2

Дальнейшие результаты о μ(r)\mu(r) и ν(r)\nu(r)

[7/86%]
Показать
LaTeX
Задача 4.41

Наметим на плоскости точки с прямоугольными координатами (0,−ln⁡∣a0∣),(1,−ln⁡∣a1∣),(2,−ln⁡∣a2∣),…,(n,−ln⁡∣an∣),…\left(0,-\ln \left|a_{0}\right|\right), \left(1,-\ln \left|a_{1}\right|\right), \left(2,-\ln \left|a_{2}\right|\right), \ldots , \left(n,-\ln \left|a_{n}\right|\right), \ldots (отбрасывая те точки, для которых an=0a_{n}=0) и из каждой точки восставим луч, направленный вертикально вверх. Наименьшая выпуклая область K\mathfrak {K}, охватывающая все эти лучи, простирается в бесконечность. Проведем опорную прямую (т. е. прямую, на которой лежит по крайней мере одна граничная точка и не содержится ни одной внутренней точки области K\mathfrak {K}) с угловым коэффициентом ln⁡r\ln r. Как можно интерпретировать на полученном чертеже величины ln⁡μ(r)\ln \mu (r), ν(r)\nu (r), ln⁡ρn\ln \rho_{n}?

?
Примечание.
?

J. Hadamard, Journ. de Math., серия 4, т. 9, стр. 174, 1893.

Задача 4.42

Пусть mm — одно из целых положительных значений, принимаемых функцией ν(r)\nu (r), m>ν(0)m>\nu (0). Показать, что

ρm=Max⁡(∣a0am∣1m,∣a1am∣1m−1,…,∣am−1am∣). \rho _{m}=\operatorname {Max}\left(\left|\frac{a_{0}}{a_{m}}\right|^{\frac{1}{m}},\left|\frac{a_{1}}{a_{m}}\right|^{\frac{1}{m-1}}, \ldots ,\left|\frac{a_{m-1}}{a_{m}}\right|\right) .
?
Задача 4.43

Для того чтобы каждый член степенного ряда

a0+a1z+a2z2+…+anzn+… a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots

играл для некоторого значения r>0r>0 роль максимального члена, необходимо и достаточно выполнение условий

0<∣a0a1∣⩽∣a1a2∣⩽∣a2a3∣⩽…⩽∣anan+1∣⩽…[31,I 117]. 0<\left|\frac{a_{0}}{a_{1}}\right| \leqslant \left|\frac{a_{1}}{a_{2}}\right| \leqslant \left|\frac{a_{2}}{a_{3}}\right| \leqslant \ldots \leqslant \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \leqslant \ldots \quad [31, \text{I } 117] .
?
Задача 4.44

Показать, что центральный индекс ν(r)\nu (r) степенного ряда

1+eα−11αz+eα−12αz2+…+eα−1nαzn+…(0<α<1), 1+e^{\alpha ^{-1} 1^{\alpha }} z+e^{\alpha ^{-1} 2^{\alpha }} z^{2}+\ldots +e^{\alpha ^{-1} n^{\alpha }} z^{n}+\ldots \quad (0<\alpha <1),

сходящегося в круге ∣z∣<1\left|z\right|<1, принимает последовательно все значения 0,1,2,3,…0,1,2,3, \ldots Показать далее, что при r→1r \rightarrow 1 максимальный член этого ряда удовлетворяет асимптотическому соотношению

μ(r)∼exp⁡(1−αα(−1ln⁡r)α1−α). \mu (r) \sim \exp \left(\frac{1-\alpha }{\alpha }\left(-\frac{1}{\ln r}\right)^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}\right) .
?
Задача 4.45

(Продолжение.) Показать, что при r→1r \rightarrow 1

∑n=0∞eα−1nαrn∼2πα1−α(α1−α)1−αα[ln⁡μ(r)]12+1−ααμ(r). \sum _{n=0}^{\infty } e^{\alpha ^{-1} n^{\alpha }} r^{n} \sim \frac{\sqrt{2 \pi \alpha }}{1-\alpha }\left(\frac{\alpha }{1-\alpha }\right)^{\frac{1-\alpha }{\alpha }}[\ln \mu (r)]^{\frac{1}{2}+\frac{1-\alpha }{\alpha }} \mu (r) .
?
Задача 4.46

Вычислить ρ1,ρ2,ρ3,…\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}, \ldots для всюду сходящегося степенного ряда

1+1−αz+2−2αz2+…+n−nαzn+… 1+1^{-\alpha } z+2^{-2 \alpha } z^{2}+\ldots +n^{-n \alpha } z^{n}+\ldots

(α>0)(\alpha >0) и показать, что при r→+∞r \rightarrow +\infty его максимальный член удовлетворяет асимптотическому соотношению

μ(r)∼exp⁡(αe−1r1α). \mu (r) \sim \exp \left(\alpha e^{-1} r^{\frac{1}{\alpha }}\right) .
?
Задача 4.47

(Продолжение.) Показать, что при фиксированном α>0\alpha >0 и r→+∞r \rightarrow +\infty

1+1−αr+2−2αr2+…+n−nαrn+…∼2πα[ln⁡μ(r)]12μ(r)[II 209]. 1+1^{-\alpha } r+2^{-2 \alpha } r^{2}+\ldots +n^{-n \alpha } r^{n}+\ldots \sim \frac{\sqrt{2 \pi }}{\alpha }[\ln \mu (r)]^{\frac{1}{2}} \mu (r) \quad [\text{II } 209] .
?