Теорема Коши. Принцип аргумента

Пусть

Вычислить сумму

которая при $n \rightarrow \infty$ стремится к интегралу $\oint \frac{d z}{z}$, взятому вдоль окружности $\left|z\right|=\left|a\right|$.

Пусть $k$ — целое число, отличное от $-1$, и $L$ — простая замкнутая непрерывная кривая конечной длины, не проходящая через точку $z=0$ при $k \leqslant -2$; пусть, кроме того, $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n-1}, z_{n}$ — последовательно расположенные точки кривой $L$. Рассматривая интеграл $\oint_{L} z^{k} d z$ как предел сумм вида

[II 1, II 2], показать, что он равен нулю.

Вычислить интеграл

взятый по эллипсу

При $x>0$

Доказать формулу

Вычислить криволинейный интеграл

взятый по эллипсу с фокусами $(0,-1)$ и $(0,+1)$.

При $0<\mathrm{Re}\left(s\right)<1$

При $n>1$

При $\mu >0$, $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$, $n=0,1,2, \ldots$

Рассмотреть, в частности, случай $\alpha =\mu \pi$.

Показать, что при $\mu >0$, $x>0$ ($\mu$ постоянно, $x$ переменно)

Пусть $a>0$. Интеграл

распространенный по параллельной мнимой оси прямой $s=a+i t$, $-\infty <t<+\infty$, абсолютно сходится для всех вещественных значений $\alpha$. Показать, что

Обозначим через $\mu (t)$ максимальный член ряда

Пусть $z$ — единственный положительный корень уравнения

где $\lambda >1$. Тогда

Полиномы Лежандра $P_{n}(x)$ могут быть определены как коэффициенты разложения

Вывести отсюда формулу Лапласа (VI 86)

и формулу Дирихле—Мелера

(квадратные корни положительны).

Пусть $\mathfrak {G}$ — полуполоса, выделенная неравенствами

и $L$ — ее граница, состоящая из трех прямолинейных частей. Интеграл

(где направление пути интегрирования таково, что $\mathfrak {G}$ остается справа) определяет некоторую функцию $E(z)$ и притом лишь в точках, лежащих влево от $L$. Показать, что $E(z)$ — целая функция, принимающая для вещественных $z$ вещественные значения.

(Продолжение.) Показать, что

(Продолжение.) Доказать ограниченность функции

вне $\mathfrak {G}$ и функции

внутри $\mathfrak {G}$.

Положим

Показать, что

где контуры обходятся в положительном направлении. [II 217.]

Пусть $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| \leqslant r$ и отлична от нуля на его границе $\left|z\right|=r$. Тогда максимальное значение, принимаемое выражением $\mathrm{Re}\left(z \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\right)$ на окружности $\left|z\right|=r$, будет не меньше числа нулей функции $f(z)$ внутри круга $\left|z\right|<r$.

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — произвольные не равные друг другу комплексные числа и $L$ — простая замкнутая непрерывная кривая, причем точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ содержатся внутри области, ограниченной этой кривой. Пусть, кроме того, функция $f(z)$ регулярна внутри указанной области и на $L$. Положив $\omega (z)=\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right) \ldots \left(z-z_{n}\right)$, показать, что интеграл

представляет тот однозначно определенный полином $(n-1)$-й степени, который в точках $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ совпадает с $f(z)$.

Пусть функция $f(z)$ — аналитическая на отрезке $a \leqslant z \leqslant b$ вещественной оси и принимает на нем вещественные значения. Пусть, далее, $L$ — некоторая простая замкнутая непрерывная кривая, содержащая внутри области, ограничиваемой ею, отрезок $a \leqslant z \leqslant b$, причем в этой области $f(z)$ регулярна. Показать, что, каковы бы ни были точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ отрезка $a \leqslant z \leqslant b$, всегда найдется такая точка $z_{0}$, $a \leqslant z_{0} \leqslant b$, что

Пусть целая функция $F(z)$ удовлетворяет во всей плоскости $z=x+i y$ неравенству

где $C$ и $\rho$ — положительные постоянные. Тогда

Пример. $F(z)=\cos \rho z$.

