG, не зависит от формы кусочно-гладкой ориентированной кривой, вдоль которой ведется аналитическое продолжение, а зависит только от ее конца, то эта функция регулярна в области GG.

?
Задача 20.3

Пусть F1F_{1} и F2F_{2} — две аналитические функции в области GG. Доказать, что функции F1+F2F_{1}+F_{2} и F1⋅F2F_{1} \cdot F_{2}, определяемые элементами вида (Br(a),f1+f2)(B_{r}(a), f_{1}+f_{2}), (Br(a),f1⋅f2)\left(B_{r}(a), f_{1} \cdot f_{2}\right), где (Br(a),f1)\left(B_{r}(a), f_{1}\right) и (Br(a),f2)\left(B_{r}(a), f_{2}\right) — любые элементы F1F_{1} и F2F_{2}, также являются аналитическими функциями в GG.

?
Задача 20.4

Пусть F1F_{1} и F2F_{2} — две аналитические функции в области GG, определяемые элементами вида (Br(a),f1)(B_{r}(a), f_{1}) и (Br(a),f2)(B_{r}(a), f_{2}), причем для любого элемента (Br(a),f2)\left(B_{r}(a), f_{2}\right) функции F2F_{2} регулярная функция f2(z)≠0,z∈Br(a)f_{2}(z) \neq 0, z \in B_{r}(a). Доказать, что функция F1F2\frac{F_{1}}{F_{2}}, определяемая элементами вида (Br(a),f1f2)\left(B_{r}(a), \frac{f_{1}}{f_{2}}\right), аналитична в области GG.

?
Задача 20.5

Пусть FF — аналитическая функция в области GG, определяемая элементами вида (Br(a),f)(B_{r}(a), f). Пусть g:C→Cg: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} — регулярная функция на плоскости C\mathbb {C}. Доказать, что функция, определяемая элементами вида (Br(a),g(f))\left(B_{r}(a), g(f)\right), является аналитической в области GG.

?
Задача 20.6

Определим для всякой точки a∈C\{0}a \in \mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\} и для всякой кусочно-гладкой ориентированной кривой γa\gamma_{a} с началом в точке 1 и концом в точке aa, причем такой, что 0∉γa0 \notin \gamma_{a}, величину

hγa(a)=∫γadζζ h_{\gamma a}(a) = \int _{\gamma a} \frac{d \zeta }{\zeta }

и функцию hγa:B∣a∣(a)→Ch_{\gamma a}: B_{\left|a\right|}(a) \rightarrow \mathbb {C} вида

hγa(z)=hγa(a)+∫azdζζ,z∈B∣a∣(a) h_{\gamma a}(z) = h_{\gamma a}(a)+\int _{a}^{z} \frac{d \zeta }{\zeta }, \quad z \in B_{\left|a\right|}(a)

Доказать, что семейство элементов

(B∣a∣(a),hγa),a∈C\{0} \left(B_{\left|a\right|}(a), h_{\gamma a}\right), \quad a \in \mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}

образует функцию (обозначаемую Ln⁡z\operatorname {Ln} z), аналитическую во всей комплексной плоскости с выколотой точкой z=0z = 0.

?
Задача 20.7

Пусть α\alpha — произвольное комплексное число. Доказать, что семейство элементов

(B∣a∣(a),eαhγa(z)),a∈C\{0} \left(B_{\left|a\right|}(a), e^{\alpha h_{\gamma a}(z)}\right), \quad a \in \mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}

где функция hγah_{\gamma a} определена в задаче 6, образует функцию zαz^{\alpha }, аналитическую в C\{0}\mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}.

?
Задача 20.8

Определим для всякой точки a∈C,a≠i,a≠−ia \in \mathbb {C}, a \neq i, a \neq -i, и для всякой кусочно-гладкой ориентированной кривой γa\gamma_{a} с началом в точке 0 и концом в точке aa, причем такой, что i∉γa,−i∉γai \notin \gamma_{a},-i \notin \gamma_{a}, величину

gγa(a)=∫γadζ1+ζ2 g_{\gamma _{a}}(a) = \int _{\gamma _{a}} \frac{d \zeta }{1+\zeta ^{2}}

и функцию gγa:Bra(a)→Cg_{\gamma_{a}}: B_{r_{a}}(a) \rightarrow \mathbb {C} вида

gγa(z)=gγa(a)+∫azdζ1+ζ2,z∈Bra(a),ra=min⁡{∣a−i∣,∣a+i∣} g_{\gamma _{a}}(z) = g_{\gamma _{a}}(a)+\int _{a}^{z} \frac{d \zeta }{1+\zeta ^{2}}, \quad z \in B_{r_{a}}(a), \quad r_{a} = \min \left\{ \left|a-i\right|,\left|a+i\right|\right\}

Доказать, что семейство элементов

(Bra(a),gγa),a≠±i \left(B_{r_{a}}(a), g_{\gamma _{a}}\right), \quad a \neq \pm i

образует функцию (обозначаемую Arctg⁡z)\operatorname {Arctg} z), аналитическую в C‾\({i}∪{−i})\overline{\mathbb {C}} \backslash (\left\{ i\right\} \cup \left\{ -i\right\} ).

