Максимальный член и центральный индекс, максимум модуля и число нулей

Вычислить $\mu (r)$ и $\nu (r)$ для степенного ряда

Вычислить $M(r)$ и $N(r)$ для

Вычислить $\mu (r)$ и $\nu (r)$ для

Вычислить $M(r)$ и $N(r)$ для

Вычислить $\nu (r)$ для геометрической прогрессии

Вычислить $N(r)$ для

Для всякого полинома $n$-й степени

имеет место предельное соотношение

Для всякого полинома $n$-й степени

имеет место предельное соотношение

Для всякой целой трансцендентной функции оба указанных в задаче 7 предела равны бесконечности.

Для целой трансцендентной функции первый из указанных в задаче 8 пределов равен бесконечности, второй — не обязательно.

Обозначим максимальный член и центральный индекс ряда

соответственно через $\mu_{k}(r)$ и $\nu_{k}(r)$. Выразить $\mu_{k}(r)$ и $\nu_{k}(r)$ через $\mu_{1}(r)$ и $\nu_{1}(r)$.

Обозначим максимум модуля и число нулей функции $f\left(z^{k}\right)$ в круге $\left|z\right| \leqslant r$ соответственно через $M_{k}(r)$ и $N_{k}(r)$ $(k=1,2,3, \ldots )$. Выразить $M_{k}(r)$ и $N_{k}(r)$ через $M_{1}(r)$ и $N_{1}(r)$.

Вычислить $\lim_{r \rightarrow \infty } \frac{\nu (r)}{\ln \mu (r)}$ для степенных рядов

Пусть теперь $M_{k}(r)$ и $N_{k}(r)$ обозначают максимум модуля и число нулей в круге $\left|z\right| \leqslant r$ для функции $(f(z))^{k}$ (а не $f\left(z^{k}\right)$, как в задаче 12), $k=1,2,3, \ldots$ Показать, что отношение $\frac{N_{k}(r)}{\ln M_{k}(r)}$ не зависит от $k$.

Для $a_{0}=a_{1}=\ldots =a_{q-1}=0$, $a_{q} \neq 0$ будем считать $\nu (0)=q$. Функция $\nu (r)$ кусочно-постоянна, возрастает в точках разрыва на целые положительные значения и всюду непрерывна справа [I 120].

Если $a_{0}=a_{1}=\ldots =a_{q-1}=0$, $a_{q} \neq 0$, то $N(0)=q$. Функция $N(r)$ кусочно-постоянна, возрастает в точках разрыва на целые положительные значения и всюду непрерывна справа.

Для $a_{0}=0$, $0<r_{1}<r_{2}<R$ имеем

Для $f(0)=0$, $0<r_{1}<r_{2}<R$ имеем

Функция $\eta =\ln \mu \left(e^{\xi }\right)$ представляется в прямоугольной системе координат $\xi$, $\eta$ в виде кривой, не убывающей и не вогнутой снизу.

Функция $\eta =\ln M\left(e^{\xi }\right)$ представляется в прямоугольной системе координат $\xi$, $\eta$ всюду возрастающей и выпуклой снизу кривой, за исключением некоторых полиномов весьма специального вида, для которых кривая вырождается в прямую.

Показать, что отношение $\frac{\mu (\alpha r)}{\mu (r)}$, где $\alpha$ — фиксированное число, $0<\alpha <1$, нигде не возрастает при возрастании $r$.

Показать, что отношение $\frac{M(\alpha r)}{M(r)}$, где $\alpha$ — фиксированное число, $0<\alpha <1$, постоянно убывает с возрастанием $r$.

Пусть $R=\infty$. Показать, что отношение $\frac{\mu (\alpha r)}{\mu (r)}$, где $\alpha$ — фиксированное число, $0<\alpha <1$, при $r \rightarrow \infty$ стремится к нулю, если степенной ряд не обрывается, и стремится к $\alpha^{n}$, если он сводится к полиному $n$-й степени.

Пусть $f(z)$ — целая функция. Показать, что отношение $\frac{M(\alpha r)}{M(r)}$, где $\alpha$ — фиксированное число, $0<\alpha <1$, при $r \rightarrow \infty$ стремится к нулю, когда $f(z)$ — трансцендентная функция, и к $\alpha^{n}$, когда $f(z)$ — рациональная функция степени $n$.