Пусть нечетная целая функция $G(z)$ удовлетворяет во всей плоскости $z=x+i y$ неравенству

где $C$ и $\rho$ — положительные постоянные. Тогда

Пример. $G(z)=\sin \rho z$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| \leqslant 1$. Показать, что

Здесь интегрирование по $x$ производится по прямолинейному отрезку, соединяющему $0$ и $1$, а интегрирование по $z$ — в положительном направлении вдоль единичной окружности, начинаясь в точке $z=1$ с той ветви $\ln z$, соответственно $z^{k}$, на которой положительным $z$ соответствуют вещественные, соответственно положительные, значения этих функций.

Пусть функция $f(z)$, регулярная в единичном круге $\left|z\right| \leqslant 1$, подчинена условию

Пусть, кроме того, $k>-1$. Тогда

Пусть $\alpha >-2$. Квадратичная форма бесконечного числа вещественных переменных $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots$

ограничена, т. е. существует такая постоянная $M$, не зависящая от $n$, что

если переменные $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ подчинены условию $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=1$; $n=1,2,3, \ldots$ При этом для целых $\alpha$ можно взять $M=\pi$, а для нецелых $\alpha$ можно взять $M=\frac{\pi }{\left|\sin \alpha \pi \right|}$.

Пусть функции $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z), \ldots$ регулярны в области $\mathfrak {G}$ и в каждой содержащейся в ней ограниченной замкнутой области равномерно сходятся к функции $f(z)$. Тогда $f(z)$ регулярна во всей области $\mathfrak {G}$.

Пусть в некоторой области $\mathfrak {G}$ плоскости $z=x+i y$ задана непрерывная комплексная функция $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ вещественных переменных $x$ и $y$. Пусть, кроме того, известно, что интеграл

взятый по любой окружности, содержащейся в $\mathfrak {G}$, равен нулю. Тогда $f(z)$ представляет собой аналитическую функцию от комплексного переменного $z$, регулярную во всей области $\mathfrak {G}$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в открытом круге $\left|z\right|<1$, ограничена в замкнутом круге $\left|z\right| \leqslant 1$ и, за исключением, быть может, конечного числа точек, непрерывна. Тогда

(Обобщение теоремы 118.)

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| \leqslant R$. Тогда имеет место формула Пуассона

Пусть функция $f(z)$ регулярна и ограничена в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$. Тогда при $x>0$

Пусть функция $f(z)$, мероморфная в круге $\left|z\right| \leqslant 1$, регулярна и отлична от нуля в центре и на окружности этого круга. Пусть, далее, она имеет в этом круге нули $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{m}$ и полюсы $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n}$ (где нуль или полюс $r$-й кратности выписан $r$ раз). Тогда имеет место формула Иенсена

Пусть функция $f(z)$, мероморфная в круге $\left|z\right| \leqslant R$, регулярна и отлична от нуля на его границе, а внутри него имеет нули $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{m}$ и полюсы $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n}$ (где нуль или полюс $r$-й кратности выписан $r$ раз). Показать, что если точка $z=r e^{i \vartheta }$, $r<R$, не является ни нулем, ни полюсом функции $f(z)$, то

Пусть функция $f(z)$ мероморфна в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$, на границе ее регулярна и отлична от нуля, а внутри имеет нули $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{m}$ и полюсы $b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{n}$ (где нуль или полюс $r$-й кратности выписан $r$ раз). Показать, что если $f(z)$ регулярна в бесконечности и, кроме того, регулярна и отлична от нуля в точке $z=x+i y$, $x>0$, то тогда

Указанная формула справедлива и при менее сильных предположениях о поведении $f(z)$ в бесконечности.

Пусть функция $f(z)$ в области

$\mathfrak {B}$:

регулярна, на границе отлична от нуля, а внутри области имеет нули

Положим $\ln \left|f\left(\rho e^{i \vartheta }\right)\right|=U(\rho , \vartheta )$. Показать, что

здесь функция $\chi (R)$ при $R \rightarrow \infty$ остается ограниченной, $r$ и $f(z)$ мыслятся постоянными.

Доказать теорему 25, исследуя изменение, претерпеваемое $\operatorname {arctg} \frac{V(x)}{U(x)}$, когда $x$ пробегает вещественную ось от $-\infty$ до $+\infty$. Здесь $U(z)$ и $V(z)$ — вещественная и мнимая части полинома $U(z)+i V(z)=a_{0}\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right) \ldots \left(z-z_{n}\right)$, $a_{0} \neq 0$, все нули которого лежат в нижней полуплоскости.

Каждый луч, исходящий из точки $z=0$, при обходе точкой $z$ указанной кривой пересекается по меньшей мере $\left|n\right|$ раз.