?
Задача 20.9

Пусть функция φ(z)\varphi (z) регулярна в области GG и z0z_{0} — некоторая точка этой области. Для всякой точки a∈Ga \in G и всякой кусочно-гладкой кривой γa⊂G\gamma_{a} \subset G с началом в точке z0z_{0} и концом в точке aa, определим величину

fγa(a)=∫γaφ(ζ)dζ f_{\gamma _{a}}(a) = \int _{\gamma _{a}} \varphi (\zeta ) d \zeta

и функцию fγa:Br(a)→Cf_{\gamma_{a}}: B_{r}(a) \rightarrow \mathbb {C} вида

fγa(z)=fγa(a)+∫azφ(ζ)dζ,z∈Bra(a) f_{\gamma _{a}}(z) = f_{\gamma _{a}}(a)+\int _{a}^{z} \varphi (\zeta ) d \zeta , \quad z \in B_{r_{a}}(a)

где ra>0r_{a} > 0, такое, что Bra(a)⊂GB_{r_{a}}(a) \subset G. Доказать, что семейство элементов

(Bra(a),fγa),a∈G, \left(B_{r_{a}}(a), f_{\gamma _{a}}\right), \quad a \in G,

образует функцию, аналитическую в области GG.

?
Задача 20.10

Доказать, что множество значений, принимаемых элементами аналитической функции Ln⁡z(\operatorname {Ln} z( см. задачу 6) в произвольной точке a∈C\{0}a \in \mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}, совпадает с множеством значений выражения

Ln⁡a=ln⁡∣a∣+iArg⁡a. \operatorname {Ln} a = \ln \left|a\right|+i \operatorname {Arg} a.
?
Задача 20.11

Доказать, что множество значений, принимаемых элементами аналитической функции zαz^{\alpha } (см. задачу 7) в произвольной точке a∈C\{0}a \in \mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}, совпадает с множеством значений выражения

{aα}=eαLn⁡a. \left\{ a^{\alpha }\right\} = e^{\alpha \operatorname {Ln} a}.
?
Задача 20.12

Доказать, что множество значений, принимаемых элементами аналитической функции Arctg⁡z\operatorname {Arctg} z (см. пример 8) в произвольной точке aa из области G={z∈C:z≠±i}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq \pm i\right\} совпадает с множеством значений выражения

12iLn⁡1+ia1−ia. \frac{1}{2 i} \operatorname {Ln} \frac{1+i a}{1-i a}.
?
Задача 20.13

Для следующих многозначных выражений и областей GG найти аналитические в области GG функции, которые изображаются этими выражениями:

?
(1)

{zz}\left\{ z^{z}\right\}, где G={z∈C:z≠0}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq 0\right\};

(2)

{z2Ln⁡2z}\left\{ z^{2} \operatorname {Ln}^{2} z\right\}, где G={z∈C:z≠0}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq 0\right\};

(3)

Ln⁡(1−z2)\operatorname {Ln}\left(1-z^{2}\right), где G={z∈C:z≠1,z≠−1}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq 1, z \neq -1\right\};

(4)

{1+z23}\left\{ \sqrt[3]{1+z^{2}}\right\}, где G={z∈C:z≠i,z≠−i}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq i, z \neq -i\right\};

(5)

{1−z4}\left\{ \sqrt{1-z^{4}}\right\}, где G={z∈C:z≠±i,z≠±1}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq \pm i, z \neq \pm 1\right\};

(6)

Ln z2−1z2+1\frac{z^{2}-1}{z^{2}+1}, где G={z∈C‾:z≠±i,z≠±1}G = \left\{ z \in \overline{\mathbb {C}}: z \neq \pm i, z \neq \pm 1\right\}.

(7)

{z2−1}\left\{ \sqrt{z^{2}-1}\right\}, где G={z∈C:z≠±1}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq \pm 1\right\};

(8)

Ln⁡z−1z+1\operatorname {Ln} \frac{z-1}{z+1}, где G={z∈C:z≠±1}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq \pm 1\right\}.

Задача 20.14

Пусть функция f:G→Cf: G \rightarrow \mathbb {C} регулярна и отлична от нуля в области GG.

?
(1)

Обязано ли выражение {f(z)}\left\{ \sqrt{f(z)}\right\} изображать функцию, аналитическую в области GG?

(2)

Может ли выражение {f(z)}\left\{ \sqrt{f(z)}\right\} изображать функцию, аналитическую в области GG?

Задача 20.15

Доказать, что если начальные элементы двух аналитических в области GG функций эквивалентны, то эти функции тождественно равны.

?
Задача 20.16

Доказать, что если какой-либо элемент аналитической в области GG функции эквивалентен нулю, то эта функция тождественно равна нулю.

?
Задача 20.17

Пусть начальный элемент (Br(a),f0)(B_{r}(a), f_{0}) порождает в области G⊂CG \subset \mathbb {C} аналитическую функцию. Доказать, что в области GG существует аналитическая функция с начальным элементом

(Br(a),∫azf0(ζ)dζ) \left(B_{r}(a), \int _{a}^{z} f_{0}(\zeta ) d \zeta \right)
?
Задача 20.18

Доказать, что существует функция, аналитическая во всей комплексной плоскости с выколотыми точками z=0z = 0 и z=1z = 1, которая изображается формулой LnLn⁡z\operatorname {LnLn} z.