Если $\rho_{n}<\rho_{n+1}$, то в полузамкнутом интервале $\rho_{n} \leqslant r<\rho_{n+1}$

Если $r_{n}<r_{n+1}$, то в полузамкнутом интервале $r_{n} \leqslant r<r_{n+1}$

Вычислить числа $\rho_{n}$ для степенных рядов

Вычислить числа $r_{n}$ для функций

Если чисел $\rho_{n}$ имеется бесконечное множество, то

Если чисел $r_{n}$ имеется бесконечное множество, то

Пусть $a_{0} \neq 0$. Тогда

для $\rho_{n} \leqslant r \leqslant \rho_{n+1}$.

Пусть $a_{0} \neq 0$. Тогда

Пусть $a_{0} \neq 0$. Показать, что тогда

Пусть $a_{0} \neq 0$. Показать, что тогда

Для всякой целой функции

Для всякой целой функции

Показать, что бесконечный ряд $\sum_{n=q+1}^{\infty } \rho_{n}^{-k}$ и несобственный интеграл

соответствующие некоторому всюду сходящемуся степенному ряду, одновременно оба сходятся или расходятся.

Показать, что если несобственный интеграл

соответствующий некоторой целой функции, сходится, то сходится также бесконечный ряд

(обратное неверно!).

Показать, что ряд

и интеграл

соответствующие некоторому степенному ряду, сходящемуся внутри единичного круга, либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Показать, что если интеграл

соответствующий некоторой функции, регулярной внутри единичного круга, сходится, то сходится также ряд

Наметим на плоскости точки с прямоугольными координатами $\left(0,-\ln \left|a_{0}\right|\right), \left(1,-\ln \left|a_{1}\right|\right), \left(2,-\ln \left|a_{2}\right|\right), \ldots , \left(n,-\ln \left|a_{n}\right|\right), \ldots$ (отбрасывая те точки, для которых $a_{n}=0$) и из каждой точки восставим луч, направленный вертикально вверх. Наименьшая выпуклая область $\mathfrak {K}$, охватывающая все эти лучи, простирается в бесконечность. Проведем опорную прямую (т. е. прямую, на которой лежит по крайней мере одна граничная точка и не содержится ни одной внутренней точки области $\mathfrak {K}$) с угловым коэффициентом $\ln r$. Как можно интерпретировать на полученном чертеже величины $\ln \mu (r)$, $\nu (r)$, $\ln \rho_{n}$?

Пусть $m$ — одно из целых положительных значений, принимаемых функцией $\nu (r)$, $m>\nu (0)$. Показать, что

Для того чтобы каждый член степенного ряда

играл для некоторого значения $r>0$ роль максимального члена, необходимо и достаточно выполнение условий

Показать, что центральный индекс $\nu (r)$ степенного ряда

сходящегося в круге $\left|z\right|<1$, принимает последовательно все значения $0,1,2,3, \ldots$ Показать далее, что при $r \rightarrow 1$ максимальный член этого ряда удовлетворяет асимптотическому соотношению

(Продолжение.) Показать, что при $r \rightarrow 1$

Вычислить $\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}, \ldots$ для всюду сходящегося степенного ряда

$(\alpha >0)$ и показать, что при $r \rightarrow +\infty$ его максимальный член удовлетворяет асимптотическому соотношению

(Продолжение.) Показать, что при фиксированном $\alpha >0$ и $r \rightarrow +\infty$

Пусть для некоторой целой функции $f(z)$

Показать, что вопрос о сходимости ряда

решается в положительном или в отрицательном смысле или же остается открытым, смотря по тому, будет ли

Показать, что если параллелограмм периодов функции Вейерштрасса $\sigma (z)$ представляет собой квадрат со стороной $1$, то при $r \rightarrow \infty$ имеем

Существует целая функция, для которой

при $n = 1, 2, 3, \ldots$ (см. задачу 50 части I). Построить целую функцию, для которой

при $n = 1, 2, 3, \ldots$.

Существует целая функция, для которой

при $n = 1, 2, 3, \ldots$ (см. задачу 50 части I). Построить целую функцию, для которой

при $n = 1, 2, 3, \ldots$.

Определить для целых функций

пределы отношений

при $r \rightarrow \infty$ (соответственно $n \rightarrow \infty$ для первого); представить результат в виде таблицы.

Для всех целых функций

(Что имеет место $\leqslant$, — тривиально.) Общее значение этих двух пределов называют порядком целой функции.

