Аналитическое продолжение. Полные аналитические функции.

Доказать, что функция, регулярная в области $G$, является функцией, аналитической в области $G$.

Доказать, что если функция, аналитическая в области $G$, не зависит от формы кусочно-гладкой ориентированной кривой, вдоль которой ведется аналитическое продолжение, а зависит только от ее конца, то эта функция регулярна в области $G$.

Пусть $F_{1}$ и $F_{2}$ — две аналитические функции в области $G$. Доказать, что функции $F_{1}+F_{2}$ и $F_{1} \cdot F_{2}$, определяемые элементами вида $(B_{r}(a), f_{1}+f_{2})$, $\left(B_{r}(a), f_{1} \cdot f_{2}\right)$, где $\left(B_{r}(a), f_{1}\right)$ и $\left(B_{r}(a), f_{2}\right)$ — любые элементы $F_{1}$ и $F_{2}$, также являются аналитическими функциями в $G$.

Пусть $F_{1}$ и $F_{2}$ — две аналитические функции в области $G$, определяемые элементами вида $(B_{r}(a), f_{1})$ и $(B_{r}(a), f_{2})$, причем для любого элемента $\left(B_{r}(a), f_{2}\right)$ функции $F_{2}$ регулярная функция $f_{2}(z) \neq 0, z \in B_{r}(a)$. Доказать, что функция $\frac{F_{1}}{F_{2}}$, определяемая элементами вида $\left(B_{r}(a), \frac{f_{1}}{f_{2}}\right)$, аналитична в области $G$.

Пусть $F$ — аналитическая функция в области $G$, определяемая элементами вида $(B_{r}(a), f)$. Пусть $g: \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ — регулярная функция на плоскости $\mathbb {C}$. Доказать, что функция, определяемая элементами вида $\left(B_{r}(a), g(f)\right)$, является аналитической в области $G$.

Определим для всякой точки $a \in \mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}$ и для всякой кусочно-гладкой ориентированной кривой $\gamma_{a}$ с началом в точке 1 и концом в точке $a$, причем такой, что $0 \notin \gamma_{a}$, величину

и функцию $h_{\gamma a}: B_{\left|a\right|}(a) \rightarrow \mathbb {C}$ вида

Доказать, что семейство элементов

образует функцию (обозначаемую $\operatorname {Ln} z$), аналитическую во всей комплексной плоскости с выколотой точкой $z = 0$.

Пусть $\alpha$ — произвольное комплексное число. Доказать, что семейство элементов

где функция $h_{\gamma a}$ определена в задаче 6, образует функцию $z^{\alpha }$, аналитическую в $\mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}$.

Определим для всякой точки $a \in \mathbb {C}, a \neq i, a \neq -i$, и для всякой кусочно-гладкой ориентированной кривой $\gamma_{a}$ с началом в точке 0 и концом в точке $a$, причем такой, что $i \notin \gamma_{a},-i \notin \gamma_{a}$, величину

и функцию $g_{\gamma_{a}}: B_{r_{a}}(a) \rightarrow \mathbb {C}$ вида

Доказать, что семейство элементов

образует функцию (обозначаемую $\operatorname {Arctg} z)$, аналитическую в $\overline{\mathbb {C}} \backslash (\left\{ i\right\} \cup \left\{ -i\right\} )$.

Пусть функция $\varphi (z)$ регулярна в области $G$ и $z_{0}$ — некоторая точка этой области. Для всякой точки $a \in G$ и всякой кусочно-гладкой кривой $\gamma_{a} \subset G$ с началом в точке $z_{0}$ и концом в точке $a$, определим величину

и функцию $f_{\gamma_{a}}: B_{r}(a) \rightarrow \mathbb {C}$ вида

где $r_{a} > 0$, такое, что $B_{r_{a}}(a) \subset G$. Доказать, что семейство элементов

образует функцию, аналитическую в области $G$.

Доказать, что множество значений, принимаемых элементами аналитической функции $\operatorname {Ln} z($ см. задачу 6) в произвольной точке $a \in \mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}$, совпадает с множеством значений выражения

Доказать, что множество значений, принимаемых элементами аналитической функции $z^{\alpha }$ (см. задачу 7) в произвольной точке $a \in \mathbb {C} \backslash \left\{ 0\right\}$, совпадает с множеством значений выражения

Доказать, что множество значений, принимаемых элементами аналитической функции $\operatorname {Arctg} z$ (см. пример 8) в произвольной точке $a$ из области $G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \neq \pm i\right\}$ совпадает с множеством значений выражения

Для следующих многозначных выражений и областей $G$ найти аналитические в области $G$ функции, которые изображаются этими выражениями:

Пусть функция $f: G \rightarrow \mathbb {C}$ регулярна и отлична от нуля в области $G$.

Доказать, что если начальные элементы двух аналитических в области $G$ функций эквивалентны, то эти функции тождественно равны.

Доказать, что если какой-либо элемент аналитической в области $G$ функции эквивалентен нулю, то эта функция тождественно равна нулю.

Пусть начальный элемент $(B_{r}(a), f_{0})$ порождает в области $G \subset \mathbb {C}$ аналитическую функцию. Доказать, что в области $G$ существует аналитическая функция с начальным элементом

Доказать, что существует функция, аналитическая во всей комплексной плоскости с выколотыми точками $z = 0$ и $z = 1$, которая изображается формулой $\operatorname {LnLn} z$.

Доказать существование функций, изображаемых следующими многозначными формулами и аналитических в данных областях $G$:

Доказать, что сумма степенного ряда $\sum_{n = 0}^{\infty } z^{2^{n}}$ является полной аналитической функцией в круге сходимости $B_{1}(0) = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}$.

Доказать, что в случае, когда радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n = 0}^{+\infty } a_{n} z^{n}$ равен единице и все $a_{n} \geqslant 0$, то такой ряд не может быть продолжен в точку $z = 1$ (теорема Прингсхейма).

Доказать, что функция $f$, определенная рядом

в круге его сходимости является непосредственным аналитическим продолжением функции $g$, определяемой рядом $\sum_{n = 0}^{+\infty }\left(\frac{2 z}{a}\right)^{n}$ в круге его сходимости.

Пусть функция $f$ регулярна в окрестности точки $z = 0$, а последовательность $\left\{ f^{(n)}(z)\right\}$ сходится там равномерно и

Доказать, что предельная функция этой последовательности аналитически продолжается в $\mathbb {C}$.