?
Задача 20.19

Доказать существование функций, изображаемых следующими многозначными формулами и аналитических в данных областях GG:

?
(1)

{(z+1)α(Ln⁡z)β}\left\{ (z+1)^{\alpha }(\operatorname {Ln} z)^{\beta }\right\}, где G={z∈C:z≠0,z≠±1}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq 0, z \neq \pm 1\right\};

(2)

Ln⁡(z+z2+1)\operatorname {Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}+1}\right), где G={z∈C:z≠±i}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq \pm i\right\};

(3)

Ln⁡(1−z4)\operatorname {Ln}(1-\sqrt[4]{z}), где G={z∈C:z≠0,z≠1}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq 0, z \neq 1\right\};

(4)

{z+z}\left\{ \sqrt{z+\sqrt{z}}\right\}, где G={z∈C:z≠0,z≠1}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq 0, z \neq 1\right\};

(5)

{πi+Ln⁡z3}\left\{ \sqrt[3]{\pi i+\operatorname {Ln} z}\right\}, где G={z∈C:z≠0,z≠−1}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq 0, z \neq -1\right\};

(6)

{1+Ln⁡z}\left\{ \sqrt{1+\sqrt{\operatorname {Ln} z}}\right\}, где G={z∈C:z≠0,z≠e}G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq 0, z \neq e\right\}.

Задача 20.20

Доказать, что сумма степенного ряда ∑n=0∞z2n\sum_{n = 0}^{\infty } z^{2^{n}} является полной аналитической функцией в круге сходимости B1(0)={z:∣z∣<1}B_{1}(0) = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}.

?
Задача 20.21

Доказать, что в случае, когда радиус сходимости степенного ряда ∑n=0+∞anzn\sum_{n = 0}^{+\infty } a_{n} z^{n} равен единице и все an⩾0a_{n} \geqslant 0, то такой ряд не может быть продолжен в точку z=1z = 1 (теорема Прингсхейма).

?
Задача 20.22

Доказать, что функция ff, определенная рядом

∑n=0+∞azn(a−z)n+1,a∈C\{0} \sum _{n = 0}^{+\infty } \frac{a z^{n}}{(a-z)^{n+1}}, \quad a \in \mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}

в круге его сходимости является непосредственным аналитическим продолжением функции gg, определяемой рядом ∑n=0+∞(2za)n\sum_{n = 0}^{+\infty }\left(\frac{2 z}{a}\right)^{n} в круге его сходимости.

?
Задача 20.23

Пусть функция ff регулярна в окрестности точки z=0z = 0, а последовательность {f(n)(z)}\left\{ f^{(n)}(z)\right\} сходится там равномерно и

lim⁡n→∞f(n)(0)=1 \lim _{n \rightarrow \infty } f^{(n)}(0) = 1

Доказать, что предельная функция этой последовательности аналитически продолжается в C\mathbb {C}.

?
§
21 · Особые точки полных аналитических функций[47/21%]
Задача 21.1

Найти и исследовать особые точки полных аналитических функций:

?
(1)

z2−1\sqrt{z^{2}-1};

(2)

1−z23\sqrt[3]{1-z^{2}};

(3)

sin⁡zz\frac{\sin \sqrt{z}}{\sqrt{z}};

(4)

Ln⁡z−1z+1\operatorname {Ln} \frac{z-1}{z+1};

(5)

12+z3\frac{1}{2+\sqrt[3]{z}};

(6)

Ln⁡sin⁡z\operatorname {Ln} \sin z;

(7)

ez−13\sqrt[3]{e^{z}-1};

(8)

12+Ln⁡z\frac{1}{2+\operatorname {Ln} z}.

Задача 21.2

Приведенные ниже функции аналитичны в кольце G={z:0<∣z∣<1}G = \left\{ z: 0 < \left|z\right| < 1\right\}. Определить характер точки ветвления z=0z = 0.

?
(1)

1z\frac{1}{\sqrt{z}};

(2)

h(z)\sqrt{h(z)}, где h(z)∈Ln⁡(1+z),h(0)=0h(z) \in \operatorname {Ln}(1+z), h(0) = 0;

(3)

Ln⁡z+1z\operatorname {Ln} \frac{z+1}{z};

(4)

z+z3\sqrt{z}+\sqrt[3]{z};

(5)

Ln⁡(z+z)\operatorname {Ln}(\sqrt{z}+z);

(6)

1Ln⁡z\frac{1}{\operatorname {Ln} z};

(7)

z2z^{\sqrt{2}};

(8)

Ln⁡zn\sqrt[n]{\operatorname {Ln} z};

(9)

sin⁡πz3\sqrt[3]{\sin \pi z};

(10)

Ln⁡Ln⁡z\operatorname {Ln} \operatorname {Ln} z;

(11)

Ln⁡ctg⁡πz2\operatorname {Ln} \operatorname {ctg} \frac{\pi z}{2};

(12)

e−Ln⁡ze^{-\sqrt{\operatorname {Ln} z}}.

