17

Выделение регулярных ветвей

[15/0%]
LaTeX
Задача 17.1

Доказать, что существует единственная функция h(z)h(z), непрерывная на всей комплексной плоскости с разрезом по положительной части действительной оси и удовлетворяющая условиям:

h(z)∈Ln⁡z,h(−1)=πi. h(z) \in \operatorname {Ln} z, \quad h(-1) = \pi i.

Доказать, что эта функция регулярна в области ее определения.

?
Задача 17.2

Пусть функция f:G→Cf: G \rightarrow \mathbb {C} регулярна в области GG и f(z)≠0∀z∈Gf(z) \neq 0 \quad \forall z \in G. Пусть функция h:G→Ch: G \rightarrow \mathbb {C} есть непрерывная ветвь многозначной функции Ln⁡f(z)\operatorname {Ln} f(z). Доказать, что hh является регулярной функцией.

?
Задача 17.3

Существуют ли регулярные ветви в области C\[−1,1]\mathbb {C} \backslash [-1,1] у многозначной функции Ln⁡(z2+z)\operatorname {Ln}\left(z^{2}+z\right)?

?
Задача 17.4

Существуют ли регулярные ветви в области C\[−1,1]\mathbb {C} \backslash [-1,1] у многозначной функции {z2−z}\left\{ \sqrt{z^{2}-z}\right\}?

?
Задача 17.5

Существуют ли регулярные ветви в области G={z:∣z∣>2}G = \left\{ z:\left|z\right| > 2\right\} у многозначной функции {z−1}\left\{ \sqrt{z-1}\right\}?

?
Задача 17.6

Существуют ли регулярные ветви в области G={z:∣z∣>2}G = \left\{ z:\left|z\right| > 2\right\} у многозначной функции Ln⁡z2−1z2+1\operatorname {Ln} \frac{z^{2}-1}{z^{2}+1}?

?
Задача 17.7

Существуют ли регулярные ветви в области G=C\[−i,i]G = \mathbb {C} \backslash [-i, i] у многозначной функции {1+z23}\left\{ \sqrt[3]{1+z^{2}}\right\}?

?
Задача 17.8

Существуют ли регулярные ветви в области G=C\[0,+∞)G = \mathbb {C} \backslash [0,+\infty ) у многозначной функции {zz}\left\{ z^{z}\right\}?

?
Задача 17.9

Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в областях GG, указанных в скобках:

?
(1)

{1−z2Ln⁡z},G=C\([−∞,−1]∪[0,+∞))\left\{ \sqrt{1-z^{2}} \operatorname {Ln} z\right\} , G = \mathbb {C} \backslash ([-\infty ,-1] \cup [0,+\infty ));

(2)

{(z2+1)z},G=C\((−i∞,−i)∪[i,+i∞))\left\{ \left(z^{2}+1\right)^{z}\right\} , G = \mathbb {C} \backslash ((-i \infty ,-i) \cup [i,+i \infty ));

(3)

Ln⁡(z2−1)Ln⁡z,G=C\[−1,+∞)\operatorname {Ln}\left(z^{2}-1\right) \operatorname {Ln} z, \quad G = \mathbb {C} \backslash [-1,+\infty );

(4)

{(z2−1)z},G={z:Im(z)>0}\left\{ \left(z^{2}-1\right)^{\sqrt{z}}\right\} , G = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}.

Задача 17.10

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в области GG и удовлетворяет там условию Re(f(z))>0\mathrm{Re}\left(f(z)\right) > 0. Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в области GG:

?
(1)

{f(z)+i3}\left\{ \sqrt[3]{f(z)+i}\right\};

(2)

Ln⁡1+if(z)1−if(z)\operatorname {Ln} \frac{1+i f(z)}{1-i f(z)}.

Задача 17.11

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в области GG и не принимает там значений, лежащих на луче [a,+∞][a,+\infty ], где a∈Ra \in \mathbb {R}. Доказать, что многозначная функция {a−f(z)}\left\{ \sqrt{a-f(z)}\right\} допускает выделение регулярных ветвей в области GG, причем существует единственная ветвь φ(z)\varphi (z), удовлетворяющая условию Re(φ)(z)>0(z∈G)\mathrm{Re}\left(\varphi \right)(z) > 0 \quad (z \in G).