Пусть функции $\varphi (z)$ и $\psi (z)$ регулярны в области $\mathfrak {B}$, за исключением, быть может, конечного числа полюсов, а на граничной кривой $L$ этой области конечны и отличны от нуля. Показать, что число обходов кривой, в которую переходит $L$ при отображении $w=f(z)=\varphi (z) \psi (z)$, равно сумме чисел обходов кривых, получаемых при отображениях $w=\varphi (z)$ и $w=\psi (z)$ в отдельности.

Доказать принцип аргумента для полинома.

Из принципа аргумента вытекает: если $\varphi (z)$ в области $\mathfrak {B}$ регулярна и отлична от нуля, то число обходов кривой, описываемой точкой $\varphi (z)$, когда $z$ пробегает кривую $L$, ограничивающую эту область, равно нулю, т. е., иными словами, аргумент функции $\varphi (z)$ является однозначной функцией на кривой $L$. Вывести, обратно, общую формулировку принципа аргумента из этого частного случая.

Вещественный тригонометрический полином $a_{m} \cos m \vartheta +b_{m} \sin m \vartheta +a_{m+1} \cos (m+1) \vartheta +b_{m+1} \sin (m+1) \vartheta +\ldots +a_{n} \cos n \vartheta +b_{n} \sin n \vartheta$ обладает минимум $2 m$ и максимум $2 n$ нулями в интервале $0 \leqslant \vartheta <2 \pi$.

Тригонометрический полином

где $0<a_{0}<a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}$, имеет в интервале $0 \leqslant \vartheta <2 \pi$ $2 n$ вещественных отличных друг от друга нулей. [22.] (Следовательно, имеет только вещественные нули: VI 14.)

Пусть функция $f(z)$ мероморфна внутри области $\mathfrak {B}$ и регулярна на ее граничной кривой $L$. Если $\left|a\right|$ превосходит максимум модуля $\left|f(z)\right|$ на кривой $L$, то внутри области, ограничиваемой $L$, $f(z)$ имеет ровно столько же $a$-точек (т. е. точек, в которых $f(z)=a$), сколько полюсов.

Функция

в полуполосе

принимает каждое значение $w$ с положительной вещественной частью один и только один раз.

Пусть $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| \leqslant r$ и в различных точках контура $\left|z\right|=r$ принимает различные значения. Тогда кривая, в которую переходит окружность $\left|z\right|=r$ при отображении $w=f(z)$, обходится в том же направлении, что и эта окружность, и функция $f(z)$ однолистна во всем круге $\left|z\right|<r$.

Все нули целой функции $\int_{0}^{z} e^{-\frac{x^{2}}{2}} d x$, за исключением точки $z=0$, содержатся в области $\mathrm{Re}\left(z^{2}\right)<0$.

Пусть функция $f(z)$ в круговом кольце $r<\left|z\right|<R$ однозначна, регулярна и «выпускает» некоторое определенное значение $a$ [т. е. не принимает этого значения]. Тогда все простые замкнутые непрерывные кривые плоскости $z$, целиком содержащиеся в указанном круговом кольце и охватывающие окружность $\left|z\right|=r$, переходят при отображении $w=f(z)-a$ в кривые плоскости $w$ с одним и тем же числом обходов.

Пусть $f(z)$ регулярна в области $\mathfrak {B}$ и постоянна по модулю на граничной кривой $L$. Показать, что при обходе точкой $z$ кривой $L$ аргумент $f(z)$ изменяется монотонно. (Отсюда вытекает новое доказательство теоремы 142.)

В предположениях задачи 191 функция $f(z)$ имеет в области, ограниченной кривой $L$, одним нулем больше, чем $f^{\prime }(z)$. (Уточнение теоремы 142.) Этому факту можно дать следующую геометрическую интерпретацию: число «ям», заключенных внутри простой замкнутой линии уровня поверхности модуля, на единицу превышает число «седловин».

Если функция $f(z)$ регулярна в области $\mathfrak {B}$, а $f^{\prime }(z)$ в этой области не обращается в нуль, то $w=f(z)$ отнюдь не обязательно порождает однолистное отображение области $\mathfrak {B}$ [72]. Однако если $\left|f(z)\right|$ на границе области $\mathfrak {B}$ постоянно, то в этой области функция $f(z)$ однолистна.