Задача 21.3

Найти и исследовать особые точки полных аналитических функций:

?
(1)

e1/(z−1)e^{1 /(\sqrt{z}-1)};

(2)

11+Ln⁡z\frac{1}{1+\sqrt{\operatorname {Ln} z}};

(3)

zz4+1\frac{\sqrt{z}}{\sqrt[4]{z}+1};

(4)

Ln⁡1−z1+z\operatorname {Ln} \frac{1-\sqrt{z}}{1+\sqrt{z}};

(5)

z3−1\sqrt{\sqrt[3]{z}-1};

(6)

1zLn⁡11−z\frac{1}{z} \operatorname {Ln} \frac{1}{1-z}.

Задача 21.4

Указанные ниже функции аналитичны в плоскости с разрезом по отрезку [−1,1][-1,1]. Определить характер особой точки z=∞z = \infty.

?
(1)

z(z2−1)\sqrt{z\left(z^{2}-1\right)};

(2)

Ln⁡(z+z2−1)\operatorname {Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1}\right);

(3)

h(z)3\sqrt[3]{h(z)}, где h(z)∈Ln⁡z+1z−1;h(x)>0h(z) \in \operatorname {Ln} \frac{z+1}{z-1} ; h(x) > 0 при x>1x > 1;

(4)

LnLn⁡z\operatorname {LnLn} z;

(5)

Ln⁡z+g(z)2z\sqrt{\operatorname {Ln} \frac{z+g(z)}{2 z}}, где g(z)∈{z2−1};g(x)>0g(z) \in \left\{ \sqrt{z^{2}-1}\right\} ; g(x) > 0 при x>1x > 1;

(6)

Ln⁡z+g(z)2z3\sqrt[3]{\operatorname {Ln} \frac{z+g(z)}{2 z}}, где g(z)∈{z2−1};g(x)<0g(z) \in \left\{ \sqrt{z^{2}-1}\right\} ; g(x) < 0 при x>1x > 1;

Задача 21.5

Пусть z=az = a — точка ветвления конечного порядка для функций F(z)\mathcal{F}(z) и G(z)\mathcal{G}(z). Доказать, что для функций F(z)+G(z)\mathcal{F}(z)+\mathcal{G}(z) и F(z)G(z)\mathcal{F}(z) \mathcal{G}(z) она также является точкой ветвления конечного порядка, или изолированной особой точкой однозначного характера.

?
Задача 21.6

Пусть z=az = a — точка ветвления порядка mm для функции F(z)\mathcal{F}(z) и точка ветвления порядка nn для функции G(z)\mathcal{G}(z). Определить порядок точки ветвления z=az = a для функций F(z)+G(z)\mathcal{F}(z)+\mathcal{G}(z) и F(z)⋅G(z)\mathcal{F}(z) \cdot \mathcal{G}(z) в предположении, что mm и nn взаимно просты.

?
Задача 21.7

Решить предыдущую задачу, предположив, что mm и nn различны, но не обязательно взаимно просты.

?
Задача 21.8

Найти и исследовать особые точки полных аналитических функций:

?
(1)

z(1−z)23\sqrt[3]{z(1-z)^{2}};

(2)

Arctg⁡z\operatorname {Arctg} z;

(3)

Ln⁡(z+z2+1)\operatorname {Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}+1}\right);

(4)

(Arcsin⁡z)2(\operatorname {Arcsin} z)^{2};

(5)

Arcsin⁡z3\sqrt[3]{\operatorname {Arcsin} z};

(6)

eArctg⁡ze^{\operatorname {Arctg} z};

(7)

zArctg⁡z\sqrt{z \operatorname {Arctg} z};

(8)

sin⁡zz(1−z)\frac{\sin \sqrt{z}}{\sqrt{z(1-z)}}.

Задача 21.9

Пусть функция F(z)\mathcal{F}(z) аналитична в кольце G={z:r<∣z∣<R}G = \left\{ z: r < \left|z\right| < R\right\}, а (Br(a),fa)(B_{r}(a), f_{a}) — какой-либо элемент функции F(z)\mathcal{F}(z) с центром в точке a∈Ga \in G. Символом (Br(a),{fa}m)(B_{r}(a),\left\{ f_{a}\right\}_{m}) обозначим элемент, получаемый из элемента (Br(a),fa)\left(B_{r}(a), f_{a}\right) продолжением по окружности γ={z:∣z∣=∣a∣}\gamma = \left\{ z:\left|z\right| = \left|a\right|\right\}, проходимой mm раз против часовой стрелки. Доказать, что для nn-значности функции F(z)\mathcal{F}(z) в кольце GG необходимо и достаточно, чтобы {fa(z)}m≠fa(z),z∈Br(a)\left\{ f_{a}(z)\right\}_{m} \neq f_{a}(z), z \in B_{r}(a), при m=1,2,…,n−1m = 1,2, \ldots , n-1, а {fa(z)}n=fa(z),z∈Br(a)\left\{ f_{a}(z)\right\}_{n} = f_{a}(z), z \in B_{r}(a).

?
Задача 21.10

Пусть z=az = a — точка ветвления порядка nn для функции F(z)\mathcal{F}(z). Доказать, что выражение F(a+ζn)\mathcal{F}\left(a+\zeta^{n}\right) представляет собой nn функций, имеющих точку ζ=0\zeta = 0 изолированной особой точкой однозначного характера.

