Особые точки полных аналитических функций

Найти и исследовать особые точки полных аналитических функций:

Приведенные ниже функции аналитичны в кольце $G = \left\{ z: 0 < \left|z\right| < 1\right\}$. Определить характер точки ветвления $z = 0$.

Найти и исследовать особые точки полных аналитических функций:

Указанные ниже функции аналитичны в плоскости с разрезом по отрезку $[-1,1]$. Определить характер особой точки $z = \infty$.

Пусть $z = a$ — точка ветвления конечного порядка для функций $\mathcal{F}(z)$ и $\mathcal{G}(z)$. Доказать, что для функций $\mathcal{F}(z)+\mathcal{G}(z)$ и $\mathcal{F}(z) \mathcal{G}(z)$ она также является точкой ветвления конечного порядка, или изолированной особой точкой однозначного характера.

Пусть $z = a$ — точка ветвления порядка $m$ для функции $\mathcal{F}(z)$ и точка ветвления порядка $n$ для функции $\mathcal{G}(z)$. Определить порядок точки ветвления $z = a$ для функций $\mathcal{F}(z)+\mathcal{G}(z)$ и $\mathcal{F}(z) \cdot \mathcal{G}(z)$ в предположении, что $m$ и $n$ взаимно просты.

Решить предыдущую задачу, предположив, что $m$ и $n$ различны, но не обязательно взаимно просты.

Найти и исследовать особые точки полных аналитических функций:

Пусть функция $\mathcal{F}(z)$ аналитична в кольце $G = \left\{ z: r < \left|z\right| < R\right\}$, а $(B_{r}(a), f_{a})$ — какой-либо элемент функции $\mathcal{F}(z)$ с центром в точке $a \in G$. Символом $(B_{r}(a),\left\{ f_{a}\right\}_{m})$ обозначим элемент, получаемый из элемента $\left(B_{r}(a), f_{a}\right)$ продолжением по окружности $\gamma = \left\{ z:\left|z\right| = \left|a\right|\right\}$, проходимой $m$ раз против часовой стрелки. Доказать, что для $n$-значности функции $\mathcal{F}(z)$ в кольце $G$ необходимо и достаточно, чтобы $\left\{ f_{a}(z)\right\}_{m} \neq f_{a}(z), z \in B_{r}(a)$, при $m = 1,2, \ldots , n-1$, а $\left\{ f_{a}(z)\right\}_{n} = f_{a}(z), z \in B_{r}(a)$.

Пусть $z = a$ — точка ветвления порядка $n$ для функции $\mathcal{F}(z)$. Доказать, что выражение $\mathcal{F}\left(a+\zeta^{n}\right)$ представляет собой $n$ функций, имеющих точку $\zeta = 0$ изолированной особой точкой однозначного характера.

Доказать, что если функция $\mathcal{F}(z)$ имеет точку $z = a$ точкой ветвления порядка $n$, то ее можно представить в виде

где функция $f(w)$ имеет точку $w = 0$ изолированной особой точкой однозначного характера.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z-a\right| < r$, имеет в точке $z = a$ нуль порядка $m$ и не имеет других нулей. Доказать, что выражение $\sqrt[n]{f(z)}$ представляет собой:

1. если числа $m$ и $n$ взаимно просты, то функцию, аналитическую в кольце $0 < \left|z-a\right| < r$ и имеющую в точке $z = a$ алгебраическую точку ветвления порядка $n$;

2. если $m$ делится на $n$, то $n$ различных функций, регулярных в круге $\left|z-a\right| < r$;

3. если числа $m$ и $n$ имеют общий наибольший делитель $p, 1 < p < n$, то $p$ различных функций, аналитических в кольце $0 < \left|z-a\right| < r$ и имеющих в точке $z = a$ алгебраическую точку ветвления порядка $n / p$.

Доказать, что утверждения а) и в) задачи 12 сохраняют силу и в случае, когда функция $f(z)$ имеет в точке $z = a$ полюс порядка $m$ и не имеет в остальных точках круга $\left|z-a\right| < r$ ни нулей, ни полюсов.

Доказать, что функцию $\mathcal{F}(z)$, имеющую в точке $z = a$ алгебраическую точку ветвления порядка $n$, можно представить в виде $\mathcal{F}(z) = f(\sqrt[n]{z-a})$, где функция $f(w)$ регулярна в точке $w = 0$ или имеет в ней полюс.

Доказать, что функцию $\mathcal{F}(z)$, имеющую в точке $z = a$ алгебраическую точку ветвления порядка $n$, можно представить в виде

где функции $g_{k}(z)$ регулярны в точке $z = a$ или имеют в ней полюсы.

Пусть $z = a$-алгебраическая точка ветвления функции $\mathcal{F}(z)$. Доказать, что существует кольцо $0 < \left|z-a\right| < \delta$, в котором все элементы функции $\mathcal{F}(z)$ не обращаются в нуль.