Порядок целой функции можно также определить как показатель сходимости [I, гл. 3, § 2] последовательности $\rho_{1}, \rho_{2}, \ldots , \rho_{n}, \ldots$

Порядок целой функции $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n}$ с положительными коэффициентами $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ можно также определить как

Для целых функций конечного порядка имеет место более сильное, чем в 51, соотношение

Интеграл

где $t_{0}>0$ и $l>1$, сходится для всякой нерациональной целой функции.

Все целые функции обладают следующим свойством: для всякого заданного $\varepsilon >0$ существуют произвольно большие значения $r$ такие, что

Целые функции конечного порядка $\lambda$ обладают следующим свойством, более сильным, чем 56: для всякого заданного $\varepsilon >0$ существуют произвольно большие значения $r$ такие, что

Порядок каждой целой функции рода нуль равен показателю сходимости последовательности ее нулей.

Для целой функции конечного порядка $\lambda >0$, центральный индекс которой обладает точками разрыва $\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}, \ldots , \rho_{n}, \ldots$, распределенными регулярно в смысле II, гл. 4, § 1, $\lim_{r \rightarrow \infty } \frac{\nu (r)}{\ln \mu (r)}$ существует и равен $\lambda$.

Для целых функций конечного порядка $\lambda >0$ независимо от особых предположений относительно регулярности имеют место неравенства

Пусть $\lambda$, $0<\lambda <1$, — показатель сходимости последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$, регулярной в смысле II, гл. 4, § 1. Показать, что для целой функции рода нуль

имеет место предельное соотношение

при всяком фиксированном $\vartheta$, $-\pi <\vartheta <\pi$.

Для целой функции задачи 61 независимо от предположения регулярности распределения последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ имеет место неравенство

Для каждой целой функции, последовательность нулей которой обладает конечным показателем сходимости $\lambda$,

Пусть $f(z)$ — целая функция и $\mathfrak {G}(r)$, соответственно $\mathfrak {g}(r)$, геометрическое среднее модуля $f(z)$ на окружности $\left|z\right|=r$, соответственно в круге $\left|z\right| \leqslant r$ [III 121]. Если модули нулей функции $f(z)$ распределены регулярно [II, гл. 4, § 1], то тогда

где $\lambda$ означает показатель сходимости последовательности нулей, $0<\lambda <\infty$. Для полиномов интересующий нас предел точно так же существует и равен $e^{-\frac{1}{2}}$.

(Продолжение.) Независимо от предположения регулярности распределения нулей имеют место неравенства

Пусть $f(z)$ — целая функция конечного порядка $\lambda$ и $\mathfrak {M}(r)$, соотв. $\mathfrak {m}(r)$, — арифметическое среднее $\left|f(z)\right|^{2}$ на окружности $\left|z\right|=r$, соответственно в круге $\left|z\right| \leqslant r$. Тогда

Пусть целая функция

удовлетворяет условию

где $\alpha$ и $a$ — положительные постоянные. Доказать, что

Если для целой функции имеет место одно из трех предельных соотношений

1. $\ln M(r) \sim a r^{\alpha }$,

2. $\ln \mu (r) \sim a r^{\alpha }$,

3. $\nu (r) \sim \alpha a r^{\alpha }$, то имеют место также два других ($r \rightarrow \infty$, $a$ и $\alpha$ — положительные постоянные). Без предположений о регулярности распределения имеют место 51, 54, 35, 60.

Если коэффициенты $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ целой функции $f(z)$ задачи 67 положительны и удовлетворяют неравенствам

то можно утверждать, что

если же они удовлетворяют неравенствам

то тогда, более того,

Присоединим к предположениям задачи 67, что $a_{n} \geqslant 0$ для $n=0,1,2, \ldots$ Тогда для всякого фиксированного вещественного $k$

В предположениях задач 67, 70 предельное соотношение

можно «продифференцировать», т. е. заключить из его наличия, что

(Обобщение теоремы I 94.) Пусть

— всюду сходящийся степенной ряд. Показать, что если

($\beta$, $b$ — положительные, $k$ и $s$ — любые вещественные постоянные), то

Показать, что при $r \rightarrow +\infty$

Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{p}, b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{q}$ — вещественные постоянные, отличные от $0,-1,-2,-3, \ldots$, и $p<q$, далее

Показать, что при $r \rightarrow \infty$ сумма всюду сходящегося степенного ряда

асимптотически равна

где

Получить асимптотическую формулу задачи 74 без помощи теоремы 72, опираясь на 194 и II 207.

Пусть все коэффициенты $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ степенного ряда $a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots$ положительны и удовлетворяют условию

(Этому условию удовлетворяет, например, ряд 74.) Доказать, что