?
Задача 21.11

Доказать, что если функция F(z)\mathcal{F}(z) имеет точку z=az = a точкой ветвления порядка nn, то ее можно представить в виде

F(z)=f(z−an) \mathcal{F}(z) = f(\sqrt[n]{z-a})

где функция f(w)f(w) имеет точку w=0w = 0 изолированной особой точкой однозначного характера.

?
Задача 21.12

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в круге ∣z−a∣<r\left|z-a\right| < r, имеет в точке z=az = a нуль порядка mm и не имеет других нулей. Доказать, что выражение f(z)n\sqrt[n]{f(z)} представляет собой:

  1. если числа mm и nn взаимно просты, то функцию, аналитическую в кольце 0<∣z−a∣<r0 < \left|z-a\right| < r и имеющую в точке z=az = a алгебраическую точку ветвления порядка nn;

  2. если mm делится на nn, то nn различных функций, регулярных в круге ∣z−a∣<r\left|z-a\right| < r;

  3. если числа mm и nn имеют общий наибольший делитель p,1<p<np, 1 < p < n, то pp различных функций, аналитических в кольце 0<∣z−a∣<r0 < \left|z-a\right| < r и имеющих в точке z=az = a алгебраическую точку ветвления порядка n/pn / p.

?
Задача 21.13

Доказать, что утверждения а) и в) задачи 12 сохраняют силу и в случае, когда функция f(z)f(z) имеет в точке z=az = a полюс порядка mm и не имеет в остальных точках круга ∣z−a∣<r\left|z-a\right| < r ни нулей, ни полюсов.

?
Задача 21.14

Доказать, что функцию F(z)\mathcal{F}(z), имеющую в точке z=az = a алгебраическую точку ветвления порядка nn, можно представить в виде F(z)=f(z−an)\mathcal{F}(z) = f(\sqrt[n]{z-a}), где функция f(w)f(w) регулярна в точке w=0w = 0 или имеет в ней полюс.

?
Задача 21.15

Доказать, что функцию F(z)\mathcal{F}(z), имеющую в точке z=az = a алгебраическую точку ветвления порядка nn, можно представить в виде

F(z)=g0(z)+(z−a)1/ng1(z)+(z−a)2/ng2(z)+…++(z−a)(n−1)/ngn−1(z), \begin{aligned} \mathcal{F}(z) = & g_{0}(z)+(z-a)^{1 / n} g_{1}(z)+(z-a)^{2 / n} g_{2}(z)+\ldots + \\ & +(z-a)^{(n-1) / n} g_{n-1}(z), \end{aligned}

где функции gk(z)g_{k}(z) регулярны в точке z=az = a или имеют в ней полюсы.

?
Задача 21.16

Пусть z=az = a-алгебраическая точка ветвления функции F(z)\mathcal{F}(z). Доказать, что существует кольцо 0<∣z−a∣<δ0 < \left|z-a\right| < \delta, в котором все элементы функции F(z)\mathcal{F}(z) не обращаются в нуль.

?
Задача 21.17

Пусть z=az = a-алгебраическая точка ветвления функций F(z)\mathcal{F}(z) и G(z)\mathcal{G}(z). Доказать, что для функций

F(z)+G(z),F(z)G(z),F(z)G(z) \mathcal{F}(z)+\mathcal{G}(z), \quad \mathcal{F}(z) \mathcal{G}(z), \quad \frac{\mathcal{F}(z)}{\mathcal{G}(z)}

точка z=az = a может быть только или алгебраической точкой ветвления, или полюсом, или устранимой особой точкой.

?
Задача 21.18

Пусть z=az = a-алгебраическая точка ветвления функции F(z)\mathcal{F}(z) и lim⁡z→aF(z)=b\lim_{z \rightarrow a} \mathcal{F}(z) = b, а w=bw = b-алгебраическая точка ветвления функции G(w)\mathcal{G}(w). Доказать, что z=az = a-алгебраическая точка ветвления функции G[F(z)]\mathcal{G}[\mathcal{F}(z)].

?
Задача 21.19

Пусть z=az = a-алгебраическая точка ветвления функции F(z)\mathcal{F}(z) и lim⁡z→aF(z)=b\lim_{z \rightarrow a} \mathcal{F}(z) = b, а b≠∞b \neq \infty, а функция f(w)f(w) регулярна в точке w=bw = b и f′(b)≠0f^{\prime }(b) \neq 0. Доказать, что точка z=az = a является алгебраической точкой ветвления одного и того же порядка для функций f[F(z)]f[\mathcal{F}(z)] и F(z)\mathcal{F}(z) (если f′(b)=0f^{\prime }(b) = 0, то порядок точки ветвления для функции f[F(z)]f[\mathcal{F}(z)] может быть меньше, чем для функции F(z)\mathcal{F}(z); см. задачу 12).

?
Задача 21.20

Пусть z=az = a-алгебраическая точка ветвления второго порядка для функции F(z)\mathcal{F}(z) и lim⁡z→aF(z)=b\lim_{z \rightarrow a} \mathcal{F}(z) = b, а w=bw = b — алгебраическая точка ветвления третьего порядка для функции G(w)\mathcal{G}(w). Каким может оказаться порядок точки ветвления z=az = a для функции G[F(z)]\mathcal{G}[\mathcal{F}(z)] (указать все возможности)?