Пусть $z = a$-алгебраическая точка ветвления функций $\mathcal{F}(z)$ и $\mathcal{G}(z)$. Доказать, что для функций

точка $z = a$ может быть только или алгебраической точкой ветвления, или полюсом, или устранимой особой точкой.

Пусть $z = a$-алгебраическая точка ветвления функции $\mathcal{F}(z)$ и $\lim_{z \rightarrow a} \mathcal{F}(z) = b$, а $w = b$-алгебраическая точка ветвления функции $\mathcal{G}(w)$. Доказать, что $z = a$-алгебраическая точка ветвления функции $\mathcal{G}[\mathcal{F}(z)]$.

Пусть $z = a$-алгебраическая точка ветвления функции $\mathcal{F}(z)$ и $\lim_{z \rightarrow a} \mathcal{F}(z) = b$, а $b \neq \infty$, а функция $f(w)$ регулярна в точке $w = b$ и $f^{\prime }(b) \neq 0$. Доказать, что точка $z = a$ является алгебраической точкой ветвления одного и того же порядка для функций $f[\mathcal{F}(z)]$ и $\mathcal{F}(z)$ (если $f^{\prime }(b) = 0$, то порядок точки ветвления для функции $f[\mathcal{F}(z)]$ может быть меньше, чем для функции $\mathcal{F}(z)$; см. задачу 12).

Пусть $z = a$-алгебраическая точка ветвления второго порядка для функции $\mathcal{F}(z)$ и $\lim_{z \rightarrow a} \mathcal{F}(z) = b$, а $w = b$ — алгебраическая точка ветвления третьего порядка для функции $\mathcal{G}(w)$. Каким может оказаться порядок точки ветвления $z = a$ для функции $\mathcal{G}[\mathcal{F}(z)]$ (указать все возможности)?

Решить предыдущую задачу для произвольных порядков ветвления $m$ и $n$ (для функций $\mathcal{F}(z)$ и $\mathcal{G}(w)$ соответственно).

Доказать, что если точка $z = a$ является логарифмической точкой ветвления для функции $\mathcal{F}(z)$ и алгебраической точкой ветвления для функции $\mathcal{G}(z) = e^{\mathcal{F}(z)}$, то предел $\mathcal{G}(z)$ при $z \rightarrow a$ может быть равен только или нулю, или бесконечности.

Пусть функция $\mathcal{F}(z)$ аналитична в кольце $r < \left|z-a\right| < R$. Доказать, что выражение $\mathcal{F}\left(a+e^{\zeta }\right)$ представляет собой совокупность конечного или бесконечного числа функций, регулярных в полосе $\ln r < \mathrm{Re}\left(\zeta \right) < \ln R$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в области $G$, ограниченной простой кусочно-гладкой кривой, а кривая $\gamma$ лежит в области $G$, за исключением ее конца $\zeta$, расположенного на границе этой области. Доказать, что если при некотором $k$

то точка $\zeta$ — особая точка функции $f(z)$.

Используя результат задачи 24, доказать, что все регулярные ветви приводимых ниже функций в области $G$ имеют точку $\zeta$ своей особой точкой (точка $\zeta$ и область $G$ указаны в скобках после формулы для функции).

Доказать, что все регулярные в области $G$ ветви приводимых ниже функций имеют особую точку в бесконечности (область $G$ указана в скобках):

Доказать, что функция $e^{-(\operatorname {Ln} z)^{2}}$ допускает выделение регулярных ветвей в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) > 0$ и что каждая из ветвей имеет особые точки $z = 0$ и $z = \infty$.

Функция $(1+i \sqrt{z})^{-2}$ имеет две ветви, регулярные в верхней полуплоскости. Доказать, что точка $z = \infty$ является особой точкой для обеих ветвей, а точка $z = -1$ — только для одной из них.

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь функции $(1+i \sqrt{z})^{-2}$, определяемая условием $\sqrt{z} > 0$ при $z > 0$. Доказать, что если функцию $f(z)$ рассматривать только как функцию в верхней полуплоскости, то точка $z = -1$ является для нее особой точкой, а если как функцию только в нижней полуплоскости, то не является особой.

Доказать, что функция $f(z) = \int_{0}^{\infty } \frac{e^{-t z}}{\sqrt{1+t^{2}}} d t$ регулярна в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) > 0$ и что точка $z = 0$ является для нее особой точкой.

Пусть функция $\varphi (t)$, непрерывная и положительная при $t \geqslant 0$, удовлетворяет условию

Доказать, что функция $f(z) = \int_{0}^{\infty } \varphi (t) e^{-t z} d t$ регулярна в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) > 0$, и что точка $z = 0$ является для нее особой точкой.

Пусть функция $\varphi (t)$ непрерывна при $t \geqslant 0$ и удовлетворяет условию

Доказать, что функцию $f(z) = \int_{0}^{\infty } \varphi (t) e^{-t z} d t$ можно аналитически продолжить на полуплоскость $\mathrm{Re}\left(z\right) > -\delta$ с выколотой точкой $z = i \alpha$, в которой эта функция имеет простой полюс с главной частью $\frac{1}{z-i \alpha }$.