?
Задача 17.12

Пусть функция f(z)f(z) регулярна в области GG и не принимает значений, лежащих на кривой γ\gamma, идущей из точки z=0z = 0 в точку z=∞z = \infty, оставаясь в левой полуплоскости. Доказать, что многозначная функция Ln⁡f(z)\operatorname {Ln} f(z) допускает выделение регулярных ветвей в области GG, и существует такая ветвь φ(z)\varphi (z), для которой справедливо неравенство

∣Im(φ)(z)∣<3π2(z∈G). \left|\mathrm{Im}\left(\varphi \right)(z)\right| < \frac{3 \pi }{2} \quad (z \in G).
?
Задача 17.13

Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в областях GG, указываемых в скобках:

?
(1)

{Ln⁡(z+1+z2)}(G={z:Re(z)>0})\left\{ \operatorname {Ln}\left(z+\sqrt{1+z^{2}}\right)\right\} (G = \left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > 0\right\} );

(2)

{z+z}(G={z:Im(z)>0})\left\{ \sqrt{z+\sqrt{z}}\right\} \quad (G = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} );

(3)

{Ln⁡(iz+1−z2)}(G=C\((−∞,−1]∪[1,+∞)))\left\{ \operatorname {Ln}\left(i z+\sqrt{1-z^{2}}\right)\right\} (G = \mathbb {C} \backslash ((-\infty ,-1] \cup [1,+\infty )));

(4)

{Ln⁡(z+z−1)}(G=C\((−∞,0]∪[1,+∞)))\left\{ \operatorname {Ln}(\sqrt{z}+\sqrt{z-1})\right\} (G = \mathbb {C} \backslash ((-\infty , 0] \cup [1,+\infty )));

(5)

{Ln⁡z}(G={z:Im(z)>0})\left\{ \sqrt{\operatorname {Ln} z}\right\} (G = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} ).

Задача 17.14

Доказать, что многозначная функция

{(z−a1)(z−b1)⋯(z−an)(z−bn)} \left\{ \sqrt{\left(z-a_{1}\right)\left(z-b_{1}\right) \cdots \left(z-a_{n}\right)\left(z-b_{n}\right)}\right\}

допускает выделение регулярных ветвей во всей комплексной плоскости с разрезами по непересекающимся прямолинейным отрезкам [ak,bk]\left[a_{k}, b_{k}\right], k=1,2,…,nk = 1,2, \ldots , n.

?
Задача 17.15

Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в указываемых областях:

?
(1)

Ln⁡z2+2z+2z2−2z+2\operatorname {Ln} \frac{z^{2}+2 z+2}{z^{2}-2 z+2} (плоскость C\mathbb {C} с разрезами по отрезкам, изображенным на рис. 17.1);

Рис. 17.1Рис. 17.1

(2)

{1−z44}\left\{ \sqrt[4]{1-z^{4}}\right\} (плоскость C\mathbb {C} с разрезами по отрезкам, изображенным на рис. 17.2);

Рис. 17.2Рис. 17.2

(3)

{4z+z53}\left\{ \sqrt[3]{4 z+z^{5}}\right\} (плоскость C\mathbb {C} с разрезами по отрезкам, изображенным на рис. 17.3);

Рис. 17.3Рис. 17.3

(4)

{sin⁡z}(G={z∈C:z∉[2πk;π(2k+1)],∀k=0,±1,±2,…})\left\{ \sqrt{\sin z}\right\} \quad (G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \notin [2 \pi k ; \pi (2 k+1)], \forall k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \right\} );

(5)

{Ln⁡tg⁡z}(G={z∈C:z∉[πk;πk+π2],∀k=0,±1,±2,…})\left\{ \operatorname {Ln} \operatorname {tg} z\right\} \left(G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \notin \left[\pi k ; \pi k+\frac{\pi }{2}\right], \forall k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \right\} \right);

(6)

{z(1−z)Ln⁡z1−z}(G={z∈C:z∉[0,1]})\left\{ \sqrt{z(1-z)} \operatorname {Ln} \frac{z}{1-z}\right\} \quad (G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \notin [0,1]\right\} ).