?
Задача 21.21

Решить предыдущую задачу для произвольных порядков ветвления mm и nn (для функций F(z)\mathcal{F}(z) и G(w)\mathcal{G}(w) соответственно).

?
Задача 21.22

Доказать, что если точка z=az = a является логарифмической точкой ветвления для функции F(z)\mathcal{F}(z) и алгебраической точкой ветвления для функции G(z)=eF(z)\mathcal{G}(z) = e^{\mathcal{F}(z)}, то предел G(z)\mathcal{G}(z) при z→az \rightarrow a может быть равен только или нулю, или бесконечности.

?
Задача 21.23

Пусть функция F(z)\mathcal{F}(z) аналитична в кольце r<∣z−a∣<Rr < \left|z-a\right| < R. Доказать, что выражение F(a+eζ)\mathcal{F}\left(a+e^{\zeta }\right) представляет собой совокупность конечного или бесконечного числа функций, регулярных в полосе ln⁡r<Re(ζ)<ln⁡R\ln r < \mathrm{Re}\left(\zeta \right) < \ln R.

?
Задача 21.24

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в области GG, ограниченной простой кусочно-гладкой кривой, а кривая γ\gamma лежит в области GG, за исключением ее конца ζ\zeta, расположенного на границе этой области. Доказать, что если при некотором kk

f(k)(z)→∞(z→ζ,z∈γ) f^{(k)}(z) \rightarrow \infty \quad (z \rightarrow \zeta , z \in \gamma )

то точка ζ\zeta — особая точка функции f(z)f(z).

?
Задача 21.25

Используя результат задачи 24, доказать, что все регулярные ветви приводимых ниже функций в области GG имеют точку ζ\zeta своей особой точкой (точка ζ\zeta и область GG указаны в скобках после формулы для функции).

?
(1)

Arctg⁡z(ζ=i,ζ=−i;G={z:∣z∣<1})\operatorname {Arctg} z(\zeta = i, \zeta = -i ; G = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} );

(2)

Ln⁡(z+1+z2)(ζ=i;ζ=−i,ζ=∞;G={z:Re(z)>0})\operatorname {Ln}\left(z+\sqrt{1+z^{2}}\right)(\zeta = i ; \zeta = -i, \zeta = \infty ; G = \left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > 0\right\} );

(3)

Arcsin⁡z(ζ=1,ζ=−1;ζ=∞;G={z:Im(z)>0})\operatorname {Arcsin} z(\zeta = 1, \zeta = -1 ; \zeta = \infty ; G = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} );

(4)

z3Ln⁡z(ζ=0;G={z:∣z−1∣<1})z^{3} \operatorname {Ln} z(\zeta = 0 ; G = \left\{ z:\left|z-1\right| < 1\right\} ).

Задача 21.26

Доказать, что все регулярные в области GG ветви приводимых ниже функций имеют особую точку в бесконечности (область GG указана в скобках):

?
(1)

1z3(G={z:Im(z)>0})\frac{1}{\sqrt[3]{z}}(G = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} ).

(2)

1Ln⁡z(G={z:Re(z)>1})\frac{1}{\operatorname {Ln} z}(G = \left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > 1\right\} ).

(3)

1z3Ln⁡z(G={z:Im(z)>0})\frac{1}{z^{3} \operatorname {Ln} z}(G = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} ).

Указание. Исследовать точку ζ=0\zeta = 0 для функции f(1/ζ)f(1 / \zeta ).

Задача 21.27

Доказать, что функция e−(Ln⁡z)2e^{-(\operatorname {Ln} z)^{2}} допускает выделение регулярных ветвей в полуплоскости Re(z)>0\mathrm{Re}\left(z\right) > 0 и что каждая из ветвей имеет особые точки z=0z = 0 и z=∞z = \infty.

?
Задача 21.28

Функция (1+iz)−2(1+i \sqrt{z})^{-2} имеет две ветви, регулярные в верхней полуплоскости. Доказать, что точка z=∞z = \infty является особой точкой для обеих ветвей, а точка z=−1z = -1 — только для одной из них.

?
Задача 21.29

Пусть f(z)f(z) — регулярная ветвь функции (1+iz)−2(1+i \sqrt{z})^{-2}, определяемая условием z>0\sqrt{z} > 0 при z>0z > 0. Доказать, что если функцию f(z)f(z) рассматривать только как функцию в верхней полуплоскости, то точка z=−1z = -1 является для нее особой точкой, а если как функцию только в нижней полуплоскости, то не является особой.

?
Задача 21.30

Доказать, что функция f(z)=∫0∞e−tz1+t2dtf(z) = \int_{0}^{\infty } \frac{e^{-t z}}{\sqrt{1+t^{2}}} d t регулярна в полуплоскости Re(z)>0\mathrm{Re}\left(z\right) > 0 и что точка z=0z = 0 является для нее особой точкой.

?
Задача 21.31

Пусть функция φ(t)\varphi (t), непрерывная и положительная при t⩾0t \geqslant 0, удовлетворяет условию

−Mln⁡t⩽ln⁡φ(t)⩽Mln⁡t(t⩾1). -M \ln t \leqslant \ln \varphi (t) \leqslant M \ln t \quad (t \geqslant 1).

