Связь между $\mu(r)$, $\nu(r)$, $M(r)$ и $N(r)$

Пусть для некоторой целой функции $f(z)$

Показать, что вопрос о сходимости ряда

решается в положительном или в отрицательном смысле или же остается открытым, смотря по тому, будет ли

Показать, что если параллелограмм периодов функции Вейерштрасса $\sigma (z)$ представляет собой квадрат со стороной $1$, то при $r \rightarrow \infty$ имеем

Существует целая функция, для которой

при $n = 1, 2, 3, \ldots$ (см. задачу 50 части I). Построить целую функцию, для которой

при $n = 1, 2, 3, \ldots$.

Определить для целых функций

пределы отношений

при $r \rightarrow \infty$ (соответственно $n \rightarrow \infty$ для первого); представить результат в виде таблицы.

Для всех целых функций

(Что имеет место $\leqslant$, — тривиально.) Общее значение этих двух пределов называют порядком целой функции.

Порядок целой функции можно также определить как показатель сходимости [I, гл. 3, § 2] последовательности $\rho_{1}, \rho_{2}, \ldots , \rho_{n}, \ldots$

Порядок целой функции $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n}$ с положительными коэффициентами $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ можно также определить как

Для целых функций конечного порядка имеет место более сильное, чем в 51, соотношение

Интеграл

где $t_{0}>0$ и $l>1$, сходится для всякой нерациональной целой функции.

Все целые функции обладают следующим свойством: для всякого заданного $\varepsilon >0$ существуют произвольно большие значения $r$ такие, что

Целые функции конечного порядка $\lambda$ обладают следующим свойством, более сильным, чем 56: для всякого заданного $\varepsilon >0$ существуют произвольно большие значения $r$ такие, что

Порядок каждой целой функции рода нуль равен показателю сходимости последовательности ее нулей.

Для целой функции конечного порядка $\lambda >0$, центральный индекс которой обладает точками разрыва $\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}, \ldots , \rho_{n}, \ldots$, распределенными регулярно в смысле II, гл. 4, § 1, $\lim_{r \rightarrow \infty } \frac{\nu (r)}{\ln \mu (r)}$ существует и равен $\lambda$.

Для целых функций конечного порядка $\lambda >0$ независимо от особых предположений относительно регулярности имеют место неравенства

Пусть $\lambda$, $0<\lambda <1$, — показатель сходимости последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$, регулярной в смысле II, гл. 4, § 1. Показать, что для целой функции рода нуль

имеет место предельное соотношение

при всяком фиксированном $\vartheta$, $-\pi <\vartheta <\pi$.

Для целой функции задачи 61 независимо от предположения регулярности распределения последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ имеет место неравенство

Для каждой целой функции, последовательность нулей которой обладает конечным показателем сходимости $\lambda$,

Пусть $f(z)$ — целая функция и $\mathfrak {G}(r)$, соответственно $\mathfrak {g}(r)$, геометрическое среднее модуля $f(z)$ на окружности $\left|z\right|=r$, соответственно в круге $\left|z\right| \leqslant r$ [III 121]. Если модули нулей функции $f(z)$ распределены регулярно [II, гл. 4, § 1], то тогда

где $\lambda$ означает показатель сходимости последовательности нулей, $0<\lambda <\infty$. Для полиномов интересующий нас предел точно так же существует и равен $e^{-\frac{1}{2}}$.

(Продолжение.) Независимо от предположения регулярности распределения нулей имеют место неравенства

Пусть $f(z)$ — целая функция конечного порядка $\lambda$ и $\mathfrak {M}(r)$, соотв. $\mathfrak {m}(r)$, — арифметическое среднее $\left|f(z)\right|^{2}$ на окружности $\left|z\right|=r$, соответственно в круге $\left|z\right| \leqslant r$. Тогда