Доказать, что аналитическое продолжение каждой из следующих функций не имеет во всей плоскости никаких особых точек, кроме полюсов. Найти все полюсы этих функций и главные части в этих полюсах.

Пусть функция $\varphi (t)$ непрерывна и положительна на отрезке $[0,1]$. Доказать, что функция $f(z) = \int_{0}^{1} \frac{\varphi (t)}{t-z} d t$, регулярная при $\mathrm{Im}\left(z\right) > 0$ (и даже во всей плоскости с разрезом по отрезку $[0,1]$), имеет особые точки $z = 0$ и $z = 1$.

Пусть функция $\varphi (t)$ регулярная в некоторой области, содержащей отрезок $[0,1]$. Доказать, что функция $f(z) = \int_{0}^{1} \frac{\varphi (t)}{t-z} d t$, регулярная при $\mathrm{Im}\left(z\right) > 0$, имеет особые точки $z = 0$ и $z = 1$.

Пусть радиус сходимости ряда $f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} z^{n}$ равен единице и все коэффициенты $a_{n}$ действительны. Обозначим $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k}$. Доказать, что если $S_{n} \rightarrow +\infty$ или $S_{n} \rightarrow -\infty$, то точка $z = 1$ — особая.

Доказать, что если на окружности круга сходимости ряда $f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} z^{n}$ имеется хотя бы один полюс $f(z)$, то ряд расходится во всех точках этой окружности.

Пусть последовательность $\left\{ c_{n}\right\} , n = 0,1,2, \ldots$ удовлетворяет условию

Доказать, что функцию $f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}$ можно аналитически продолжить в круг $\left|z\right| < R$ с выколотой точкой $z = e^{i \alpha }$, причем в точке $z = e^{i \alpha }$ функция $f(z)$ имеет простой полюс с главной частью $A\left(z-e^{i \alpha }\right)^{-1}$.

Доказать, что если функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| \leqslant R$, за исключением простого полюса в точке $R e^{i \alpha }$, с главной частью $\frac{A}{z-R e^{i \alpha }}$, то

где

Пусть ряд $f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} z^{n}$ имеет на границе круга сходимости лишь одну особую точку, а именно полюс $z = z_{0}$ порядка $m$. Доказать, что $a_{n} = \frac{A n^{m-1}}{z_{0}^{n}}[1+\varepsilon (n)]$, где $\varepsilon (n) \rightarrow 0$, при $n \rightarrow \infty , A$ — постоянная, $A \neq 0$.

Доказать, что если на границе круга сходимости степенного ряда $f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} z^{n}$ лежит лишь одна особая точка $z = z_{0}$, являющаяся полюсом для $f(z)$, то существует предел

Пусть радиус сходимости ряда $f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}$ равен $R, 0 < R < \infty$. Введем обозначение:

Доказать, что:

1. функция $\nu (r, \varphi )$ является непрерывной функцией $r$ и $\varphi$ и удовлетворяет неравенству $\nu (r, \varphi ) \leqslant (R-r)^{-1}$;

2. $\max_{0 \leqslant \varphi < 2 \pi } \nu (r, \varphi ) = \frac{1}{R-r}$;

3. если $\nu (r, \varphi ) = \frac{1}{R-r}$, то точка $z = R e^{i \varphi }$ является особой точкой функции $f(z)$;

4. если $\nu (r, \varphi ) < \frac{1}{R-r}$, то точка $z = R e^{i \varphi }$ не является особой точкой функции $f(z)$.

Пусть $f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}, \varlimsup_{n \rightarrow \infty }\left|c_{n}\right|^{1 / n} = 1$, и все коэффициенты $c_{n}$ неотрицательны. Доказать, что точка $z = 1$ — особая точка функции $f(z)$.

Доказать, что утверждение задачи 43 остается в силе и при более слабых предположениях:

Пусть $p$ и $q$ — некоторые целые положительные числа, а радиус сходимости ряда $f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n p+q}$ равен единице. Доказать, что:

1. функция $f(z)$ имеет не менее $p$ особых точек на окружности $\left|z\right| = 1$;

2. если $z_{0} = e^{i \alpha }$ — особая точка функции $f(z)$, то точки

   $$z_{k} = e^{i(\alpha +(2 \pi k / p))}, \quad k = 1,2, \ldots , p-1$$

   также являются ее особыми точками.

Пусть радиус сходимости ряда $f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty } c_{n} z^{n}$ равен единице и пусть $c_{n} = 0$, когда $n$ делится на $p$ (здесь $p$-целое положительное число). Доказать, что:

1. функция $f(z)$ имеет на окружности $\left|z\right| = 1$ не менее двух особых точек;

2. если $z_{0} = e^{i \alpha }$ — особая точка функции $f(z)$, то среди точек

   $$z_{k} = e^{i(\alpha +(2 \pi k / p))}, \quad k = 1,2, \ldots , p-1$$

   есть еще хотя бы одна ее особая точка.

Доказать, что каждая точка окружности $\left|z\right| = 1$ является особой точкой для функций