Доказать, что функция f(z)=∫0∞φ(t)e−tzdtf(z) = \int_{0}^{\infty } \varphi (t) e^{-t z} d t регулярна в полуплоскости Re(z)>0\mathrm{Re}\left(z\right) > 0, и что точка z=0z = 0 является для нее особой точкой.

?
Задача 21.32

Пусть функция φ(t)\varphi (t) непрерывна при t⩾0t \geqslant 0 и удовлетворяет условию

∣φ(t)−eiαt∣⩽Me−δt,t⩾0(δ>0,−∞<α<∞). \left|\varphi (t)-e^{i \alpha t}\right| \leqslant M e^{-\delta t}, \quad t \geqslant 0 \quad (\delta > 0,-\infty < \alpha < \infty ).

Доказать, что функцию f(z)=∫0∞φ(t)e−tzdtf(z) = \int_{0}^{\infty } \varphi (t) e^{-t z} d t можно аналитически продолжить на полуплоскость Re(z)>−δ\mathrm{Re}\left(z\right) > -\delta с выколотой точкой z=iαz = i \alpha, в которой эта функция имеет простой полюс с главной частью 1z−iα\frac{1}{z-i \alpha }.

?
Задача 21.33

Доказать, что аналитическое продолжение каждой из следующих функций не имеет во всей плоскости никаких особых точек, кроме полюсов. Найти все полюсы этих функций и главные части в этих полюсах.

?
(1)

∫0∞e−tz1+e−αtdt,α>0\int_{0}^{\infty } \frac{e^{-t z}}{1+e^{-\alpha t}} d t, \alpha > 0;

(2)

∫0∞te−tz(1+e−αt)2dt,α>0\int_{0}^{\infty } \frac{t e^{-t z}}{\left(1+e^{-\alpha t}\right)^{2}} d t, \alpha > 0;

(3)

∫0∞e−tz1+te−tdt\int_{0}^{\infty } \frac{e^{-t z}}{1+t e^{-t}} d t;

(4)

∫0∞e−tz1+αe−t+βe−t2dt,α>0,β>0\int_{0}^{\infty } \frac{e^{-t z}}{1+\alpha e^{-t}+\beta e^{-t^{2}}} d t, \alpha > 0, \beta > 0.

Задача 21.34

Пусть функция φ(t)\varphi (t) непрерывна и положительна на отрезке [0,1][0,1]. Доказать, что функция f(z)=∫01φ(t)t−zdtf(z) = \int_{0}^{1} \frac{\varphi (t)}{t-z} d t, регулярная при Im(z)>0\mathrm{Im}\left(z\right) > 0 (и даже во всей плоскости с разрезом по отрезку [0,1][0,1]), имеет особые точки z=0z = 0 и z=1z = 1.

?
Задача 21.35

Пусть функция φ(t)\varphi (t) регулярная в некоторой области, содержащей отрезок [0,1][0,1]. Доказать, что функция f(z)=∫01φ(t)t−zdtf(z) = \int_{0}^{1} \frac{\varphi (t)}{t-z} d t, регулярная при Im(z)>0\mathrm{Im}\left(z\right) > 0, имеет особые точки z=0z = 0 и z=1z = 1.

?
Задача 21.36

Пусть радиус сходимости ряда f(z)=∑n=0∞anznf(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} z^{n} равен единице и все коэффициенты ana_{n} действительны. Обозначим Sn=∑k=0nakS_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k}. Доказать, что если Sn→+∞S_{n} \rightarrow +\infty или Sn→−∞S_{n} \rightarrow -\infty, то точка z=1z = 1 — особая.

?
Задача 21.37

Доказать, что если на окружности круга сходимости ряда f(z)=∑n=0∞anznf(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} z^{n} имеется хотя бы один полюс f(z)f(z), то ряд расходится во всех точках этой окружности.

?
Задача 21.38

Пусть последовательность {cn},n=0,1,2,…\left\{ c_{n}\right\} , n = 0,1,2, \ldots удовлетворяет условию

∣cn+Ae−i(n+1)α∣<MRn,n=0,1,2,…,(R>1,−∞<α<∞). \left|c_{n}+A e^{-i(n+1) \alpha }\right| < \frac{M}{R^{n}}, \quad n = 0,1,2, \ldots , \quad (R > 1,-\infty < \alpha < \infty ).

Доказать, что функцию f(z)=∑n=0∞cnznf(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n} можно аналитически продолжить в круг ∣z∣<R\left|z\right| < R с выколотой точкой z=eiαz = e^{i \alpha }, причем в точке z=eiαz = e^{i \alpha } функция f(z)f(z) имеет простой полюс с главной частью A(z−eiα)−1A\left(z-e^{i \alpha }\right)^{-1}.

