Формула Коши

Пусть

Вычислить сумму

которая при $n \rightarrow \infty$ стремится к интегралу $\oint \frac{d z}{z}$, взятому вдоль окружности $\left|z\right|=\left|a\right|$.

Пусть $k$ — целое число, отличное от $-1$, и $L$ — простая замкнутая непрерывная кривая конечной длины, не проходящая через точку $z=0$ при $k \leqslant -2$; пусть, кроме того, $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n-1}, z_{n}$ — последовательно расположенные точки кривой $L$. Рассматривая интеграл $\oint_{L} z^{k} d z$ как предел сумм вида

[II 1, II 2], показать, что он равен нулю.

Вычислить интеграл

взятый по эллипсу

При $x>0$

Доказать формулу

Вычислить криволинейный интеграл

взятый по эллипсу с фокусами $(0,-1)$ и $(0,+1)$.

При $0<\mathrm{Re}\left(s\right)<1$

При $n>1$

При $\mu >0$, $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$, $n=0,1,2, \ldots$

Рассмотреть, в частности, случай $\alpha =\mu \pi$.

Показать, что при $\mu >0$, $x>0$ ($\mu$ постоянно, $x$ переменно)

Пусть $a>0$. Интеграл

распространенный по параллельной мнимой оси прямой $s=a+i t$, $-\infty <t<+\infty$, абсолютно сходится для всех вещественных значений $\alpha$. Показать, что

Обозначим через $\mu (t)$ максимальный член ряда

Пусть $z$ — единственный положительный корень уравнения

где $\lambda >1$. Тогда

Полиномы Лежандра $P_{n}(x)$ могут быть определены как коэффициенты разложения

Вывести отсюда формулу Лапласа (VI 86)

и формулу Дирихле—Мелера

(квадратные корни положительны).

Пусть $\mathfrak {G}$ — полуполоса, выделенная неравенствами

и $L$ — ее граница, состоящая из трех прямолинейных частей. Интеграл

(где направление пути интегрирования таково, что $\mathfrak {G}$ остается справа) определяет некоторую функцию $E(z)$ и притом лишь в точках, лежащих влево от $L$. Показать, что $E(z)$ — целая функция, принимающая для вещественных $z$ вещественные значения.

(Продолжение.) Показать, что

(Продолжение.) Доказать ограниченность функции

вне $\mathfrak {G}$ и функции

внутри $\mathfrak {G}$.

Положим

Показать, что

где контуры обходятся в положительном направлении. [II 217.]

Пусть $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| \leqslant r$ и отлична от нуля на его границе $\left|z\right|=r$. Тогда максимальное значение, принимаемое выражением $\mathrm{Re}\left(z \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\right)$ на окружности $\left|z\right|=r$, будет не меньше числа нулей функции $f(z)$ внутри круга $\left|z\right|<r$.

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — произвольные не равные друг другу комплексные числа и $L$ — простая замкнутая непрерывная кривая, причем точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ содержатся внутри области, ограниченной этой кривой. Пусть, кроме того, функция $f(z)$ регулярна внутри указанной области и на $L$. Положив $\omega (z)=\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right) \ldots \left(z-z_{n}\right)$, показать, что интеграл

представляет тот однозначно определенный полином $(n-1)$-й степени, который в точках $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ совпадает с $f(z)$.

Пусть функция $f(z)$ — аналитическая на отрезке $a \leqslant z \leqslant b$ вещественной оси и принимает на нем вещественные значения. Пусть, далее, $L$ — некоторая простая замкнутая непрерывная кривая, содержащая внутри области, ограничиваемой ею, отрезок $a \leqslant z \leqslant b$, причем в этой области $f(z)$ регулярна. Показать, что, каковы бы ни были точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ отрезка $a \leqslant z \leqslant b$, всегда найдется такая точка $z_{0}$, $a \leqslant z_{0} \leqslant b$, что

Пусть целая функция $F(z)$ удовлетворяет во всей плоскости $z=x+i y$ неравенству

где $C$ и $\rho$ — положительные постоянные. Тогда

Пример. $F(z)=\cos \rho z$.

Пусть нечетная целая функция $G(z)$ удовлетворяет во всей плоскости $z=x+i y$ неравенству

где $C$ и $\rho$ — положительные постоянные. Тогда

Пример. $G(z)=\sin \rho z$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| \leqslant 1$. Показать, что

Здесь интегрирование по $x$ производится по прямолинейному отрезку, соединяющему $0$ и $1$, а интегрирование по $z$ — в положительном направлении вдоль единичной окружности, начинаясь в точке $z=1$ с той ветви $\ln z$, соответственно $z^{k}$, на которой положительным $z$ соответствуют вещественные, соответственно положительные, значения этих функций.

Пусть функция $f(z)$, регулярная в единичном круге $\left|z\right| \leqslant 1$, подчинена условию

Пусть, кроме того, $k>-1$. Тогда

Пусть $\alpha >-2$. Квадратичная форма бесконечного числа вещественных переменных $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots$

ограничена, т. е. существует такая постоянная $M$, не зависящая от $n$, что

если переменные $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ подчинены условию $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=1$; $n=1,2,3, \ldots$ При этом для целых $\alpha$ можно взять $M=\pi$, а для нецелых $\alpha$ можно взять $M=\frac{\pi }{\left|\sin \alpha \pi \right|}$.

Пусть функции $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z), \ldots$ регулярны в области $\mathfrak {G}$ и в каждой содержащейся в ней ограниченной замкнутой области равномерно сходятся к функции $f(z)$. Тогда $f(z)$ регулярна во всей области $\mathfrak {G}$.

Пусть в некоторой области $\mathfrak {G}$ плоскости $z=x+i y$ задана непрерывная комплексная функция $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ вещественных переменных $x$ и $y$. Пусть, кроме того, известно, что интеграл

взятый по любой окружности, содержащейся в $\mathfrak {G}$, равен нулю. Тогда $f(z)$ представляет собой аналитическую функцию от комплексного переменного $z$, регулярную во всей области $\mathfrak {G}$.