Пусть функции $f(z)$ и $\varphi (z)$ регулярны внутри области $\mathfrak {B}$ и непрерывны на граничной кривой $L$. Пусть, кроме того, на кривой $L$ выполнено неравенство $\left|f(z)\right|>\left|\varphi (z)\right|$. Тогда функция $f(z)+\varphi (z)$ имеет внутри области $\mathfrak {B}$ столько же нулей, сколько и $f(z)$.

Показать, что уравнение

где $\lambda$ вещественно и больше единицы, имеет в единичном круге $\left|z\right| \leqslant 1$ один единственный корень. Этот корень является вещественным и положительным.

Уравнение

где $\lambda$ вещественно и больше единицы, имеет в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ один единственный корень, являющийся, следовательно, вещественным.

Каждое отображение, преобразующее замкнутый единичный круг в область, целиком содержащуюся внутри единичного круга (и не обязательно однократно покрытую), имеет в точности одну неподвижную точку. Иными словами: если $f(z)$ в круге $\left|z\right| \leqslant 1$ регулярна и по модулю меньше единицы, то уравнение $f(z)-z=0$ имеет в этом круге в точности один корень.

Функция $\frac{1}{\Gamma (z)}$ принимает в полуполосе

каждое значение бесконечное множество раз ($d$ произвольно).

Пусть $f(t)$ — заданная в интервале $0 \leqslant t \leqslant 1$ вещественная функция, имеющая непрерывные первую и вторую производные. Если $\left|f(1)\right|>\left|f(0)\right|$, то целая функция

имеет бесконечное множество вещественных и лишь конечное число комплексных нулей; если же $0<\left|f(1)\right|<\left|f(0)\right|$, то она имеет лишь конечное число вещественных нулей, но зато уже бесконечное множество комплексных.

Пусть $a$ — постоянная и $\left|a\right|>2{,}5$. Показать, что целая функция, определенная степенным рядом

на границе каждого кругового кольца

отлична от нуля, а внутри него имеет в точности один нуль.

(Продолжение задачи 170.) Обозначим через $\mathfrak {M}$ множество содержащихся в $\mathfrak {G}$ нулей функций $f_{n}(z)$, $n=1,2,3, \ldots$ Если предельная функция не равна тождественно нулю, то ее нули, лежащие внутри $\mathfrak {G}$, совпадают с предельными точками множества $\mathfrak {M}$, лежащими внутри $\mathfrak {G}$.

Пусть функции

однолистны в единичном круге $\left|z\right|<1$ и в каждом внутреннем круге $\left|z\right| \leqslant r<1$ равномерно сходятся к некоторой предельной функции $f(z)$, не равной тождественно нулю. Тогда и функция $f(z)$ будет однолистной в круге $\left|z\right|<1$.

Пусть $g_{1}(z), g_{2}(z), \ldots , g_{n}(z), \ldots$ — целые функции, имеющие лишь вещественные нули. Если существует

причем сходимость равномерна в каждой конечной области, то целая функция $g(z)$ также имеет лишь вещественные нули.

Целая функция

где

имеет лишь вещественные нули.

Пусть $f(t)$ — положительная неубывающая функция, заданная в интервале $0 \leqslant t<1$, причем интеграл $\int_{0}^{1} f(t) d t$ конечен. Показать, что целая функция

имеет лишь вещественные нули.

Пусть область $\mathfrak {B}$ содержит внутри отрезок $a \leqslant z \leqslant b$ вещественной оси. Пусть, далее, функции $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z), \ldots$ регулярны в $\mathfrak {B}$, в вещественных точках $z$ принимают вещественные значения и на отрезке $a \leqslant z \leqslant b$ все отличны от нуля. Если функции $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z), \ldots$ равномерно сходятся в области $\mathfrak {B}$ к некоторой предельной функции $f(z)$, не равной тождественно нулю, то эта предельная функция $f(z)$ точно так же отлична от нуля на отрезке $a \leqslant z \leqslant b$. — Это утверждение не верно.

Аналитические функции $f_{1}(z),f_{2}(z),\ldots ,f_{n}(z)$ регулярны и однозначны в связной замкнутой области $\mathfrak {D}$; пусть $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ обозначают постоянные. Если функция

не равна тождественно нулю, то число ее нулей в $\mathfrak {D}$ не может превзойти некоторой верхней границы, которая зависит от $f_{1}(z),f_{2}(z),\ldots ,f_{n}(z)$ и $\mathfrak {D}$, но не зависит от $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$. (Задача 206.2 менее обща, но более точна.)