?
Задача 21.39

Доказать, что если функция f(z)f(z) регулярна в круге ∣z∣⩽R\left|z\right| \leqslant R, за исключением простого полюса в точке ReiαR e^{i \alpha }, с главной частью Az−Reiα\frac{A}{z-R e^{i \alpha }}, то

f(z)=∑n=0∞cnzn f(z) = \sum _{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}

где

∣cn+AR−n−1e−i(n+1)α∣<M(R+ε)n,n=0,1,2,…(ε>0) \left|c_{n}+A R^{-n-1} e^{-i(n+1) \alpha }\right| < \frac{M}{(R+\varepsilon )^{n}}, \quad n = 0,1,2, \ldots \quad (\varepsilon > 0)
?
Задача 21.40

Пусть ряд f(z)=∑n=0∞anznf(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} z^{n} имеет на границе круга сходимости лишь одну особую точку, а именно полюс z=z0z = z_{0} порядка mm. Доказать, что an=Anm−1z0n[1+ε(n)]a_{n} = \frac{A n^{m-1}}{z_{0}^{n}}[1+\varepsilon (n)], где ε(n)→0\varepsilon (n) \rightarrow 0, при n→∞,An \rightarrow \infty , A — постоянная, A≠0A \neq 0.

?
Задача 21.41

Доказать, что если на границе круга сходимости степенного ряда f(z)=∑n=0∞anznf(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} z^{n} лежит лишь одна особая точка z=z0z = z_{0}, являющаяся полюсом для f(z)f(z), то существует предел

lim⁡n→∞anan+1=z0 \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{a_{n+1}} = z_{0}
?
Задача 21.42

Пусть радиус сходимости ряда f(z)=∑n=0∞cnznf(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n} равен R,0<R<∞R, 0 < R < \infty. Введем обозначение:

ν(r,φ)=lim‾⁡n→∞∣f(n)(reiφ)n!∣1/n,0<r<R,0⩽φ<2π \nu (r, \varphi ) = \varlimsup _{n \rightarrow \infty }\left|\frac{f^{(n)}\left(r e^{i \varphi }\right)}{n!}\right|^{1 / n}, \quad 0 < r < R, \quad 0 \leqslant \varphi < 2 \pi

Доказать, что:

  1. функция ν(r,φ)\nu (r, \varphi ) является непрерывной функцией rr и φ\varphi и удовлетворяет неравенству ν(r,φ)⩽(R−r)−1\nu (r, \varphi ) \leqslant (R-r)^{-1};

  2. max⁡0⩽φ<2πν(r,φ)=1R−r\max_{0 \leqslant \varphi < 2 \pi } \nu (r, \varphi ) = \frac{1}{R-r};

  3. если ν(r,φ)=1R−r\nu (r, \varphi ) = \frac{1}{R-r}, то точка z=Reiφz = R e^{i \varphi } является особой точкой функции f(z)f(z);

  4. если ν(r,φ)<1R−r\nu (r, \varphi ) < \frac{1}{R-r}, то точка z=Reiφz = R e^{i \varphi } не является особой точкой функции f(z)f(z).

?
Задача 21.43

Пусть f(z)=∑n=0∞cnzn,lim‾⁡n→∞∣cn∣1/n=1f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}, \varlimsup_{n \rightarrow \infty }\left|c_{n}\right|^{1 / n} = 1, и все коэффициенты cnc_{n} неотрицательны. Доказать, что точка z=1z = 1 — особая точка функции f(z)f(z).

?
Задача 21.44

Доказать, что утверждение задачи 43 остается в силе и при более слабых предположениях:

Re(cn)⩾0(n>n0),lim‾⁡n→∞(Re(cn))1/n=1 \mathrm{Re}\left(c_{n}\right) \geqslant 0 \quad \left(n > n_{0}\right), \quad \varlimsup _{n \rightarrow \infty }\left(\mathrm{Re}\left(c_{n}\right)\right)^{1 / n} = 1
?
Задача 21.45

Пусть pp и qq — некоторые целые положительные числа, а радиус сходимости ряда f(z)=∑n=0∞cnznp+qf(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n p+q} равен единице. Доказать, что:

  1. функция f(z)f(z) имеет не менее pp особых точек на окружности ∣z∣=1\left|z\right| = 1;

  2. если z0=eiαz_{0} = e^{i \alpha } — особая точка функции f(z)f(z), то точки

    zk=ei(α+(2πk/p)),k=1,2,…,p−1 z_{k} = e^{i(\alpha +(2 \pi k / p))}, \quad k = 1,2, \ldots , p-1

    также являются ее особыми точками.

?
Задача 21.46

Пусть радиус сходимости ряда f(z)=∑n=0∞cnznf(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n} равен единице и пусть cn=0c_{n} = 0, когда nn делится на pp (здесь pp-целое положительное число). Доказать, что:

  1. функция f(z)f(z) имеет на окружности ∣z∣=1\left|z\right| = 1 не менее двух особых точек;

  2. если z0=eiαz_{0} = e^{i \alpha } — особая точка функции f(z)f(z), то среди точек

    zk=ei(α+(2πk/p)),k=1,2,…,p−1 z_{k} = e^{i(\alpha +(2 \pi k / p))}, \quad k = 1,2, \ldots , p-1

    есть еще хотя бы одна ее особая точка.

?
Задача 21.47

Доказать, что каждая точка окружности ∣z∣=1\left|z\right| = 1 является особой точкой для функций

?
(1)

f(z)=∑n=0∞z2nf(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } z^{2^{n}}.

(2)

f(z)=∑n=0∞zn!f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } z^{n!}.